21空间点直线平面之间的位置关系文档格式.docx
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点A不在平面α内，记作A
α，直线L在平面图α内，记作L
α；
直线L不在平面图α记作L
α。
本小节中使用了∈、、等代号，它们源自集合符号，但在读法上仍用几何语言。
4、平面的基本性质，即教科书中的三个公理，是研究立体图形的理论基础，要求学生充分重视。
所谓公理，就是不必证明而直接承认的真命题，它们是进一步推理的出发点和根据。
为了使学生尽快地熟悉立体几何中的各种语言表述方法，教书在给出三个公理时，同时使用了三种语言的描述。
如公理1：
文字语言的描述：
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线就在正经平面内。
述：
符号语言的描述：
A∈L，B∈L，A∈α，B∈α
L
α
另外，在给出公理之前，先提出“思考，引导学生的思维，并结合生活中的例子说明公理所描述的事实，以帮助学生更好地领会公理。
教学中应当注意落实教科书的上述意图，引导学生通过直观感知、操作确认、理性思考，以及三种语言的描述和相互转换，经历公理的归纳，概括过程，形成对公理的完整认识。
公理1的内容反映了直线和平面关系。
从集合的角度看，这个公理就是说，如果一条直线（点集）中有两个元素（点）属于一个平面（点集），那么这条直线就是这个平面的真子集，这个结论阐述了两个意思：
一是整条直线在平面内，二是直线上所有点在平面内。
公理1有两方面的作用，用它既可判定直线是否在平面内，又可用直线来检验平面。
5、公理疗2的内容关系到“确定”平面的条件，应使学生透彻理解公理中“有且只有一个”的含义。
这里“有”是说图形存在，“只有一个”是说图形唯一。
公理2强调的是存在和唯一两方面。
因此，“有且只有一个”必须完整地使用，应向学生指出，不能仅用“只有一个”来替代“有且只有一个”，否则就没有表达存在性。
公理2的教学中，应突出“经过不在一条直线上”和“三点”几个字。
可引导学生认识到经过一点，两点或同一直线上的三点可有无数个平面；
任何不在同一直线上的四个点，不一定有一个平面同时过这四个点，这样可使生学体会“经过不在同一直线上的三点”这一条件的重要性。
由上述公理可以得到如下三个结论：
推论1经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面。
推论2经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3经过两条平行直线，有且只有一个平面。
本教科书没有直接给出这三个推论，教学中可以把它们作为命题讨论，也可以作为公理直气壮的应用。
6、公理3指出了两个平面的位置关系，。
为了使学生准确理解这个公理，教科书以“思考”，为引子，引导学生的思维。
尽管三角板与桌面只有一个交点，但由于平面的无限延展性，“三角板所在的平面”与“桌面所在的平面”却不止交于一个点。
因此，对于不重合的两个平面，只要它们有公共点，它们就是相交的位置关系，交集是一条直线。
公理3的作用有两个：
一是作为判定两个平面相交的依据，只要是两个平面有一个公共点，就可以判定这两个平面必相关于过这个点的一条直线；
二是它可以判定点在直线上，点是某两个平面的公共点，线是这两个平面的公共交线，则这点在交线上。
7、例1中，安排了关于图形、符号和文字表示之间互相转化的内容，这对初学立体几何的学生来说很重要的。
它有利于训练学生正确地认识和描述空间图形。
8、为了使学生更好地掌握三个公理，教学中应当多给学生提供观察实物，用三个公理进行判断的机会，特别是要充分利用长方体这个模型。
例如：
如图2—1，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，判断下命题是否正确，并说明理由
①直线AC1，在平面CC1B1B内；
②设正方形ABCD与A1B1C1D1的中尽分别为O，O1，则平面AA1C1C与平面BB1D1D的交线为OO1；
③由点A，O，C可以确定一个平面；
④由A1，B1，C1确定的平面是ADC1B1；
⑤由A1，C1，B1确定的平面与由A，C1，D确定的平面是同一平面。
此处有图
2．1．2空间中直线与直线之间的位置关系
1、空间直线的三种位置关系在现实中大量存在，学生对它们已有一定的感性认识。
其中相交直线和平行直线都是共面直线。
学生对它们已很熟悉。
异面直线的概念是学生比较生疏的，也是本节的重点和难点。
2、空间两条直线的位置关系，是在平面中的两条直线位置关系及平面的基本性质的基础上提出来的。
它既是研究空间点、直线、平面之间各种位置关系的开始，又是学业习这些位置关系的基础。
因此，要特别注意有一个好的开头，使学生逐步养成在空间考虑问题的习惯。
3、空间两条不重合的直线有三种位置关系，教科书以“思考”以及学生身边的实例引出空间两条直线位置关系问题，在学生获得空间中的两条直线存在“既不相交也不平行”的位置关系的直观感知后，以长方体载体，引出异面直线的概念并以“共面”和“异面”中两直线的位置关系相协调，特别是使空间中两直线的平等与平面上两直线平行的意义保持一致。
实际上，两条直线相互平行，首先是两直线在同一平面内，其次是它们不相交。
若从有无公共点的角度看，也可以分为两类：
①有且仅有一个公共点——平行直线；
平行直线
②没有公共点：
异面直线
4、异面直线概念的教学，应遵循由具体例子到抽象概念的原则。
除了正例外，还要注意使用反例以帮助学生解析。
特别是要让学生理解“不同在任何一个平面内的两条直线”，是指这两条直线不能同在任何一个平面内，而不能由L1
α、L2
β，就说L1，L2一定是异面直线，两条直线是异面直线，等价于这两条直线既不相交也不平行。
教科书在第46页安排了“探究”，目的是让学生会根据异面直线的定义判断在几何体上的具有异面直线位置关系的两条直线。
教学时，可以引导学生先把图形画在纸上，复原成正方体来观察，也可以直接画出正方体的直观办，或用计算机来演示正方体的直观图。
5、公理4表明了平行的传递性，可以作为判断两条直线平行的依据，同时它还给出了空间两条直线平行的一种证法。
其重要且直接的作用是证明等角定理，为下一步研究异面直线所成角打基础。
6、“等角定理”是由平面图形推广到立体图形而得的。
因此，教科书以“思考”开始，提出能否把“等角定理”推广到空间的问题。
显了使学生形成直观认识，教科书引导学生观察长方体中的有关图形。
教学中除了使学生领会“等角定理”外，还要提醒学生，并非所有关于平面图形的结论都可以推广到空间中来，对此可用反例适当解释。
一般说，要把关于平面图形的结论推广到立体图形，必须经过证明，等角定理是定义异面直线所成角的理论基础。
7、异面直线所成的角是由两条相交直线所成的角扩充而生成的。
当两条异面在线在空间的位置确定后，它们所成的角的大小也就随之而定了。
异面直线所成的角，是指这两条直线经过平移后处于相交位置时所成的锐角或直角。
因此异面直线所成角的范围是[0，
]。
两条异面直线互相垂直，即它们所成的角是直角，这是两条直线异面的一种特殊关系。
寻找两条异面直线a、b所成角时，要经过空间任意点O作直线a'
∥a，b'
∥b。
这里涉及经过空间任意一点如何引平行线的问题。
由公理2知：
经过一条直线（在直线上取两个点）及直线外野的一点，有且仅有一个平面。
因此，经过直线a及空间不在直线a上的一点o，可确定一个平面a，在平面α内，经过点o作a'
∥a，这样的直线a就是过直线a的直线。
通过画平行线的方式，使两条异面直线移到同一平面的位置上，是研究异面直线所成的角时经常要使用的方法，这种把立体图形的问题转化为平面图形问题的思想方法很重要，要让学生在学习中认真体会。
8、教科书48页的“探究”和例3，还是以学生熟知的长方体和正方体为载体，使学生在直观感知的基础上，认识空间中一般的直线与直线之间的位置关系，使学业生初步掌握依据定议，定理对空间图形进行推理论证、计算的方法。
另外，“探究”中的第三问再资助提醒学生。
同一平面内成立的结论，不一定能够推广到空间中来。
2．1．3空间中直线与平面之间的位置关系
1、与前面的处理方法一致，教科书以生活中的实例以及长方体的载体提出了直线与平面位置关系种数问题。
教学时，除了引导学生以长方体为载体分析相应的直线与平面的位置关系外，还可以引导他们观察教室内地面、天花板、墙面的相交线与地面只相交于一点，天花板与墙面的交线与地面没有公共点。
这反映出直线和平面间存在着不同的位置关系。
再如：
在黑板上画一直线，这条直线就在黑板面内，电线杆及加固电线杆的铁缆和地面只相交于一点；
教室里的日光灯管所在直线和地面、课桌的一边所在直线和地面都没有公共点。
这些实例都可以给学生关于直线与平面位置关系的直观感知。
在学生形成直观感知的基础上，再对这些实物做正确的抽象。
比如“地面”、“天花板”、“墙面”等，均应想象成“平面”、“电线杆”、“加固电线杆的铁缆”、“日光灯管”等，均想象成“直线”。
这样才能形成“直线”与“平面”位置关系的正确形象。
2、“思考”中有一个实际操作：
拿一支笔（看作一条直线）和一个作业本（看作一个平面），观察它们可能出现的位置关系。
通过操作使学生直观感知直线和平面的三种位置关系。
这三种情况分别对应于直线和平面的公共点的个数为：
无数个、1个、0个。
3、对于一条直线和一个平面的位置关系，在公理1中曾经提及：
如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线就在此平面内，即如果一条直线和一个平面有两个或两个以上的公共点，那么这条直线就在这个平面内。
现在再讨论一条直线不在一个平面内的情况，得到①一条直线和一个平面只有一个公共点，这时我们说这条直线和这个平面相交；
②一条直线和一个平面没有公共点，这时我们就这条直线和这个平面平行，于是直线和平面的位置关系可以归纳为：
1直线在平面内—有无数个公共点；
2直线和平面相交—有且只有一个公共点；
③直线和平面平行—没有公共点。
在直线和
2．1．4平面与平面之间的位置关系
关于两个平面的位置关系，教科书通过“思考”，给出了两个实例，引导学生通过直观感知、操作确认的方法进行认识，教学时还可以让学生观察教室的墙壁、地面、屋顶等，或观察实物模型（如长方体）并说出相应的位置关系。
可以看到：
教室里的开花板和地面没有公共点；
墙面与地面则有一条公共的直线，这些面的关系，反映出不重合的两个平面的不同的位置关系。
由观察结果归纳出两个平面的两种不同位置关系的区别在于它们是否有公共点，这与两条直线的位置关系相类似。
两个平面要么有无数个公共点，且这些公共点的集合是一条直线；
要么没有公共点，当两个平面没有公共点时，它们互相平行，表示两个平面平行时，应把表示这两个平面的平行四边形画成对应平行。
也可以从直线与直线、直线与平面的各种位置关系，类比联想平面与平面的位置关系可能有哪些情况，并给出相应的定义。
例如可以启发学生回答下列问题：
①“直线与直线，直线与平面，平面与平面它们之间没有公共点就平行，平行就没有公共点”这句话对吗？
为什么？
这里突出直线与直线是在同一平面内没有公共点才平行，而异面直线没有公共点，但不在同一平面内。
②“直线与直线，直线与平面，平面与平面它们之间有两个公共点时它们的位置关系如何？
”
这时两条直线重合；
直线在平面内，平面与平面就相交于这两点的定直线。
③“如果平面与平面有三个公共点时位置关系如何？
这里突出相交与重合两种情况。
通过这样的讨论，使学生明确定义既表明了各种位置关系的共同本质特征，同时还可以用定义判断是否存在相应的位置关系。
第51页“探究”中的问题，可以这样来帮助学生理解和分析：
由面面平行的定义可以看出，直线a、b分别在平面α、平面β内，因此直线a、b不可能有公共点。
因为若有公共点，那么这个点出必是两个平面的公共点，两个平面就不可能平行了。
因此应该说这两条直线不相交（是平行直线或异面直线）。
补充例题：
1、下列四个命题中假命题的个数是（）
①两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行。
②两条直线没有公共点，则这两条直线平行。
③两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行。
④一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行。
（A）4（B）3（C）2（D）1
2、平面α与β平行，且α<
α，下列四个命题中
1α与β内的所有直线平行
2α与β内的无数条直线平行。
3α与β内的任何一条直线都不垂直。
4α与β无公共点]
其中真命假的个数是：
（A）1（B）2（C）3（D）4
3、a、b异面直线，b、c是异面直线，则a、c的位置关系是（）
（A）相交、平行或异面
（B）相交或平行
（C）异面
（D）平行或异面
4、如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，与对角线DB1成异面直线的棱共有几条？
2．2直线、平面平行的判定有其性质
一、本节知识结构
判定性质
直线与平面平行平面与平面平行直线与平面平行平面与平面平行
二、教学重点与难点
通过直线感知、操作确认，归纳出判定定理和性质定理。
性质定理的证明
本节教科书内容的处理上，按照“直观感知——操作确认——思辩论证——度量计算”的认识过程展开，先通过直观感知和操作确认的方法，概括出直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理，然后再对直线与平面平行的性质，平面与平面平行的性质作业严密的逻辑论证。
通过对图形的观察、实验和说理，使学生进一步了解空间的直线、平面平行关系的基本性质及判定方法，学会准确地使用数学语言表述几何对象的位置关系，并能解决一些简单的推理论证及应用问题。
高中立体几何课程历来以培养学生的逻辑思维能力和空间想像力为证要目标，教学中应加强引导学生通过自己的观察、操作等活动获得数学结论的过程，把和情推理作为学习过程中的一个重要的推理方式。
在空间直线、平面之间的平行、垂直关系的判定定理、性质定理的得出过程中，注重对典型实例的观察、分析，给学生提供动手操作的机会，引导学生进行归纳、概括活动在经历观察、实验、猜想等合情推理活动后，再进行演绎、逻辑论证。
另外，要通过“观察”、“思考”、“探究”等向学生提出问题，以问题引导学生的思维活动，使学生在问题带动下进行更加主动的思维活动。
2．2．1直线与平面平行的判定
1、直线和平面平行的判定定理，是通过直线和平面内的一条直线平行来判定直线和平面平行，这个定理用符号来表示就是：
a
b
α
a∥α
a∥b
应用此定理时,要注意3个条件必须齐备.
2、教科书首先说明了可以用直线与平面平行的宝主粮判断直线和平面平行，但用定义不方便，由此引发探索判定定理的需要。
通过引导学生观察门扇的对连互相平行，进一步得出门扇不论转动到什么位置，它能活动的竖直的一边始终平行固定的竖直连所在的墙面，以及通过“观察”，组织上导学生观察书的边缘与书面的位置关系。
在此基础上教科书提出了两个探究性的问题：
如图，平面α外的直线a平行于平面α内的直线b。
①这两条直线共面吗？
②直线a与平面α可能相交吗？
通过上述“直观感知，操作确认”活动，教科书给出了直线与平面的判定定理，但没有给出判定定理的严格的逻辑证明（教学中不必对证明进行补充）。
3、判定政绩与平面平行主要有以下几种方法：
1利用定义：
证直线与平面无公共点。
2利用直线和平面平行的判定定理：
从直线与直线平行得到直线与平面平行。
另外，在学习了平面与平面平行的性质后，还可以通过证明平面与平面平行，得到直线与平面平行。
实际上，平行问题以无公共点为基本特征，抓住这一点，直线与直线平行，、直线与平面平行和平面与平面平等问题就迎刃而解。
2．2．2平面与平面平行的判定
1、与直线与平面平行的判定一样，平面与平面的平行也可以通过定义来判断，也即通过两个平面没有公共点得到两个平面平行。
不过这样做较麻烦。
根据已有的“空间问题平面化”的经验，自然想到通过一个平面内的直线与另一平面平行来得到两个，联到“两条相交直线确定一个平面”，于是只要打到一个平面内的代表—两交的两条直线。
只要它们另另一平面平行，就可以判定这两个平面平行，这样就引出了两个平面平选择判定定理。
教科书通过“探究”：
①平面β内有一条直线和平面α平行，α，β能否平行？
②平面β内有两条直线和平面α平行，α，β能否平行？
向学提出如何选择两条直线的问题，并结合长方体模型，引导学业生进行合情推理。
通过操作确认，归纳出“平面与平面平行的判定定理”。
教学中，可以让学生观察具体的长方体实物模型，以增强对判定定理的直观感知。
2、判定两个平面平行的真命题很多，之所以把“一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行”当成判定定理，是因为这个定理实现了将平面与平面平行的判定，转化为已有的直线与平面平行的判定，而判定直线与平面平行，常转化为判断直线与直线平行，所以判定平面与平面平行的基本思想更深是“平面化”。
利用判定定理证明两个平面平行，必须具备以下两个条件：
①有两条直线平行于同一个平面
②这两条直线必须相交。
2．2．3直线和平面平行的性质
1、教科书首先通过“思考”提出了两个问题，从而引出直线和平面平行的性质问题，接着以长方体为载体，对这两个问题进行探究，通过操作确认，先得出直线与平面平行的性质的猜想，然后通过逻辑论证，证明猜想的正确性，从而得到性质定理。
教学中，应当注意让学生充分经历上述过程，使学生在建立了对性质的充分感知后，再进行推理论证，切不可在直观感知，获得猜想的环节上省时间，对于平面与平面的性质定理的获得过程也要注意这一点。
教学时应当引导学生注意，对直线与平面平行性质的研究，就是研究在直线与平面平行的条件下，能够推出一些什么结论的问题。
教科书中推出的是直线和平面内的某些直线平行，这些直线是过已知直线的平面与已知平面的交线得到的（实际上，这些交线是互相平行的）。
这个定理用符号来表示，即：
a∥α
a
β
a∥b
α∩β
另外，还要防止学生误解为“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面内的一切直线”。
性质定理可以作为直线和直线平行的判定方法。
性质定理中有三个条件：
①直线a和平面α平行；
②平面α和平面β相交于直线b；
3直线a在平面β；
这三个条件阐明了一条直线与两个平面及它们的交线之间的位置关系，是判断直线与直线平行时缺一不可的条件。
2、解决例3，有的学生可能会想，为什么不可以直接过P作BC的平行线呢？
为了解决这问题，可以让学生动手在一个实物模型上画一画，看看能否保证画出的直线一定与已知直线平行，另外，还可以引导学生思考：
若a∥α，怎样在平面α内打到一条直线b，使b经过平面内的一个点A，并且b∥a？
并把学生的思维引导到,用性质定理解决问题上来，即过已知直线和点A作一个平面相交，交线和已知直线平行，此交线就是要打的直线b。
另外，例3是一个作图题，一般来说，作出图形后，需要对做法的正确性进行改正。
3、例4的解答渗透了解决立体几何问题的重要思想方法—化归思想，将直线与平面平行问题化归为直线与直线平行问题，再由直线与直线平行来判定直线与平面平行，这种思想方法常用而且有效，但是学生过去接触不多，教学中应多做引导，使学生有更多的机会接触和应用这种思想方法。
2.2.4平面与平面平行的性质
1、与上一小节的思路一样，平面与平面平行的性质，是在两个平面实行的条件下，能够推出哪些结论，教科书以长方体为载体，对问题进行了分析，实际上，两个方面α、β平行时，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，联系直线与平面平行的性质定理，可以用过α内的直线作平面γ与平面β相交的方法，得到两条相互平行的直线。
这正是性质定理给出的结论。
实际上，两个平面平行时，分别在这两个平面内的两条直线可能相互平行，也可能是异面直线。
2、从上面的分析可以看出，之所以把“如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行”。
作为性质定理提出来主要是这个定理将平面与平面平行的性质化归为一个平面问题，即化归为“直线与直线平行”，实际上，在两个平面平行的条件下，可以推出的结论是非常多的。
例如，“如果一个平面与两个平行平面中的一个平行，那第它也与别一个平行”。
作为性质定理提出来主要是这个定理将平面与平平行的性质化归为一个平面问题，即化归为“直线与直线平行”。
实际上，在两个平面平行的条件下，可以推出的结论是非常多的。
例如“如果一个平面与两个平行平面中的一个平行，那么它也与另一个平行”。
“如果一天直线垂直于两个平行平面中的一个，那么它也垂直于另一个”……教学试，可以通过类比直线与直线平行的性质、直线与平面平行的性质，引导学生自己推出一些“性质”。
3、在推导平面与平面平行的性质定理时，教科书还是采用了直观感知到猜想结论，再到推理论证的思路。
教学时，应当引导学生开展“在两个平面相互平行的条件下到底能够推出那些结论”的探究活动。
另外，还要注意引导学生分析定理的结构特征，即“两个平面平行”以及“与第叁个平面相交”是条件，“交线平行”是结论。
4、平面平行的判定定理与性质定理的作用，都集中在“平行”两个字上。
判定定理解决了“在什么样的条件下两个平面平行”，性质定理揭示了“两个平面平行的条件下可以获得什么样的结论”。
前者给出了一种判定两个平面平行的方法，后者给出了一种判定两条直线平行的方法。
2．3直线、平面垂直的判定及其性质
二、教学重点和难点
本节内容的处理继续遵循“直观感知——操作确认
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