小惠:
①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线ON于点A;②以点A为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求.
小雷:
①以点O为圆心、线段a的长为半径画弧，交射线ON于点A;②以点O为圆心、线段b的长为半径画弧，交射线OM于点B，连接AB，△ABO即为所求.
则下列说法中正确的是（ ）
A.小惠的作法正确，小雷的作法错误
B.小雷的作法正确，小惠的作法错误
C.两人的作法都正确
D.两人的作法都错误
7.如图，平面上到两两相交的三条直线a，b，c的距离相等的点一共有（ ）
A．4个B．3个C．2个D．1个
8.如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1＋∠2＋∠3等于（ ）
A．90°B．120C．135°D．150°
二、填空题
9.如图，在△ABC中，AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为D，E，AD，CE交于点H，请你添加一个适当条件：
________，使△AEH≌△CEB.
10.如图，△ABC≌△ADE，BC的延长线交DE于点G，∠CAB=54°，∠DAC=16°，则∠DGB=
°.
11.如图，已知∠ABC＝∠DCB，添加下列条件中的一个：
①∠A＝∠D，②AC＝DB，③AB＝DC，其中不能判定△ABC≌△DCB的是________（只填序号）．
12.△ABC的周长为8，面积为10，若其内部一点O到三边的距离相等，则点O到AB的距离为________．
13.如图，已知在△ABC和△DEF中，∠B＝∠E，BF＝CE，点B，F，C，E在同一条直线上，若使△ABC≌△DEF，则还需添加的一个条件是________（只填一个即可）．
14.如图所示，已知AD∥BC，则∠1＝∠2，理由是________________；又知AD＝CB，AC为公共边，则△ADC≌△CBA，理由是______，则∠DCA＝∠BAC，理由是__________________，则AB∥DC，理由是________________________________．
15.如图，∠C＝90°，AC＝10，BC＝5，AX⊥AC，点P和点Q是线段AC与射线AX上的两个动点，且AB＝PQ，当AP＝________时，△ABC与△APQ全等．
16.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，E为AB的中点，D为AC上一点，BF∥AC，交DE的延长线于点F，AC=6，BC=5，则四边形FBCD周长的最小值是 .
三、解答题
17.（2019•益阳）已知，如图，AB=AE，AB∥DE，∠ECB=70°，∠D=110°，求证：
△ABC≌△EAD．
18.如图，AB∥CD，E是CD上一点，BE交AD于点F，EF＝BF.求证：
AF＝DF.
19.如图，点E，F在AC上，DF＝BE，AE＝CF，∠AFD＝∠CEB.求证：
AD∥CB.
20.如图，沿AC方向开山修路，为了加快施工进度，要在山的另一面同时施工，工人师傅在AC上取一点B，在小山外取一点D，连接BD并延长，使DF＝BD，过点F作AB的平行线FM，连接MD并延长，在延长线上取一点E，使DE＝DM，在点E开工就能使A，C，E三点成一条直线，你知道其中的道理吗？
21.如图，已知∠C＝60°，AE，BD是△ABC的角平分线，且交于点P.
（1）求∠APB的度数．
（2）求证：
点P在∠C的平分线上．
（3）求证：
①PD＝PE；②AB＝AD＋BE.
22.如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，AD，CE是角平分线，AD与CE相交于点F，FM⊥AB，FN⊥BC，垂足分别为M，N.
求证：
FE＝FD.
23.在矩形ABCD中，AD＝4，M是AD的中点，点E是线段AB上一点，连接EM并延长交线段CD的延长线于点F.
（1）如图①，求证：
△AEM≌△DFM；
（2）如图②，若AB＝2，过点M作MG⊥EF交线段BC于点G，求证：
△GEF是等腰直角三角形；
（3）如图③，若AB＝2
，过点M作MG⊥EF交线段BC的延长线于点G，若MG=nME，求n的值.
2021中考数学分类训练：
全等三角形-答案
一、选择题
1.【答案】C
2.【答案】D [解析]∵AB⊥CD，CE⊥AD，BF⊥AD，
∴∠CED=∠AFB=90°，∠A=∠C，
又∵AB=CD，∴△CED≌△AFB，
∴AF=CE=a，DE=BF=b，DF=DE-EF=b-c，
∴AD=AF+DF=a+b-c，故选D.
3.【答案】C 【解析】由题意可知，△ABD≌△CBD，△MON≌△M′ON′，△DON≌△BON′，△DOM≌△BOM′共4对．
4.【答案】C [解析]对于选项A来说，AB＋BC5.【答案】C [解析]如图，过点P作PQ⊥AC于点Q，PW⊥BC于点W，PR⊥AB于点R.
∵△ABC的外角平分线BD，CE相交于点P，
∴PQ＝PW，PW＝PR.
∴PR＝PQ.
∵点P到AC的距离为3，∴PQ＝3.
∴PR＝3，
则点P到AB的距离为3.
6.【答案】A [解析]AB=b，AB是斜边，小惠作的斜边长是b符合条件，而小雷作的是一条直角边长是b.故小惠的作法正确，小雷的作法错误.
7.【答案】A [解析]如图，到三条直线a，b，c的距离相等的点一共有4个．
8.【答案】C [解析]在图中容易发现全等三角形，将∠3转化为与其相等的对应角后可以看出∠3与∠1互余．故∠1＋∠3＝90°.易得∠2＝45°，故∠1＋∠2＋∠3＝135°.
二、填空题
9.【答案】AH＝CB（符合要求即可） 【解析】∵AD⊥BC，CE⊥AB，垂足分别为点D、E，∴∠BEC＝∠AEC＝90°，在Rt△AEH中，∠EAH＝90°－∠AHE，在Rt△HDC中，∠ECB＝90°－∠DHC，∵∠AHE＝∠DHC，∴∠EAH＝∠ECB，∴根据AAS添加AH＝CB或EH＝EB；根据ASA添加AE＝CE.可证△AEH≌△CEB.故答案为：
AH＝CB或EH＝EB或AE＝CE均可．
10.【答案】70 [解析]∵△ABC≌△ADE，∴∠B=∠D.∵∠GFD=∠AFB，∴∠DGB=∠FAB.
∵∠FAB=∠DAC+∠CAB=70°，∴∠DGB=70°.
11.【答案】② [解析]∵已知∠ABC＝∠DCB，且BC＝CB，
∴若添加①∠A＝∠D，则可由“AAS”判定△ABC≌△DCB；
若添加②AC＝DB，则属于“SSA”，不能判定△ABC≌△DCB；
若添加③AB＝DC，则可由“SAS”判定△ABC≌△DCB.
12.【答案】2.5 [解析]设点O到AB，BC，AC的距离均为h，∴S△ABC＝
×8·h＝10，解得h＝2.5，即点O到AB的距离为2.5.
13.【答案】答案不唯一，如AB＝DE
[解析]∵BF＝CE，∴BC＝EF.
在△ABC和△DEF中，
∴△ABC≌△DEF（SAS）．
14.【答案】两直线平行，内错角相等 SAS 全等三角形的对应角相等 内错角相等，两直线平行
15.【答案】5或10 [解析]∵AX⊥AC，∴∠PAQ＝90°.∴∠C＝∠PAQ＝90°.
分两种情况：
①当AP＝BC＝5时，
在Rt△ABC和Rt△QPA中，
∴Rt△ABC≌Rt△QPA（HL）；
②当AP＝CA＝10时，
在Rt△ABC和Rt△PQA中，
∴Rt△ABC≌Rt△PQA（HL）．
综上所述，当AP＝5或10时，△ABC与△APQ全等．
16.【答案】16 [解析]∵BF∥AC，
∴∠EBF=∠EAD.
在△BFE和△ADE中，
∴△BFE≌△ADE（ASA）.∴BF=AD.
∴BF+FD+CD+BC=AD+CD+FD+BC=AC+BC+FD=11+FD.
∵当FD⊥AC时，FD最短，此时FD=BC=5，
∴四边形FBCD周长的最小值为5+11=16.
三、解答题
17.【答案】
由∠ECB=70°得∠ACB=110°，
又∵∠D=110°，∴∠ACB=∠D，
∵AB∥DE，
∴∠CAB=∠E，
∴在△ABC和△EAD中，
，
∴△ABC≌△EAD．
18.【答案】
证明：
∵AB∥CD，
∴∠B＝∠DEF，（1分）
在△AFB和△DFE中，
，（3分）
∴△AFB≌△DFE（ASA），（5分）
∴AF＝DF.（6分）
19.【答案】
证明：
∵AE＝CF，
∴AE－EF＝CF－EF，即AF＝CE.
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE（SAS）．
∴∠A＝∠C.∴AD∥CB.
20.【答案】
解：
在△BDE和△FDM中，
∴△BDE≌△FDM（SAS）．
∴∠BEM＝∠FME.∴BE∥MF.
又∵AB∥MF，
∴A，C，E三点在一条直线上．
21.【答案】
解：
（1）∵AE，BD是△ABC的角平分线，
∴∠BAP＝
∠BAC，∠ABP＝
∠ABC.
∴∠BAP＋∠ABP＝
（∠BAC＋∠ABC）＝
（180°－∠C）＝60°.∴∠APB＝120°.
（2）证明：
如图，过点P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，垂足分别为F，G，H.
∵AE，BD分别平分∠BAC，∠ABC，
∴PF＝PG，PF＝PH.
∴PH＝PG.
又∵PG⊥AC，PH⊥BC，
∴点P在∠C的平分线上．
（3）证明：
①∵∠C＝60°，PG⊥AC，PH⊥BC，
∴∠GPH＝120°.
∴∠GPE＋∠EPH＝120°.
又∵∠APB＝∠DPE＝∠DPG＋∠GPE＝120°，
∴∠EPH＝∠DPG.
在△PGD和△PHE中，
∴△PGD≌△PHE.∴PD＝PE.
②如图，在AB上截取AM＝AD.
在△ADP和△AMP中，
∴△ADP≌△AMP.
∴∠APD＝∠APM＝60°.
∴∠EPB＝∠MPB＝60°.
在△EBP和△MBP中，
∴△EBP≌△MBP.
∴BE＝BM.
∴AB＝AM＋BM＝AD＋BE.
22.【答案】
证明：
如图，连接BF.
∵F是△ABC的角平分线AD，CE的交点，
∴BF平分∠ABC.
∵FM⊥AB，FN⊥BC，
∴FM＝FN，∠DNF＝∠EMF＝90°.
∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝30°.
∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝
∠BAC＝15°.
∴∠CDA＝75°.
∵CE平分∠ACB，∠ACB＝90°，
∴∠ACE＝45°.
∴∠MEF＝75°＝∠NDF.
在△DNF和△EMF中，
∴△DNF≌△EMF（AAS）．∴FE＝FD.
23.【答案】
（1）证明：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠EAM＝∠FDM＝90°，
∵M是AD的中点，
∴AM＝DM，
在△AME和△DMF中，
，
∴△AEM≌△DFM（ASA）；
（2）证明：
如解图①，过点G作GH⊥AD于H，
解图①
∵∠A＝∠B＝∠AHG＝90°，
∴四边形ABGH是矩形，
∴GH＝AB＝2，
∵M是AD的中点，
∴AM＝
AD＝2，∴AM＝GH，
∵MG⊥EF，∴∠GME＝90°
∴∠AME＋∠GMH＝90°.
∵∠AME＋∠AEM＝90°，
∴∠AEM＝∠GMH，
在△AEM和△HMG中，
，
∴△AEM≌△HMG，
∴ME＝MG，
∴∠EGM＝45°，
由
（1）得△AEM≌△DFM，
∴ME＝MF，
∵MG⊥EF，
，
∴GE＝GF，
∴∠EGF＝2∠EGM＝90°，
∴△GEF是等腰直角三角形．
（3）解：
如解图②，过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H，
解图②
∵∠A＝∠B＝∠AHG＝90°，
∴四边形ABGH是矩形，
∴GH＝AB＝2
，
∵MG⊥EF，
∴∠GME＝90°，
∴∠AME＋∠GMH＝90°，
∵∠AME＋∠AEM＝90°，
∴∠AEM＝∠GMH，
又∵∠A＝∠GHM＝90°，
∴△AEM∽△HMG，
∴
＝
，
在Rt△GME中，tan∠MEG＝
＝
.
∴n=
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