新教材高中数学必修第一册第4章 443不同函数增长的差异.docx

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新教材高中数学必修第一册第4章443不同函数增长的差异

4.4.3　不同函数增长的差异

学习目标　1.了解常用的描述现实世界中不同增长规律的函数模型.2.了解直线上升、指数爆炸、对数增长等增长含义．

知识点　三种常见函数模型的增长差异

函数

性质

y＝ax（a>1）

y＝logax（a>1）

y＝kx（k>0）

在（0，＋∞）上的增减性

增函数

增函数

增函数

图象的变化

随x的增大逐渐变“陡”

随x的增大逐渐趋于稳定

随x的增大匀速上升

增长速度

y＝ax的增长快于y＝kx的增长，y＝kx的增长快于y＝logax的增长

增长后果

会存在一个x0，当x>x0时，有ax>kx>logax

1．当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数．（　√　）

2．一个好的函数模型，既能与现有数据高度符合，又能很好地推演和预测．（　√　）

3．函数

衰减的速度越来越慢．（　√　）

4．由于指数函数模型增长速度最快，所以对于任意x∈R恒有ax>2x（a>1）．（　×　）

一、几类函数模型增长差异的比较

例1　四个变量y1，y2，y3，y4随变量x变化的数据如表：

x

1

5

10

15

20

25

30

y1

2

26

101

226

401

626

901

y2

2

32

1024

32768

1.05×106

3.36×107

1.07×109

y3

2

10

20

30

40

50

60

y4

2

4.322

5.322

5.907

6.322

6.644

6.907

关于x呈指数函数变化的变量是________．

答案　y2

解析　从表格观察函数值y1，y2，y3，y4的增加值，哪个变量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化．

以爆炸式增长的变量呈指数函数变化．

从表格中可以看出，四个变量y1，y2，y3，y4均是从2开始变化，变量y1，y2，y3，y4都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y2的增长速度最快，画出它们的图象（图略），可知变量y2关于x呈指数函数变化．

反思感悟　常见的函数模型及增长特点

（1）线性函数模型

线性函数模型y＝kx＋b（k>0）的增长特点是“直线上升”，其增长速度不变．

（2）指数函数模型

指数函数模型y＝ax（a>1）的增长特点是随着变量的增大，函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．

（3）对数函数模型

对数函数模型y＝logax（a>1）的增长特点是随着自变量的增大，函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．可称为“对数增长”．

跟踪训练1　有一组数据如下表：

t

1.99

3.0

4.0

5.1

6.12

v

1.01

1.39

2.05

2.12

2.41

现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（　　）

A．v＝log2tB．

　C．v＝2t－1D．v＝2t－2

答案　A

解析　从表格中看到此函数为单调增函数，排除B，增长速度越来越慢，排除C和D，故选A.

二、函数模型的选择问题

例2　某人对东北一种松树生长进行了研究，收集了其高度h（米）与生长时间t（年）的相关数据，选择h＝mt＋b与h＝loga（t＋1）来刻画h与t的关系，你认为哪个符合？

并预测第8年的松树高度.

t（年）

1

2

3

4

5

6

h（米）

0.6

1

1.3

1.5

1.6

1.7

解　据表中数据作出散点图如图．

由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理．

不妨将（2,1）代入到h＝loga（t＋1）中，得1＝loga3，解得a＝3.

故可用函数h＝log3（t＋1）来刻画h与t的关系．

当t＝8时，求得h＝log3（8＋1）＝2，

故可预测第8年松树的高度为2米．

反思感悟　不同函数模型的选取标准

（1）线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律．

（2）指数函数增长模型适合于描述增长速度急剧的变化规律．

（3）对数函数增长模型适合于描述增长速度逐渐平缓的变化规律．

跟踪训练2　

（1）某地区植被被破坏，土地沙漠化越来越严重，测得最近三年沙漠增加值分别为0.2万公顷、0.4万公顷和0.76万公顷，则沙漠增加值y万公顷关于年数x的函数关系式大致可以是（　　）

A．y＝0.2xB．y＝

（x2＋2x）

C．y＝

D．y＝0.2＋log16x

答案　C

解析　对于A，x＝1,2时，符合题意，x＝3时，y＝0.6，与0.76相差0.16；

对于B，x＝1时，y＝0.3；x＝2时，y＝0.8；x＝3时，y＝1.5，相差较大，不符合题意；

对于C，x＝1,2时，符合题意，x＝3时，y＝0.8，与0.76相差0.04，与A比较，符合题意；

对于D，x＝1时，y＝0.2；x＝2时，y＝0.45；x＝3时，y≈0.6<0.7，相差较大，不符合题意．

（2）某跨国饮料公司在对全世界所有人均GDP在0.5～8千美元的地区销售该公司A饮料的情况调查时发现：

该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量最多，然后向两边递减．

下列几个模拟函数中：

①y＝ax2＋bx；

②y＝kx＋b；

③y＝logax＋b；

④y＝ax＋b（x表示人均GDP，单位：

千美元，y表示年人均A饮料的销售量，单位：

L）．

用哪个模拟函数来描述人均A饮料销售量与地区的人均GDP关系更合适？

说明理由．

解　用①来模拟比较合适．因为该饮料在人均GDP处于中等的地区销售量更多，然后向两边递减．而②③④表示的函数在区间上是单调函数，所以②③④都不合适，故用①来模拟比较合适．

三、指数函数、对数函数与二次函数模型的比较

例3　函数f（x）＝2x（x>0）和g（x）＝x2（x>0）的图象如图所示．设两函数的图象交于点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1

（1）请指出图中曲线C1，C2分别对应的函数；

（2）求点A，B的坐标；

（3）结合函数图象，判断f（3），g（3），f（2019），g（2019）的大小．

解　

（1）C1对应的函数为g（x）＝x2，C2对应的函数为f（x）＝2x.

（2）因为f

（2）＝4，g

（2）＝4，f（4）＝16，g（4）＝16，

所以A（2,4），B（4,16）．

（3）由图象和

（2）可知，

当0g（x），

当2

当x>4时，f（x）>g（x），

所以f（2019）>g（2019），f（3）

又因为g（x）在（0，＋∞）上为增函数，

所以g（2019）>g（3），

故f（2019）>g（2019）>g（3）>f（3）．

反思感悟　指数函数、对数函数和二次函数增长差异的判断方法

（1）根据函数的变化量的情况对函数增长模型进行判断．

（2）根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和二次函数时，通常是观察函数图象上升的快慢，即随着自变量的增大，图象最“陡”的函数是指数函数；图象趋于平缓的函数是对数函数．

1．下列函数中，随着x的增长，增长速度最快的是（　　）

A．y＝50B．y＝1000x

C．y＝50x2D．y＝

ex

答案　D

解析　指数函数y＝ax，在a>1时呈爆炸式增长，而且a越大，增长速度越快，故选D.

2．三个变量y1，y2，y3随着变量x的变化情况如下表：

x

1

3

5

7

9

11

y1

5

25

45

65

85

105

y2

5

29

245

2189

19685

177149

y3

5

6.10

6.61

6.95

7.2

7.4

则关于x分别呈对数型函数，指数型函数，直线型函数变化的变量依次为（　　）

A．y1，y2，y3B．y2，y1，y3

C．y3，y2，y1D．y1，y3，y2

答案　C

解析　通过指数型函数，对数型函数，直线型函数的增长规律比较可知，对数型函数的增长速度越来越慢，变量y3随x的变化符合此规律；指数型函数的增长是爆炸式增长，y2随x的变化符合此规律；直线型函数的增长速度稳定不变，y1随x的变化符合此规律，故选C.

3．甲从A地到B地，途中前一半路程的行驶速度是v1，后一半路程的行驶速度是v2（v1

答案　B

4．下列选项是四种生意预期的收益y关于时间x的函数，从足够长远的角度看，更为有前途的生意是________．（填序号）

①y＝10×1.05x；②y＝20＋x1.5；③y＝30＋lg（x－1）；④y＝50.

考点　建立函数模型解决实际问题

题点　建立函数模型解决实际问题

答案　①

5．随着我国经济的不断发展，2014年年底某偏远地区农民人均年收入为3000元，预计该地区今后农民的人均年收入将以每年6%的年平均增长率增长，那么2021年年底该地区的农民人均年收入为________元．（精确到个位）

（附：

1.066≈1.42,1.067≈1.50,1.068≈1.59）

答案　4500

解析　根据题意，逐年归纳，总结规律建立关于年份的指数型函数模型，设经过x年，该地区的农民人均年收入为y元，依题意有y＝3000×1.06x，因为2014年年底到2021年年底经过了7年，故把x＝7代入，即可求得y＝3000×1.067≈4500.

1．知识清单：

三种函数模型：

线性函数增长模型、指数型函数增长模型、对数型函数增长模型.

2．方法归纳：

把实际问题转化为数学问题．

3．常见误区：

实际问题应有定义域并作答．

1．下列函数中，增长速度越来越慢的是（　　）

A．y＝6xB．y＝log6x

C．y＝x6D．y＝6x

考点　三种函数模型增长的差异

题点　三种函数模型增长速度的差异

答案　B

解析　D增长速度不变，A，C增长速度越来越快，只有B符合题意．

2．下面给出了红豆生长时间t（月）与枝数y（枝）的散点图，那么最能拟合诗句“红豆生南国，春来发几枝”所提到的红豆生长时间与枝数的关系的函数模型是（　　）

A．指数函数：

y＝2tB．对数函数：

y＝log2t

C．幂函数：

y＝t3D．二次函数：

y＝2t2

考点　建立函数模型解决实际问题

题点　指数函数模型的应用

答案　A

解析　由题干中的图象可知，该函数模型应为指数函数模型．

3．如图所示是某条公共汽车路线收支差额y与乘客量x的图象（收支差额＝车票收入－支出费用）．由于目前本条路线在亏损，公司有关人员提出了两条建议：

建议

（1）是不改变车票价格，减少支出费用；建议

（2）是不改变支出费用，提高车票价格．图中虚线表示调整前的状态，实线表示调整后的状态．下列说法中正确的是（　　）

A．①反映了建议

（2），③反映了建议

（1）

B．①反映了建议

（1），③反映了建议

（2）

C．②反映了建议

（1），④反映了建议

（2）

D．④反映了建议

（1），②反映了建议

（2）

答案　B

解析　建议

（1）是不改变车票价格，减少支出费用，也就是增大y，车票价格不变，即平行于原图象．故①反映了建议

（1）；建议

（2）是不改变支出费用，提高车票价格，即图形增大倾斜度，提高价格，故③反映了建议

（2）．故答案为B.

4．某林区的森林蓄积量每年比上一年平均增长10.4%，要增长到原来的x倍，需经过y年，则函数y＝f（x）的图象大致是（　　）

考点　三种函数模型增长的差异

题点　三种函数模型增长速度的差异

答案　D

解析　设该林区的森林原有蓄积量为a，由题意，ax＝a（1＋0.104）y，故y＝log1.104x（x≥1），

∴y＝f（x）的图象大致为D中图象．

5．能使不等式log2x

A．（0，＋∞）B．（2，＋∞）C．（－∞，2）D．（4，＋∞）

考点　三种函数模型增长的差异

题点　三种函数模型增长速度的差异

答案　D

6．某汽车油箱中存油22千克，油从管道中匀速流出，200分钟流尽，油箱中剩油量y（千克）与流出时间x（分钟）之间的函数关系式为________________．

答案　y＝22－

x（0≤x≤200）

解析　流速为

＝

，x分钟可流

x，

则y＝22－

x（0≤x≤200）．

7．工厂生产某种产品的月产量y（万件）与月份x满足关系y＝a·0.5x＋b，现已知该厂今年1月份、2月份生产该产品分别为1万件、1.5万件，则此工厂3月份生产该产品的产量为___万件．

考点　函数模型的应用

题点　指数、对数型函数模型的应用

答案　1.75

解析　由题意有

解得

　∴y＝－2×0.5x＋2，

∴3月份产量为y＝－2×0.53＋2＝1.75（万件）．

8．以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：

x

1

2

3

4

5

6

7

8

…

y1

2

4

8

16

32

64

128

256

…

y2

1

4

9

16

25

36

49

64

…

y3

0

1

1.585

2

2.322

2.585

2.807

3

…

其中，关于x呈指数函数变化的函数是________．

答案　y1

解析　从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是随x的增大越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象（图略），可知变量y1呈指数函数变化．

9.函数f（x）＝lgx，g（x）＝0.3x－1的图象如图所示．

（1）试根据函数的增长差异指出曲线C1，C2分别对应的函数；

（2）以两图象交点为分界点，对f（x），g（x）的大小进行比较．

解　

（1）C1对应的函数为g（x）＝0.3x－1，C2对应的函数为f（x）＝lgx.

（2）当0f（x）；当x1g（x）；当x>x2时，g（x）>f（x）；当x＝x1或x＝x2时，f（x）＝g（x）．

10．某企业常年生产一种出口产品，由于技术革新后，该产品的产量平稳增长．记2012年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f（x）（万件）之间的关系如下表所示：

x

1

2

3

4

f（x）

4.00

5.58

7.00

8.44

若f（x）近似符合以下三种函数模型之一：

f（x）＝ax＋b，f（x）＝2x＋a，f（x）＝

＋a.

（1）找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后求出相应的解析式（所求a或b的值保留1位小数）；

（2）因遭受某国对该产品进行反倾销的影响，从2016年起，年产量比预计减少30%，试根据所建立的函数模型，确定2019年的年产量．

解　

（1）符合条件的是f（x）＝ax＋b，

若模型为f（x）＝2x＋a，

则由f

（1）＝21＋a＝4，得a＝2，

即f（x）＝2x＋2，

此时f

（2）＝6，f（3）＝10，f（4）＝18，与已知相差太大，不符合．

若模型为f（x）＝

＋a，

则f（x）是减函数，与已知不符合．

由已知得

解得

所以f（x）＝1.5x＋2.5，x∈N*.

（2）2019年预计年产量为f（8）＝1.5×8＋2.5＝14.5，

2019年实际年产量为14.5×（1－30%）＝10.15（万件）．

11.高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f（h）的大致图象是（　　）

考点　三种函数模型增长的差异

题点　三种函数模型增长速度的差异

答案　B

解析　v＝f（h）是增函数，且曲线的斜率应该是先变大后变小，故选B.

12．四人赛跑，假设他们跑过的路程：

fi（x）（其中i∈{1,2,3,4}）和时间x（x>1）的函数关系分别是f1（x）＝x2，f2（x）＝4x，f3（x）＝log2x，f4（x）＝2x，如果他们一直跑下去（不考虑其他因素），最终跑在最前面的人具有的函数关系是（　　）

A．f1（x）＝x2B．f2（x）＝4x　C．f3（x）＝log2xD．f4（x）＝2x

答案　D

解析　显然四个函数中，指数函数是增长最快的，故最终跑在最前面的人具有的函数关系是f4（x）＝2x，故选D.

13．近几年由于北京房价的上涨，引起二手房市场交易火爆，房子几乎没有变化，但价格却上涨了，小张在2013年以180万的价格购得一套新房子，假设这10年来价格年膨胀率不变，那么到2023年，这套房子的价格y（万元）与价格年膨胀率x之间的函数关系式是_______．

答案　y＝180（1＋x）10

解析　1年后的价格为180＋180·x＝180（1＋x）（万元），2年后的价格为180（1＋x）＋180（1＋x）·x＝180（1＋x）（1＋x）＝180（1＋x）2（万元），

由此可推得10年后的价格为180（1＋x）10万元．

14．将甲桶中的a升水缓慢注入空桶乙中，t秒后甲桶剩余的水量符合指数衰减曲线y＝aent，假设5秒后甲桶和乙桶的水量相等，则n＝________；若再过m秒甲桶中的水量只有

升，则m＝________.

答案　－

ln2　5

解析　∵5秒后两桶的水量相等，

则ae5n＝

⇒e5n＝

⇒n＝

ln

＝－

ln2，

若k秒后甲桶水量为

，

则aenk＝

，enk＝

⇒nk＝ln

⇒－

ln2·k＝－2ln2，

∴k＝10，∴m＝10－5＝5.

15．以下四种说法中，正确的是（　　）

A．幂函数增长的速度比一次函数增长的速度快

B．对任意的x>0，xn>logax

C．对任意的x>0，ax>logax

D．不一定存在x0，当x>x0时，总有ax>xn>logax

答案　D

解析　对于A，幂函数与一次函数的增长速度受幂指数及一次项系数的影响，幂指数与一次项系数不确定，增长幅度不能比较；对于B，C，当01，n>1时，一定存在x0，使得当x>x0时，总有ax>xn>logax，但若去掉限制条件“a>1，n>1”，则结论不成立．

16．某公司对营销人员有如下规定：

①年销售额x（万元）在8万元以下，没有奖金；②年销售额x（万元）在[8,64]内时，奖金为y万元，且y＝logax，y∈[3,6]，a>0且a≠1，且年销售额越大，奖金越多；③年销售额x（万元）超过64万元，按年销售额的10%发奖金．

（1）求y关于x的函数解析式；

（2）若某营销人员争取年奖金y∈[4,10]（万元），求年销售额x所在的范围．

解　

（1）由题意知y＝logax是增函数，

∴a>1，

又当x∈[8,64]，y∈[3,6]，

∴

∴a＝2，

∴y＝

（2）由题意得

解得16≤x≤100，

∴年奖金y∈[4,10]（万元）时，年销售额x的取值范围为[16,100]．