数学逻辑推理题知识讲解.docx
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数学逻辑推理题知识讲解
数学逻辑推理题
数学逻辑推理题
她们在做什么？
住在某个旅馆的同一房间的四个人A、B、C、D正在听一组流行音乐，她们当中有一个人在修指甲，一个人在写信，一个人躺在床上，另一个人在看书。
1.A不在修指甲，也不在看书；
2.B不躺在床上，也不在修指甲；
3.如果A不躺在床上，那么D不在修指甲；
4.C既不在看书，也不在修指甲；
5.D不在看书，也不躺在床上。
她们各自在做什么呢？
解法一：
可用排除法求解
由1、2、4、5知，既不是A、B在修指甲，也不是C在修指甲，因此修指甲的应该是D；但这与3的结论相矛盾，所以3的前提肯定不成立，即A应该是躺在床上；在4中C既不看书又不修指甲，由前面分析，C又不可能躺在床上，所以C是在写信；而B则是在看书。
解法二：
我们可以画出4×4的矩阵，然后消元
ABCD
修指甲---+
写信--+-
躺在床上+---
看书-+--
注意：
每行每列只能取一个，一旦取定，同样同列要涂掉
我们用“-”表示某人对应的此项被涂掉，“+”表示某人在做这件事。
①根据题目中的1、2、4、5我们可以在上述矩阵中涂掉相应项，用“-”表示。
（可知D在修指甲，B是在看书）
②题目中的解为A≠“躺在床上”则D≠“修指甲”；那么其逆否命题为：
若D=“修指甲”，则A=“躺在床上”。
（由①可知，A应该是“躺在床上”，所以在“躺在床上”的对应项处划上“+”）
③现在观察①②所得矩阵情况，考察A、B、C、D各列的纵向情况，可是在“写信”一项所对应的行中，只能在相应的C处划“+”，即C在写信。
至此，此矩阵完成。
我们可由此表得出判断。
这实际是一道逻辑推理题。
据上述方法，请思考下面一道问题：
有六个不同国籍的人，他们的名字分别为A，B，C，D，E和F；他们的国籍分别是美国、德国、英国、法国、俄罗斯和意大利（名字顺序与国籍顺序不一定一致）
现已知：
（1）A和美国人是医生；
（2）E和俄罗斯人是教师；
（3）C和德国人是技师；
（4）B和F曾经当过兵，而德国人从没当过兵；
（5）法国人比A年龄大，意大利人比C年龄大；
（6）B同美国人下周要到英国去旅行，C同法国人下周要到瑞士去度假。
请判断A、B、C、D、E、F分别是哪国人？
提示：
可以列表如下：
ABCDEF
美----
俄---
德-----
英
法---
意-
答案：
C.英国人；A.意大利人；B.俄罗斯人；E.法国人；F.美国人D.德国人
微软面试题目（数学与逻辑推理）
此题源于1981年柏林的德国逻辑思考学院，98%的测验者无法解答此题。
有五间房屋排成一列；所有房屋的外表颜色都不一样；所有的屋主来自不同的国家；所有的屋主都养不同的宠物；喝不同的饮料；抽不同的香烟。
（1）英国人住在红色房屋里；
（2）瑞典人养了一只狗；（3）丹麦人喝茶；（4）绿色的房子在白色的房子的左边；（5）绿色房屋的屋主喝咖啡；（6）吸PallMall香烟的屋主养鸟；（7）黄色屋主吸Dunhill香烟；（8）位于最中间的屋主喝牛奶；（9）挪威人住在第一间房屋里；（10）吸Blend香烟的人住在养猫人家的隔壁；（11）养马的屋主在吸Dunhill香烟的人家的隔壁；（12）吸BlueMaster香烟的屋主喝啤酒；（13）德国人吸Prince香烟；（14）挪威人住在蓝色房子隔壁；（15）只喝开水的人住在吸Blend香烟的人的隔壁
问：
谁养鱼？
提示：
首先确定
房子颜色：
红、黄、绿、白、蓝Color12345
国籍：
英、瑞、丹、挪、德=>Nationality12345
饮料：
茶、咖、奶、酒、水=>Drink12345
烟：
PM、DH、BM、PR、混=>Tobacco12345
宠物：
狗、鸟、马、猫、鱼=>Pet12345
然后有：
（9）=>N1=挪威
（14）=>C2=蓝
（4）=>如C3=绿，C4=白，则（8）和（5）矛盾，所以C4=绿，C5=白
剩下红黄只能为C1，C3
（1）=>C3=红，N3=英国，C1=黄
（8）=>D3=牛奶
（5）=>D4=咖啡
（7）=>T1=DH
（11）=>P2=马
那么：
挪威？
英国？
？
黄蓝红绿白
？
？
牛奶咖啡？
DH？
？
？
？
？
马？
？
？
（12）=>啤酒只能为D2或D5，BM只能为T2或T5=>D1=矿泉水
（3）=>茶只能为D2或D5，丹麦只能为N2或N5
（15）=>T2=混合烟=>BM=T5，
所以剩下啤酒=D5，茶=T2=>丹麦=D2
然后：
挪威丹麦英国？
？
黄蓝红绿白
矿泉水茶牛奶咖啡啤酒
DH混合烟？
？
BM
？
马？
？
？
（13）=>德国=N4，PR=T4
所以，瑞典=N5，PM=T3
（2）=>狗=P5
（6）=>鸟=P3
（10）=>猫=P1
得到：
挪威丹麦英国德国瑞典
黄蓝红绿白
矿泉水茶牛奶咖啡啤酒
DH混合烟PMPRBM
猫马鸟？
狗
所以，最后剩下的鱼只能由德国人养了。
从“零和五定律”分析数学逻辑推理中的诡辩
数学很喜欢他的理工科思维，依此标新立异，在他的文章里大谈理工科思维如何优于别的思维，还宏论古今中外之思维方法，似乎只有他的理工科思维最科学、最正确。
关于他的“零和五定律”，我们一开始都是在论证它的结论是否正确，被他的所谓定律的表象所迷惑，及刨根先生对他的问题进行讨论时，总是发现它的每个定律之前都有一个假设，挥之不去。
如果你的反驳论证超出数学的假设，数学就认为反驳者没有按规矩行事，是狡辩，如果从他的假设出发，又得不出与他的结论明显不符的结果来，
我也从他的假设出发，类比推理了一圈，也没发现问题，甚是迷惑。
明明觉得他的结论有问题，却又找不出毛病所在，一时让我陷入困惑之中。
好在数学先生还是沉不住气，在刨根面前大谈起思维方法来，这一番高论反倒提醒了我，从逻辑思维方面看看数学的五定律有无问题，毕竟我是专门学过逻辑学这门课程的。
仔细一研究，终于发现，这哪里是数学先生的高明，完全是在玩逻辑学中的诡辩，原来数学先生是在玩诡辩的把戏，也许他自己还没发现。
我如果没仔细分析，也不会轻易就能发现它的逻辑问题。
我们知道，逻辑学中的思维方法一般有推理和归纳两种，我在数学的文章里看到的他大量的使用归纳的推理方法，但归纳推理有一个很致命的缺点就是，你举的例子再多，只要找到一个相反的例子，就可以推翻你的结论的正确与普适；
最简单的例子就是：
一个人在他的一生中所看到的乌鸦都是黑的，就得出“天下乌鸦一般黑”的结论，但只要有一个人见到一只白乌鸦，那这个“天下乌鸦一般黑”的结论就不能成立。
而推理则不然，只要你的假设正确、推理过程符合逻辑学规则，你的结论就必定正确，也无需所谓实践的检验，这完全是逻辑学问题。
用逻辑学的推理方法，请看我细细地分解数学的“零和五定律”。
在数学的“零和五定律”中都有一个共同的假设，那就是：
“假设中国人民银行，在一定时间内，再也不发行新的人民币了”。
我们先不看他的推理过程和结论如何，单从这个假设中你能得到什么信息呢？
有时间限定、有发行人民币的机构——人民银行，这都不是关键，最关键的一句话就是“再也不发行新的人民币了，”这个叙述中已经包含了“不再发行新币”这个判断性限定，就是没有任何经济学常识也知道世界上只有人民银行发行人民币，根据物质不灭定律我们都会得出这样的判断：
人民币的数量守恒，既不可能增加，也不可能减少。
这就是在你的假设中已经含有“人民币守恒不变的结论”了。
一个很简单的例子：
如果把一袋豆子和一袋谷子倒在同一个缸里，盖上盖子，如果没有被盗，没有被老鼠偷吃和其他损耗，老农也知道，他的谷子和豆子是不会突然消失的，数量不变。
那么我们再看看数学的“零和五定律”的结论吧
定律一的结论：
如果考虑到人民币的毁坏，丢失，则全世界人民币的总数将小于N元。
但决无可能大于N元。
定律二的结论：
人民币统统加起来，一定等于N元人民币。
一年以后是这样，几年以后也是这样。
定律三的结论：
红笔记的数字和黑笔记的数字统统加起来，一定等于零。
我概括为：
人民币增量或减量为零。
定律四的结论：
由于交易的随机性，游戏的结果，必然是这N元人民币往少数的单位和人手里集中，这是由“久赌必输”定理决定的。
定律五的结论：
在一段时间内，统统都是黑字，统统没有赤字，这是痴心妄想。
我概括为：
人民币总的增量与减量之和不可能大于零，也不可能小于零，而只能是零。
纵观这五个结论，除结论四与假设的限定无关外，其他的几个结论其实早就包含在他的假设之中，这根本无须论证。
结论四在众人的质疑之下，数学先生自己也没拿出证明自己正确的办法来，只好暂时收回这个结论。
把要推出的结论事先包含在假设之中，这种逻辑学推理方法在逻辑学中叫“循环论证”，是彻头彻尾的逻辑学错误，也是推理中的“诡辩”，没有研习过逻辑学的朋友们也难免被这种诡辩方法迷惑，就连我也差一点上当呢。
也许数学先生没有发现自己在逻辑学中的错误，并不是故意的。
如果我这样说明你还不明白，那就让我给出一个简单的这类例子吧：
按照他的推理方法看看这种推理方法的荒谬何在：
大前提（假设）：
所有的鸟都是黑色的。
小前提：
乌鸦是一种鸟。
结论：
包括乌鸦在内的所有的鸟都是黑色的。
我想你已经明白数学的“零和五定律”为何物了吧。
1．特尔斐城的少女
A、B、C和D四个人是古希腊少女。
她们正在接受训练以便当个预言家。
（实际上，后来她们之中只有一个人成了预言家，并在特尔斐城谋得一个职位。
其余三个人，一个当了职业舞蹈家、一个当了宫廷女侍、第三个当了演奏家。
）
一天，她们四个人在练习讲预言。
A预言：
“B无论如何也成不了职业舞蹈家”。
B预言：
“C将成为特尔斐城的预言家”。
C预言：
“D不会成为演奏家”。
D预言她自己将嫁给一个叫阿特的男人。
可是，事实上她们四个人中，只有一个人的预言是正确的，而正是这个人当了特尔斐城的预言家。
她们四个人中谁当了什么？
D和阿特结婚了吗？
2．选举预测
完美岛上有四个政党——白食党、延期付款党、绝对平等党和更大光荣党。
A、B、C三个人在推测这四个政党中哪个党能在即将来临的大选中获胜。
A认为，不是白食党获胜，就是延期付款党获胜。
B确信，获胜的决不会是白食党。
C表示，无论是延期付款党还是更大光荣党，都没有获胜的可能。
他们当中只有一个人的推测是对的。
这四个政党中哪个党获胜？
3．护士们的休息日
A、B、C、D、E、F、G七名护士每周都有一天休息，但她们之中没有任何人的休息日是在同一天。
已经知道：
A的休息日比C的休息日晚一天；D的休息日比E的休息日的前一天晚三天；B的休息日比G的休息日早三天；F的休息日在B和C的休息日的正中间、而且是在星期四。
每个护士星期几休息？
4．愉快的生日
A、B、C、D和E五个人的生日是挨着的。
但并非按上述次序排列。
A的生日比C的生日早的天数正好等于B的生日比E的生日晚的天数。
D比E大两天。
C今年的生日是星期三。
其他四个人今年的生日都在星期几？
5．黑色和白色的前额
有A、B、C、D、E五个人。
每个人都把一块白色或黑色的圆牌系在各自的前额上。
每个人都能看到系在其他四个人前额上的牌，但又都看不见他自己的。
如果一个人系的圆牌是白色的，他所讲的话就是真实的；如果系的圆牌是黑色的，他所说的话就是假的。
他们说的话如下：
A说：
我看见三块白牌和一块黑牌。
B说：
我看见四块黑牌。
C说：
我看见块白牌和三块黑牌。
E说：
我看见四违犯白牌。
他们每个人系的圆牌都是什么颜色的？
6．躯体与灵魂
有人说过：
“伟大的灵魂常寓于短小的躯体”。
A、B、C、D都特别注意各自的体重。
一天，他们根据最近称量的结果说了以下的一些话：
A：
B比D轻。
B：
A比C重。
C：
我比D重。
D：
C比B重。
很有趣的是，他们说的这些话中，只有一个人说的是真实的，而这个人正是他们四个人中体重最轻的一个（他们四个人的体重各不相同）。
请将A、B、C、D按各人的体重由轻到重排列
7．星期几
A、B、C、D、E、F、G七个人在争论今天是星期几。
A：
后天是星期三。
B：
不对，今天是星期三。
C：
你们都错了，明天是星期三。
D：
胡说！
今天既不是星期一、也不是星期二、更不是星期三。
E：
我确信昨天是星期四。
F：
不对！
你弄颠倒了，明天是星期四。
G：
不管怎样，昨天不是星期六。
他们之中只有一个人讲对，是哪一个？
今天到底是星期几？
8．查理的懊恼
我们所在的这个世界是个竞争的世界，所以希望大家抓紧良机，树立并发挥竞争精神。
在这方面，查理（C）得到了充分的发展。
一天早上，查理（C）非常懊恼地告诉我，在一场与阿尔夫（A）、巴特（B）、达吉（D）和欧尼（E）的竞赛中，他没能获得第一名。
他还告诉我，D比E低二个名次，而E不是第二名；A既不是第一名，也不是最后一名。
后来，我从B那里听说，他比C低一个名次。
他们比赛结果的名次（没有并列的）是如何排列的？
9．按规则办事
由于人事关系的复杂性。
因此，在不同的时期、不同的情况下，我们的工厂都能有一个适合特定情况的规则。
有一个时期的规则是这样的：
（1）如果A来上班，B必须休息，除非E不出工。
若E不出工，B必须出工，而C必须休息。
（2）A和C不能同天出工或同天休息。
（3）如果E来干活，D必须休息。
（4）如果B休息，E必须出工，除非C来上班。
若C来上班，E必须休息，而D必须来干活。
为了群众需要，我们的生产必须打破常规，一周七天都要进行。
因此，得做出一个安排，使七天之中每天都有一批工人来上班是必要的。
按照上述规则，七天中谁什么时候来上班、谁什么时候休息？
10．瓶子先生和门先生去参加会议
最近，我们工厂正在调整工作。
工作人员A、B、C、D、E、F、G还都不太清楚在开门、关门、擦门把手、洗瓶子、扫地领班、福利干事和工人这七种工作中，谁在干什么工作。
他们当中的四个人被选为工厂代表去参加有关今后十年发展方针的讨论会。
他们四个人被称为福利先生、扫地先生、瓶子先生和门先生。
尽管他们每个人知道了自己的头衔，但他们不知道别人的头衔。
这四名代表参加会议时根据他们讲的话作了笔记如下：
福利先生:
（1）F是洗瓶人。
（2）B是工人。
（3）D不是瓶子先生。
扫地先生:
（1）A是工人。
（2）C不是瓶子先生。
瓶子先生:
（1）E是福利干事。
（2）B是洗瓶人。
门先生：
（1）D是工人。
（2）C是洗瓶人。
（3）G的工作与门无关。
很有意思但并不奇怪的是，如果上述每句话中提到的人在场，那么这句话就是对的，而如果话中提到的人是三个不在场的人中的一个，那么那句话就是假的（没有一个人说话中提到自己的名字，会上提到的头衔也不一定与他们现在的工作有关）。
参加会议的四个人是谁？
他们现在的工作是什么？
11．无能、不幸和多余
欠完美岛上有三个部落：
破卡族（他们总是很诚实的）、妖太族（他们从不讲真话）、西利撒拉族（他们总是讲一句真话再讲一句假话，或先讲假话再讲真话）。
这三个部落的酋长是无能、不幸和多余（他们的名字并未按部落的相应次序排列），正在讲他们本部落的本性。
无能说：
（1）多余属于西利撒拉族。
（2）我是破卡族。
不幸说：
无能属于妖太族。
多余说：
不幸属于妖太族。
请确定他们三人各属哪个民族？
12．沉默的C
欠完美岛上有三个不同的部落——总是讲真话的破卡族、从来不说真话的妖太族和真话、假话或假话、真话交替地说的西利撒拉族。
在一个由各族派一个代表参加的讨论会上，A、B、C以各自部落的特色讲话：
A说：
（1）我是个西利撒拉。
（2）B说过他是个破卡。
（3）C说过他是个妖太。
B说：
我是个西利撒拉。
C没有说话。
A、B、C各属哪个部落？
13．迷人的女酋长
曾有个时期欠完美岛上三个部落的头头都是妇女。
她们的名字叫玫瑰、丁香和芳芳，她们三个人开展了魅力的竞赛。
三个部落当然还是那个总讲真话的破卡族，从不讲真话的妖太族和真、假或假、真交替说话的西利撒拉族。
三个妇女讲了以下情况：
玫瑰：
（1）丁香是个西利撒拉。
（2）丁香比芳芳更美丽。
丁香：
（1）芳芳是个妖太。
（2）玫瑰是个破卡。
芳芳：
（1）我们中间没最诚实者最难看。
（2）玫瑰肯定不是我们三个人中最美丽的一个。
请指出每位妇女属于哪个部落和她们在魅力竞赛中的名次。
14．打电话并不都象玫瑰花那么美好
欠完美岛的居民最近刚刚享受到了电话的乐趣。
可是这些乐趣由于联络上的困难而变得有些复杂和不可靠了。
岛上有三个部落——总是讲真话的破卡族、从来不说真话的妖太族和真话、假话或假话、真话交替地说的西利撒拉族。
这种部落的风格也表现在谈电话号码上面。
他们的电话号码都是三位数字，因此，当一个妖太谈到电话号码时，三个数字就全不对。
若是西利撒拉给的电话号码，则是对、错或错、对交替，并以同样的交替方式连续使用。
当然，一个破卡说的电话数字全是正确的。
岛上来自不同部落的三个人，分别讲了以下情况：
A：
（1）我的号码是468。
（2）C的号码是403。
B：
（1）我的号码是942。
（2）A的号码是587。
C：
我的号码是304。
上述号码若有错就都差1，即比正确的数字大1或小1。
找出每人属于哪个部落。
尽可能猜出他们的电话号码，能猜多少就猜多少。
15．欠完美岛上的足球队
欠完美岛上的三个部落各选出了最好的足球队准备相互比赛一次。
比赛结束后，三个球队的队长（A、B、C，没有一定的次序）对比赛以及各队作了一些评论。
当然，这些评论还是具有各自部落的特色——破卡族的队长讲的全是真话，妖太族的队长说的全是假话，西利撒拉族的队长是真话、假话或假话、真话交替地说的。
A说：
（1）C的球队进了四个球。
（2）C是个妖太。
（3）B的球队只进了一个球。
B说：
（1）A是个破卡。
（2）我们比赛的两场都胜了。
（3）我们队平了C的球队。
C说：
（1）破卡队击败了西利撒拉队。
（2）A的球队胜了我们队三个球。
（3）B说A是个破卡。
（4）有一场球打成了平局。
找出A、B、C各属哪个部落，以及他们在比赛中的成绩。
16．逻辑胡同
欠完美岛上有一条叫做逻辑胡同的特殊街道。
这条街上的房子一般都是给数学家们保留的。
加加、除除和偶偶三个人住在这条街上的三所不同的房子里（这条街的房子的门牌号是从1号到50号）。
三个人中有一个人是破卡族，这个部落总是讲真话的；另一个是妖太族，他们从不讲真话；第三个人是西利撒拉族，他们总是真话、假话或假话、真话交替地讲。
他们讲了以下情况：
加加：
（1）我家的门牌号比除除的号大。
（2）我家的门牌号可以被4除尽。
（3）偶偶的门牌号与他们中另一人的差13。
除除：
（1）加加的门牌号可被12除尽。
（2）我的门牌号是37。
（3）偶偶的门牌号是个偶数。
偶偶：
（1）没有一个人的门牌号可被10除尽。
（2）我的门牌号是30。
（3）加加的门牌号可被3除尽。
找出他们三个人各属哪个部落和他们各自的门牌号。
18.缺点比赛
A、B、C是欠完美岛上的三个居民。
其中一个是总讲真话的破卡部落的成员，另一个是从来不讲真话的妖太部落的成员，第三个则是真话、假话或假话、真话交替着讲的西利撒拉部落的成员。
他们在开展各种缺点的比赛——比一比谁最愚蠢、最平凡、最不受欢迎。
他们按比赛名次排列（没有并列的）。
比赛结束后，他们每人说了三种情况。
当然，在说这些情况时，每人都表现了各部落的特性。
A：
（1）B在愚蠢测验中所得的名次比在不受欢迎测验中所得的名次高。
（2）参不受欢迎测验中比在平凡测验中得的名次低。
（3）我在不受欢迎测验和平凡测验中的名次相同。
B：
（1）我不是一个西利撒拉。
（2）我比C更不受欢迎。
（3）C是个破卡。
C：
（1）A是我们三个人中最受欢迎的。
（2）划个妖太。
（3）我比A更愚蠢。
找出A、B、C各属哪个部落，以及他们在这些测验中的名次。
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【答案】
1、A是预言家、B是宫廷女侍、C是舞蹈家、D是演奏家D没有和阿特结婚
2、更大光荣党获胜（B的推测是对的）。
3、A是星期日，B是星期二，C是星期六，D是星期三，E是星期一，F是星期四，G是星期五。
4、A的生日是星期一；B的生日是星期四；C的生日是星期三。
D的生日是星期日；E的生日是星期二。
5、提示
先看E的话，如果是对的，那么其它人都应当说……
再看B的话，如果……（注意：
黑牌者的话不会是正确的），
再看A，再看C，D必然是……。
答案A、B、E是黑牌。
C、D是白牌。
6、提示先看C的话，如果是对的，那么C就应最轻，但他的话是……
如果C错，即D比C重，那么D的话能是对的吗……
如果D是错的，那么B的话是对的吗……
（注意：
最轻者的话才是对的；只要有人比他轻，他的话。
答案A、B、E是黑牌。
C、D是白牌。
7、提示
先确定每个人的结论，分别是什么……
A：
星期一；B：
星期三；C星期二；D：
星期四、五、六、日；…
看星期几被两个人以上所肯定，星期几只有一个人认为是对的？
答案D：
星期日。
8、提示分别列出第一名可能是那些人（不是C，也不是D、A、B）；第二名有可能是那些人；……再根据相互关系即可确定每个人的名次
答案EADCB。
9、提示每个人上班的天数不一定一样多，每天上班的人数也不一定一样多。
按题目规则分析各种出工的可能情况，给出一个每天不同的出工安排。
答案七天上班安排：
AEABDABCDBCEBCDBC。
10、提示分析四个人的话，三句提到洗瓶人的话应至少二句是假的，三句提到工人的话也就至少二句是假的，因此BCF至少二人不在场、ABD至少二人不在场，但不在场的仅三人……。
答案
福利先生是C，他现在是洗瓶人。
扫地先生是D，现在是工人。
瓶子先生是G，他现在是扫地领班。
门先生是E，他现在是福利干事。
11、提示先假设一句话是错的，如不幸的话，再推论其它人，看是否矛盾（如有矛盾则换一种假设）。
答案无能是个悲破卡，不幸是个妖太，多余是个西利撒拉。
12、提示先假设一句话是错的，再推论其它人，看是否矛盾（如有矛盾则换一种假设）。
答案A是个妖太，B是个西利撒拉，C是个破卡。
13、提示先假设一句话是错的，再推论其它人，看是否矛盾（如有矛盾则换一种假设）。
答案玫瑰是西利撒拉（第一句话是假的，第二
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