六年级数学精讲最值问题Word文档下载推荐.docx

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解13÷

2＝6……1，6×

（6＋1）＝42。

答：

这两个整数分别为6和7。

例2比较下面两个乘积的大小。

A＝57128463×

87596512B＝57128470×

87596505

点拨要比较A与B的大小，用计算的方法求积会很麻烦。

仔细观察两组对应因数的大小，我们不难发现，两个因数的和是一定的，只要比较每组两个因数差的大小就可以了，差大的积反而小，差小的积反而大。

解A组两个因数的差：

87596512－57128463＝30468049，

B组两个因数的差：

87596505－57128470＝30468035。

因为30468049＞30468035，所以B＞A。

例3两个自然数的积是50，这两个自然数是什么值时，它们的和最小？

点拨两个自然数乘积是50的，共有三种情况：

50＝50×

1，50＋1＝51；

50＝25×

2，25＋2＝27；

50＝10×

5，10＋5＝15。

从上面的分析我们不难看出：

当两个自然数的积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然数的和越小。

解50＝10×

5，此时两数的差最小，所以两个因数之和最小为10＋5＝15。

当这两个自然数是10和5时，它们的和最小，是15。

例4从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个数字中，选出五个不同的数字组成一个五位数，使它能被3，5，7和13整除，这个数最大是多少？

点拨要使这个五位数能被3，5，7和13整除，可知这个五位数是3，5，7，13的公倍数，而3，5，7，13的最小公倍是3×

5×

7×

13＝1365。

在五位数中，1365的最大倍数是1365×

73＝99645，但99645中有两个9重复，不符合题意。

因而99645可逐个减少1365，直至找出符合题意的五位数。

解3，5，7和13的最小公倍数是3×

13＝1365，在五位数中1365的最大公倍数是1365×

73＝99645。

99645－1365＝98280（不符合题意），

98280－1365＝96915（不符合题意），

96915－1365＝95550（不符合题意），

95550－1365＝94185（符合题意）。

答：

这个最大的五位数是94185。

例5要砌一个面积为144平方米的猪圈，这个猪圈的围墙最少长多少米？

点拨要想使猪圈的围墙最少，两个边的差越小越好。

解144＝12×

12，所以围墙最少长：

（12＋12）×

2＝48（米）。

答：

这个猪圈的围墙最少长48米。

说明面积一定的长方形中，正方形的周长最短。

例6把17拆分成若干个自然数的和，怎样拆分才能使它们的乘积最大？

点拨显然，拆分的数中不能有0。

假设分成的自然数有1，x是分成的另一个自然数，因为1×

x＜1＋x，也就是说，将1＋x作为分成的一个自然数要比分成1和1两个自然数好，所以分成的自然数不应有1。

如果分成的自然数中有大于4的数，那么将这个数分成两个最接近的整数，这两个数的乘积大于原来的自然数。

例如，5＝2＋3＜2×

3，8＝3＋5＜3×

5，也就是说只要有大于4的数，这个数就可以再分，所以分成的自然数中不应有大于4的数。

如果分成的自然数有4，因为4＝2×

2，所以可以将4分成两个2，那么把17分解时只能有2和3。

因为6＝2＋2＋2，2×

2×

2＝8，6＝3＋3，3×

3＝9，说明虽然3个2与2个3的和都是6，但2个3的乘积大于3个2的乘积，所以分成的自然数中最多有2个2，其余都是3。

解17＝3＋3＋3＋3＋3＋2，

乘积最大时为3×

3×

2＝486。

例7已知长方体的长、宽、高均为整厘米数，相邻两个面的面积是180平方厘米和84平方厘米。

求表面积最小的长方体的体积。

点拨设长方体的长为a厘米，宽为b厘米，高为c厘米，依题意列关于长方体的表面积和体积的表达式，并对其进行最值问题的讨论，问题易解。

解设长方体的长为以厘米，宽为6厘米，高为c厘米，依题意有：

ab＝180，bc＝84。

由此可知b是180和84的公约数，而长方体的表面积为：

（ab＋bc＋ac）×

2＝（180＋84＋ac）×

2.

可以看出，ac越小，表面积越小，因而应使b尽可能的大，180和84的最大公约数是12，此时，长方体体积为：

abc＝

＝

＝1260（立方厘米）。

表面积最小的长方体的体积是1260立方厘米。

例8某市发出的车牌号码均由6个数字（从0到9这10个数中选择）组成，该市规定：

任意两个车牌至少要有两对同一数位上的数字不同（如车牌号038471和030471不能同时使用）。

求该市最多能发出多少个不同车牌。

点拨如果发出了100001个车牌，则由抽屉原理可知：

至少有2个车牌的前5个数字相同，则此2个号码违反规定。

因此，该市发出的车牌不能超过100000个。

解可发出100000个车牌并符合规定：

号码前5位任意填写（100000种填法），个位则填写前五位数字之和的个位数字。

对这样得到的两个牌号a1a2a3a4a5a6和b1b2b3b4b5b6；

若a1a2a3a4a5a6与b1b2b3b4b5b6中有两个或两个以上表示不同，则符合规定；

若a1a2a3a4a5与b1b2b3b4b5中只有一个数字不同，不妨设a1≠b2，则a6－b6＝（a1＋a2＋a3＋a4＋a5）的末位数－（b1＋b2＋b3＋b4＋b5）的末位数≠0。

即a1a2a3a4a5和b1b2b3b4b5有两个数码不同也符合规定。

综上所述，该市最多能发出100000个不同车牌。

解题技巧

最值问题的各类题型较多，题目复杂，涉及的知识面广，而且大多数这样的问题并没有固定的解题模式，因此，分析和处理都比较复杂，问题的解答需要结合具体的题目，选择针对性强的方法和采取恰当的手段。

一般涉及的方法有试验、枚举、估计、归纳、构造等，做题时一定要仔细研究，反复思考，真正把握各种题型的内在规律，达到举一反三、触类旁通的效果。

竞赛能级训练

A级

1.用1～9这九个数字组成三个三位数，使这三个三位数的乘积尽可能的大，这三个数分别是几？

2.把546分解成四个不同的自然数之积，这四个自然数的和最大是多少？

3.一个三位数的各位数字都不是0，这个三位数与组成它的各位数字之积的比是a，如432，a＝432÷

（4×

2）＝18。

求以的最大值。

4.一张圆纸能被多少条直线分成821部分？

5.甲、乙两项工作，单独做，张需10小时做完甲工作，15小时做完乙工作；

李需8小时做完甲工作，20小时做完乙工作。

两人合作完成这两项工作，最少需要多少小时？

6.用

，

，1

分别去除某一个分数所得的商都是整数，这个分数最小是几？

7.18乘一个自然数所得的积，可以分解为四个连续自然数的乘积。

那么18乘的这个自然数最小是多少？

8.有三个数字，用它们可以组成六个不同的三位数，这六个三位数的和是4662。

这样的三位数中最大的是几？

9.三个不同的最简真分数的分子都是质数，分母都是小于20的合数。

要使这三个分数的和尽可能大，这三个分数分别是多少？

10.（第五届“从小爱数学”邀请赛试题）把20以内的质数分别填入□中，每个质数只能用一次。

A＝

，使A是整数，A最大是多少？

11.如果四个两位质数a，b，c，d两两不同，并且满足等式a＋b＝c＋d。

那么a＋b最小是多少？

12.（《小学生数学报》第九届竞赛试题）某种产品由A、B、C三个部件组成，一名工人每天可生产5个A，或者生产3个B，或者生产6个C。

要使工厂每天生产的产品尽量多，该厂的210名工人应如何分工？

该厂一天最多生产多少个这种产品？

13.某班有学生50人，年龄均为整数，年龄的平均值为12.2岁。

已知班上任意两人的年龄差都不超过3岁，那么这班学生中年龄最大的可能是多少岁？

如果有一个学生的年龄达到这个值，那么这个班里年龄既不是最大也不是最小的学生最多有多少人？

14.一个数分别除以刍，磊，1去，所得的商都是非零自然数，这个自然数最小是多少？

B级

1.用1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字各一次写出能被9整除的三个三位数，这三个数的和最大是多少？

2.冰雪节期间小冬去太阳岛看雪雕，有两种“走法”：

一是步行；

二是乘马爬犁。

乘马爬犁比步行的速度快，但是每次必须等候，且等候时间相同。

小冬三次去看雪雕都从防洪纪念塔出发，他采用了花时间最少的“走法”过江，如下表。

如果上岛地点在A点，江上路程8千米，小冬过江最少用多少分钟？

上岛地点

路程（千米）

时间（分钟）

第一次：

船站

3

30

第二次：

水榭

4

38

第三次：

江上之家

5

45

3.如右图所示，在一块木板上有16个钉子，横竖行相邻两个钉子之间的距离都相等，用皮筋能套出许多正方形。

最少拔掉多少个钉子就再也套不成正方形了？

4.用1，3，5，7，9五个数字组成一个三位数和一个两位数，这两个数的乘积记为a；

用0，2，4，6，8五个数字也组成一个三位数和一个两位数，这两个数的乘积记为b。

那么（a－b）最大是多少？

（b－a）最大是多少？

5.将前100个自然数依次无间隔地写成一个多位数12345678910…9899100，从中画去170个数字，剩下的数字形成了一个22位数，这个22位数最大是多少？

最小是多少？

如果画掉100个数字，那么剩下的92位数最大是多少？

6.有一堆围棋子，先数出50枚棋子，其中有49枚是白色棋子，此后每数出8枚棋子中都有7枚白棋子，直到数完为止，总计已数出的棋子中白棋子的枚数不少于90%。

这堆棋子最多是多少枚？

7.已知A＝2×

7，在A的两位数的因数中最大的是多少？

8.今有一队学生（300人以内），如果每9人排成一列，最后余下4人；

如果每7人排成一列，最后余下3人。

问这队学生最少有多少人？

最多有多少人？

9.设1×

4×

…×

1991＝21n×

A，其中n与A为自然数，那么n的最大值是多少？

10.将2001拆分成若干个互不相等的自然数的和，且使这些自然数乘积最大，该乘积是多少？

11.用铁丝扎一个长方体模型，为了使长方体的体积恰好等于216立方厘米，长方体的长、宽、高各是多少厘米时，所用的铁丝最短？

这根铁丝最短是多少厘米？

能力测试

一、填空题（每题4分，共20分）

1.两个自然数的和是31，要使这两个整数的乘积最大，这两个整数分别是（）和（）。

2.比较A与B的大小。

A＝74521×

34284，B＝74520×

34285，（）＞（）。

3.农民张大伯要靠自家的土墙（土墙足够长）建一个长方形猪圈，另外三边（三边均为整数）砌成长36米的砖墙（如右图）。

砌成的猪圈的面积最大是（）平方米。

4.在修建一栋房屋时，一个木工在修建窗口时犯了难，如果窗口的周长相等，应修成（）（填“长方形”、“正方形”、“圆形”）。

5.把410分拆成几个自然数的和，要想使乘积最大，乘积最大是（）。

二、选择题（每题5分，共20分）

1.37×

75×

42×

76×

（），要想使这个连乘积的最后四位都是0，括号里最小填（）。

A.10000B.1000C.100D.50

2.在8969543这个数的某一位数字的后面再插入一个该数字，能得到的八位数最小是（）。

A.88969543B.89699543

C.89669543D.前面的答案都不对

3.要使

＜

成立，式中A最多可能取（）个不同的自然数。

A.1B.3C4D.5E.无数多

4.一张饼最少切（）刀就可以切成29块。

A6B.7C.8D.9

三、解答题（每题12分，共60分）

1.在下左图空方格内各填入一个一位数，使同一行内左面的数比右面的数大；

同一列内上面的数比下面的数小，并且方格内的六个数字互不相同。

如下右图为一种填法，那么最多有多少种不同填法？

2.某班共有48人，其中25人会滑冰，35人会打排球，40人会打乒乓球。

那么这个班最少有多少人这三项都会？

3.等式A÷

126＝14……B中，B应是什么数时才能使A最大？

4.把19拆成几个自然数的和，才能使这些自然数的乘积最大？

最大乘积是多少？

5.在1，2，3，4，5，6，7，8，9，10这十个数的每相邻两数之间填上一个加号或一个减号，组成一个算式，并满足以下两个要求：

（1）算式的结果等于37；

（2）这个算式中的所有减数（前面填了减号的数）的乘积尽可能大。

那么这些减数的最大乘积是多少？