精算数学寿险精算学课件.ppt

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ActurialMathematics（寿险精算学）第三章NetSinglePremiumofLifeInsurance人寿保险趸缴纯保费的厘定本章结构v人寿保险趸缴纯保费厘定原理vtheprincipalofnetsinglepremiunv死亡即刻赔付保险趸缴纯保费的厘定vnetsinglepremiumpaidatthemonentofdeathv死亡年末赔付保险趸缴纯保费的厘定vnetsinglepremiumpaidattheendoftheyearofdeathv递归方程vrecursionequationsv计算基数vcommutationfunctions第二章中英文单词对照一v趸缴纯保费v精算现时值v死亡即刻赔付保险v死亡年末给付保险v定额受益保险vNetsinglepremiumvActuarialpresentvaluevInsurancespayableatthemomentofdeathvInsurancespayableattheendoftheyearofdeathvLevelbenefitinsurance第二章中英文单词对照二v定期人寿保险v终身人寿保险v两全保险v生存保险v延期保险v变额受益保险vTermlifeinsurancevWholelifeinsurancevEndowmentinsurancevPureendowmentinsurancevDeferredinsurancevVaryingbenefitinsurance第一节人寿保险趸缴纯保费厘定的原理1、人寿保险简介v什么是人寿保险狭义的人寿保险是以被保险人在保障期是否死亡作为保险标的的一种保险。

广义的人寿保险是以被保险人的寿命作为保险标的的一种保险。

它包括以保障期内被保险人死亡为标的的狭义寿险，也包括以保障期内被保险人生存为标底的生存保险和两全保险。

2、人寿保险的分类v受益金额是否恒定定额受益保险levelbenefitinsurance变额受益保险varyingbenefitinsurancev保单签约日和保障期期始日是否同时进行非延期保险non-deferredinsurance延期保险deferredinsurancev保障标的的不同人寿保险lifeinsurance生存保险pureendowmentinsurance两全保险endowmentinsurancev保障期是否有限定期寿险termyearinsurance终身寿险wholelifeinsurance3、人寿保险的性质v保障的长期性（longterm）这使得从投保到赔付期间的投资受益（利息）成为不容忽视的因素。

v保险赔付金额和赔付时间的不确定性（uncertainofthesizeandtimeofpayment）人寿保险的赔付金额和赔付时间依赖于被保险人的生命状况。

被保险人的死亡时间是一个随机变量。

这就意味着保险公司的赔付额也是一个随机变量，它依赖于被保险人剩余寿命分布。

v被保障人群的大数性（largenumberoftheinsured）这就意味着，保险公司可以依靠概率统计的原理计算出平均赔付并可预测将来的风险。

4、趸缴纯保费的厘定v4.1假定条件（assumptions）假定一：

同性别、同年龄、同时参保的被保险人的剩余寿命是独立同分布的。

假定二：

被保险人的剩余寿命分布可以用经验生命表进行拟合（fitting）。

假定三：

保险公司可以预测将来的投资受益（即预定利率）。

4、趸缴纯保费的厘定v4.2厘定原则保费净均衡原则解释v所谓净均衡原则（itisnetbecauseithasnotbeenloaded），即保费收入的期望现时值正好等于将来的保险赔付金的期望现时值（expectationofthepresentvalueofthenetpremiumequalsexpectationofthepresentvalueofthepayment）。

它的实质是在统计意义上的收支平衡。

是在大数场合下，收费期望现时值等于支出期望现时值4、趸缴纯保费的厘定v4.3基本符号v投保年龄的人。

v人的极限年龄v保险金给付函数。

v贴现函数。

v保险给付金在保单生效时的现时值4、趸缴纯保费的厘定v趸缴纯保费的定义在保单生效日一次性支付将来保险赔付金的期望现时值v趸缴纯保费的厘定按照净均衡原则，趸缴纯保费就等于第二节死亡即刻赔付趸缴纯保费的厘定1、死亡即刻赔付（payableatthemomentofdeath）v死亡即刻赔付的含义死亡即刻赔付就是指如果被保险人在保障期内发生保险责任范围内的死亡，保险公司将在死亡事件发生之后，立刻给予保险赔付。

它是在实际应用场合，保险公司通常采用的理赔方式。

由于死亡可能发生在被保险人投保之后的任意时刻，所以死亡即刻赔付时刻是一个连续随机变量，它距保单生效日的时期长度就等于被保险人签约时的剩余寿命。

2、主要险种的趸缴纯保费的厘定vn年期定期寿险n-yeartermlifeinsurancev终身寿险wholelifeinsurancev延期m年的终身寿险m-yeardeferredwholelifeinsurancevn年期生存保险n-yearpureendowmentvn年期两全保险n-yearendowmentv延期m年的n年期的两全保险m-yeardeferredn-yearendowmentv递增终身寿险increasingwholelifeinsurancev递减n年定期寿险decreasingn-yearterminsurance2.1、n年定期寿险v定义保险人只对被保险人在投保后的n年内发生的保险责任范围内的死亡给付保险金的险种，又称为n年死亡保险（theinsurerprovidesforapaymentonlyiftheinsureddieswithinthen-yearterm）。

v假定：

岁的人，保额1元n年定期寿险v基本函数关系2.1、n年定期寿险v趸缴纯保费的符号：

v厘定：

2.1、n年定期寿险v现值随机变量的方差公式v记（相当于利息力翻倍以后求n年期寿险的趸缴保费）v所以方差等价为Example2.1.1vifvshowsolutions2.2、终身寿险v定义保险人对被保险人在投保后任何时刻发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种（theinsurerprovidesforapaymentfollowingthedeathoftheinsuredatanytimeinthefuture）。

v假定：

岁的人，保额1元终身寿险v基本函数关系2.2、终身寿险v趸缴纯保费的符号：

v厘定：

2.2、终身寿险v现值随机变量的方差公式v记v所以方差等价为Example2.2.1v设（x）投保终身寿险，保险金额为1元v保险金在死亡即刻赔付v签单时，（x）的剩余寿命的密度函数为v计算solutionssolutionsExample2.2.2vAssumethateachof100independentlivesisagexissubjecttoaconstantforceofmortality,=0.04andisinsuredforadeathbenefitamountof10units,payableatthemomentofdeathvThebenefitpaymentaretobewithdrawnfromaninvestmentfundearing=0.06.Calculatetheminimumamountthatatt=0sothattheprobabilityisapproximately0.95thatsufficientfundswillbeonhandtowithdrawthebenefitpaymentatthedeathofeachindividual2.3、延期终身寿险v定义保险人对被保险人在投保m年后发生的保险责任范围内的死亡均给付保险金的险种（provideforabenefitfollowingthedeathofoftheinsuredonlyiftheinsureddiesatleastmyearsafterpolicyissue）。

v假定：

岁的人，保额1元，延期m年的终身寿险v基本函数关系2.3、延期终身寿险v趸缴纯保费的符号：

v厘定：

2.3、延期终身寿险v现值随机变量的方差公式v记v所以方差等价于例2.3.1v假设（x）投保延期10年的终身寿险，保额1元。

v保险金在死亡即刻赔付。

v已知v求：

例2.3.1答案exercisevConsidera5-yeardeferredwholelifeinsurancepayableatthemomentofthedeathof（x）,theindividualissubjecttoaconstantforceofmortality=0.04,forthedistributionofthepresentvalueofthebenefitpayment,at=0.10,calculateexpectaionvariacemedian2.4、n年定期生存保险v定义被保险人投保后生存至n年期满时，保险人在第n年末支付保险金的保险（theinsurerprovidesforapaymentattheendofthenyearsifandonlyiftheinsuredsurvivesatleastnyearsfromthetimeofpolicyissue）。

v假定：

岁的人，保额1元，n年定期生存保险v基本函数关系2.4、n年定期生存保险v趸缴纯保费的符号：

v趸缴纯保费厘定v现值随机变量的方差：

2.5、n年定期两全保险v定义被保险人投保后如果在n年期内发生保险责任范围内的死亡，保险人即刻给付保险金；如果被保险人生存至n年期满，保险人在第n年末支付保险金的保险。

（provideforanamounttobepayableeitherfollowingthedeathoftheinsuredoruponthesurvivaloftheinsuredtotheendofthen-yearterm,whicheveroccursfirst）。

v假定：

岁的人，保额1元，n年定期两全保险v基本函数关系2.5n年定期两全保险v趸缴纯保费的符号：

v厘定记：

n年定期寿险现值随机变量为n年定期生存险现值随机变量为n年定期两全险现值随机变量为已知则2.5n年定期两全保险n年定期两全险现值随机变量的方差可计算为因为所以例2.5.1（例2.1.1续）v设v计算例2.5.1答案2.6、延期m年n年定期两全保险v定义被保险人在投保后的前m年内的死亡不获赔偿，从第m+1年开始为期n年的定期两全保险v假定：

岁的人，保额1元，延期m年的n年定期两全保险v基本函数关系2.6、延期m年n年定期两全保险v趸缴纯保费的符号：

v厘定2.6、延期m年n年定期两全保险v记：

m年延期n年定期寿险现值随机变量为m年延期n年定期生存险现值随机变量为m年延期n年定期两全险现值随机变量为已知则现值随机变量的方差exercisev例：

考虑一个50岁的人，其