上海市高考数学试卷理科.doc
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2014年上海市高考数学试卷（理科）
一、填空题（共14题，满分56分）
1．（4分）（2014•上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是 _________ ．
2．（4分）（2014•上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•= _________ ．
3．（4分）（2014•上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 _________ ．
4．（4分）（2014•上海）设f（x）=，若f
（2）=4，则a的取值范围为 _________ ．
5．（4分）（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为 _________ ．
6．（4分）（2014•上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 _________ （结果用反三角函数值表示）．
7．（4分）（2014•上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是 _________ ．
8．（4分）（2014•上海）设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=（a3+a4+…an），则q= _________ ．
9．（4分）（2014•上海）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是 _________ ．
10．（4分）（2014•上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 _________ （结果用最简分数表示）．
11．（4分）（2014•上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b= _________ ．
12．（4分）（2014•上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3= _________ ．
13．（4分）（2014•上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为 _________ ．
14．（4分）（2014•上海）已知曲线C：
x=﹣，直线l：
x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为 _________ ．
二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分
15．（5分）（2014•上海）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（ ）
A．
充分非必要条件
B．
必要非充分条件
C．
充要条件
D．
既非充分又非必要条件
16．（5分）（2014•上海）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（ ）
A．
1
B．
2
C．
3
D．
4
17．（5分）（2014•上海）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（ ）
A．
无论k，P1，P2如何，总是无解
B．
无论k，P1，P2如何，总有唯一解
C．
存在k，P1，P2，使之恰有两解
D．
存在k，P1，P2，使之有无穷多解
18．（5分）（2014•上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（ ）
A．
[﹣1，2]
B．
[﹣1，0]
C．
[1，2]
D．
[0，2]
三、解答题（共5题，满分72分）
19．（12分）（2014•上海）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．
20．（14分）（2014•上海）设常数a≥0，函数f（x）=．
（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；
（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．
21．（14分）（2014•上海）如图，某公司要在A、B两地连线上的定点C处建造广告牌CD，其中D为顶端，AC长35米，CB长80米，设点A、B在同一水平面上，从A和B看D的仰角分别为α和β．
（1）设计中CD是铅垂方向，若要求α≥2β，问CD的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
（2）施工完成后，CD与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β=18.45°，求CD的长（结果精确到0.01米）．
22．（16分）（2014•上海）在平面直角坐标系xOy中，对于直线l：
ax+by+c=0和点P1（x1，y1），P2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点P1，P2被直线l分隔，若曲线C与直线l没有公共点，且曲线C上存在点P1、P2被直线l分隔，则称直线l为曲线C的一条分隔线．
（1）求证：
点A（1，2），B（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；
（2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；
（3）动点M到点Q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点M的轨迹为曲线E，求证：
通过原点的直线中，有且仅有一条直线是E的分隔线．
23．（16分）（2014•上海）已知数列{an}满足an≤an+1≤3an，n∈N*，a1=1．
（1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；
（2）设{an}是公比为q的等比数列，Sn=a1+a2+…an，若Sn≤Sn+1≤3Sn，n∈N*，求q的取值范围．
（3）若a1，a2，…ak成等差数列，且a1+a2+…ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…ak的公差．
2014年上海市高考数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题（共14题，满分56分）
1．（4分）（2014•上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是 ．
2．（4分）（2014•上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）•= 6 ．
3．（4分）（2014•上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 x=﹣2 ．
4．（4分）（2014•上海）设f（x）=，若f
（2）=4，则a的取值范围为 （﹣∞，2] ．
5．（4分）（2014•上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为 2 ．
6．（4分）（2014•上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 arccos （结果用反三角函数值表示）．
7．（4分）（2014•上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是 ．
8．（4分）（2014•上海）设无穷等比数列{an}的公比为q，若a1=（a3+a4+…an），则q= ．
9．（4分）（2014•上海）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是 （0，1） ．
10．（4分）（2014•上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）．
11．（4分）（2014•上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b= ﹣1 ．
12．（4分）（2014•上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3= ．
13．（4分）（2014•上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为 0.2 ．
14．（4分）（2014•上海）已知曲线C：
x=﹣，直线l：
x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上的Q使得+=，则m的取值范围为 [2，3] ．
二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分
15．（5分）（2014•上海）设a，b∈R，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（ ）
A．
充分非必要条件
B．
必要非充分条件
C．
充要条件
D．
既非充分又非必要条件
解答：
解：
当a=5，b=0时，满足a+b＞4，但a＞2且b＞2不成立，即充分性不成立，
若a＞2且b＞2，则必有a+b＞4，即必要性成立，
故“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的必要不充分条件，
故选：
B．
16．（5分）（2014•上海）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（ ）
解答：
解：
如图建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），B（2，0，1），P1（1，0，1），P2（0，0，1），P3（2，1，1），P4（1，1，1），P5（0，1，1），P6（2，2，1），P7（1，2，1），
P8（0，2，1），
，=（﹣1，0，1），=（﹣2，0，1），=（0，1，1），=（﹣1，1，1），=（﹣2，1，1），=（0，2，1），
=（﹣1，2，1），=（﹣2，2，1），
易得•=1（i=1，2，…，8），
∴•（i=1，2，…，8）的不同值的个数为1，
故选A．
17．（5分）（2014•上海）已知P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（ ）
解答：
解：
P1（a1，b1）与P2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，直线y=kx+1的斜率存在，
∴k=，即a1≠a2，并且b1=ka1+1，b2=ka2+1，∴a2b1﹣a1b2=ka1a2﹣ka1a2+a2﹣a1=a2﹣a1
，
①×b2﹣②×b1得：
（a2b1﹣a1b2）x=b2﹣b1，
即（a2﹣a1）x=b2﹣b1．∴方程组有唯一解．
故选：
B．
18．（5分）（2014•上海）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（ ）
解答：
解；当a＜0时，显然f（0）不是f（x）的最小值，
当a≥0时，f（0）=a2，
由题意得：
a2≤x++a≤2+a，
解不等式：
a2﹣a﹣2≤0，得﹣1≤a≤2，
∴0≤a≤2，
故选：
D．
点评：
本题考察了分段函数的问题，基本不等式的应用，渗透了分类讨论思想，是一道基础题．
三、解答题（共5题，满分72分）
19．（12分）（2014•上海）底面边长为2的正三棱锥P﹣ABC，其表面展开图是三角形P1P2P3，如图，求△P1P2P3的各边长及此三棱锥的体积V．
解答：
解：
根据题意可得：
P1，B，P2共线，∵∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2，∠ABC=60°，
∴∠ABP1=∠BAP1=∠CBP2=60°，
∴∠P1=60°，同理∠P2=∠P3=60°，
∴△P1P2P3是等边三角形，P﹣ABC是正四面体，
∴△P1P2P3的边长为4，
VP﹣ABC==
20．（14分）（2014•上海）设常数a≥0，函数f（x）=．
（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；
（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．
解答：
解：
（1）∵a=4，
∴
∴，
∴，
∴调换x，y的位置可得，x∈（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
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