金融计量学第七章CARCH模型的分析与应用课件.pptx

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唐勇教授福州大学经济与管理学院1.金融时间序列异方差特征2.ARCH模型3.GARCH模型4.GARCH类模型的扩展5.GARCH类模型应用6.向量GARCH模型7.随机波动模型（SV）及向量模型本章主要内容金融时间序列异方差特征1波动集群现象从侧面反映时间序列具有较高的异方差性。

波动一般用模型的残差序列的方差来估计，波动又直接与资产的风险相联系。

所以，如何对时变波动进行建模是资产定价、风险管理等方面重点关注的问题。

方差度量了资产的风险，一些金融衍生物如期权的价值也取决于标的资产的方差，另外，由方差预测可得到资产收益的预测区间，便于投资者根据实际情况决定是否买卖资产。

一般使用方差来刻画波动率（Volatility）。

虽然波动率不可直接观测，但是它的一些特征在资产收益率序列中能看出。

表7-1：

上证指数和美元/人民币汇率日收益率序列的统计性描述注：

上证指数选取2005年8月1日到2015年7月31日的日收益率序列美元/人民币汇率选取2011年4月1日到2015年7月31日日收益率序列作分析数据来源：

通达信软件图7-1：

上证指数日收益率时间序列图图7-2：

美元/人民币汇率日收益率时间序列图从图7-1日收益率的时间序列图，看出波动率存在：

波动集聚性（Clustering），波动在一个时间段比较剧烈，在另一个时间段比较平稳；尖峰厚尾性（leptokurtosisandfat-tail），实证研究表明，金融收益序列往往呈现出“高峰厚尾”的分布特性，真实分布比标准正态分布具有更高的概率分布密度函数值；杠杆效应（LeverageEffects），波动率对价格大幅度上升和价格大幅度下降对反应不同，这种现象首先被Black（1976）年发现；另外也有实证研究发现，波动率具有时变性，波动率以连续方式随时间变化，即波动率跳跃是很少见的。

表7-2：

上证指数收益率序列自相关及偏相关检验自相关性检验表7-3：

上证指数收益率残差平方序列自相关及偏相关检验验自相关性检验表7-4：

美元/人民币汇率收益率序列自相关及偏相关检验自相关性检验表7-5：

美元/人民币汇率收益率残差平方序列自相关及偏相关检验自相关性检验自相关性检验从以上表格可以看出，上证指数收益率序列和美元/人民币汇率收益率序列，Q统计量对应的p值都是小于0.1，大部分都是小于0.05，收益率序列基本不存在相关性。

但是收益率序列的残差平方却有显著的相关性，从另一个方面证明了收益率序列的异方差性。

ARCH模型2时间序列数据存在一种异方差，其中预测误差的方差取决于前期扰动项平方的大小可能原因：

金融市场的波动性易受谣言、政局变动政府货币政策与财政政策变化等的影响因此，误差项的条件方差不是某个自变量的函数，而是随时间变化并且与过去误差的大小有关ARCH（Autoregressiveconditionalheteroskedasticity）模型（Engle1982），用于刻画时变的波动。

7.2ARCH模型ARCH模型的基本思想的条件方差只依赖于前一期t-1ARCH

（1）模型:

即t时刻的扰动项时刻的扰动项平方的大小。

收益率序列的随机误差项（扰动项）是不相关，但不是独立的；扰动项的不独立性表现在，扰动项的方差依赖于它前期扰动项的大小两个核心的模型回归过程：

一个是条件均值回归模型，一个是条件异方差回归模型ARCH

（1）模型的形式（7.1）（7.2）（7.1）（7.2）ARCH

（1）模型的形式ARCH（p）模型（7.3）（7.4）这里要求，注意：

在ARCH（p）模型中，我们仍然假设扰动项不存在序列相关性，还假设扰动项的无条件期望和条件期望都为0，下面证明ARCH模型的性质会用到。

ARCH模型的性质1、的无条件方差分析（7.5）是平稳的过程，所以，所以：

（7.6）因为，所以模型必须满足，所以有：

（7.7）ARCH模型的性质2、的峰度分析（7.8）K值大于3，说明的分布比正态分布陡峭，比正态分布的尾部厚。

比标准标准正态分布更容易出现异常值，符合实验结果，体现波动率尖峰厚尾的特点。

ARCH模型的优缺点很好的刻画了波动率尖峰厚尾和波动率群集性等性质，为波动率的研究开辟了新纪元ARCH模型也存在一些不足：

ARCH模型是对称的，不能体现波动率正负波动对波动率产生不同的影响（研究发现，坏消息会引起的波动率变大，好消息的波动率引起的波动率相对较小）；ARCH模型只提供一个回归的机械方法，不能从中得到影响波动率变化的因素；ARCH模型对参数的要求很高，参数之和小于1，而且随着滞后的阶数提高时，参数的限制条件更为复杂，很难检验是否符合条件；ARCH模型在实际应用中ARCH模型为得到较好的拟合效果常需要很高的阶数p，这不仅增大了计算量，也会带来诸如解释变量多重共线等其它问题。

GARCH模型37.3GARCH模型GARCH（GeneralizedAutoregressiveconditionalheteroscedasticity）模型称为广义条件异方差模型，由Bollerslev于1986年提出。

该模型是ARCH无穷阶的，是一个长记忆过程，可用一个较简单的GARCH模型来代表一个高阶ARCH模型待估的参数个数大大减少，从而解决了ARCH模型中参数估计难的问题。

即使是低阶GARCH（1,1）的情形，仍然有较好的拟合效果，从而得到了广泛的应用。

GARCH模型的基本思想在ARCH模型的基础上，为避免滞后项过多，可采用加入的滞后项的方法，以减少参数个数。

标准的GARCH（p,q）模型为：

（7.9）代入到GARCH1、GARCH模型的ARMA性质令，则，把条件方差方程，可得：

（7.10）对于，对，可以得到：

（7.11）公式（7.11）就是的ARMA（m，q）模型，这样得到的是一个鞅差序列（），但是这样得到的不是独立同分布序列。

因此GARCH模型是ARMA的思想对平方序列的一个应用。

1、GARCH模型的ARMA性质利用ARMA模型的无条件均值得到：

（7.12）所以要使得模型具有有限的方差，必须满足：

（7.13）2、GARCH（1,1）的峰度通过对GARCH（1,1）模型峰度的分析，研究GARCH（p,q）的性质，GARCH（1,1）模型为：

（7.14），这样更能体现金融实践序列中的波此时，大的或会引起大的动集聚的现象，另外它的峰度为：

（7.13）K值大于3，可以说明GARCH也能体现波动率尖峰厚尾的特点。

GARCH模型可以很好的刻画波动率尖峰厚尾和波动率集群性等性质，GARCH模型可以用较少的参数来反映方差波动的持续性这个特点。

但是GARCH（p，q）模型并没有考虑到波动率具有的非对称性。

1.ARCH-LM检验该检验是检验残差序列中是否存在ARCH效应的拉格朗日乘数检验。

具体步骤

（1）首先进行最小二乘回归，获得残差序列估计值：

（7.16）

（2）进行回归：

（其中满足标准正态分布）（7.17）（残差序列直到p阶都不存在ARCH效应）（3）假设检验：

，至少有一个构造的统计量为：

1.ARCH-LM检验其中，T表示样本的容量，的显著性水平下，或者可以用p值来判断，表示回归方程（7.17）的可决系数，在给定，接受原假设，拒绝原假设。

则拒绝原假设，否则接受原假设。

统计量LM是渐近的卡方分布，当样本较大时，可以采用它来检验是否有ARCH效应，若样本较小时，选用F统计量来检验。

（7.19）2.残差平方相关图残差平方相关图显示的是残差平方序列指定的滞后阶数的自相关系数（AC）和偏相关系数（PAC）（如本章第一节表7-3和表7-5所示）并且计算出了相应阶数的Ljung-BoxQ统计量：

（7.20）其中,是残差系类的j阶自相关系数，T为样本容量，p是设定的滞后阶数。

原假设：

序列不存在p阶自相关；备择假设：

序列存在p阶自相关。

如果各阶Q统计量都没有超过设定的显著水平的临界值，则接受原假设。

超过临界值，就说明序列存在自相关。

以GARCH（1,1）模型为例：

（7.21）当服从正态分布时，GARCH（1,1）模型的对数似然函数为：

（7.22）当服从自由度为的分布，GARCH（1,1）模型的对数似然函数为：

（7.23）3.GARCH模型的估计极大似然估计GARCH类模型的扩展47.4GARCH类模型的扩展外，其他的参数和等于1。

限定GARCH模型异方差方程中除了即：

（7.25）（7.26）在研究IGARCH（1,1）模型时，并且时，正是风险度量系统RiskMetricss所用的波动模型，这个系统用于计算风险价值（ValueatRisk）。

金融CAMP模型表明资产收益率依赖于资产的风险，一般风险越高的资产对应更高的平均收益。

但是GARCH（p，q）模型并没有考虑到波动率具有的非对称性。

GARCH-M（GARCHinthemean）模型（Engle（1987），表达式为：

（7.27）其中，参数表示风险溢价参数，表示可观测到的预测风险波动对的影响，若为正值，意味着收益率与它的波动率成正相关。

也有一些文献出现一些具体风险溢价的形式，如：

GARCH-M模型可以解释风险溢价，常用于资产的预期收益率与风险密切相关的金融领域，如预测一写股票或债券、指数等金融资产的收益率。

预测收益率的模型常常写成（7.28）其中，是常数，表示预测的股票或债券收益率均值。

负的冲击比正的冲击更容易增加波动，即好消息和坏消息表现出的非对称效应。

非对称冲击的模型主要有：

TARCH模型、EGARCH模型、PGARCH模型。

TARCH模型（门限ARCH模型），由Zakaran（1990）和Glosten等（1994）提出。

（7.29）是一个虚拟变量。

好消息（）和坏消息（）对条件方差有不同的影响。

好消息有一个倍的冲击，而坏消息则有一个倍的冲击。

如果，坏消息对条件波动率的冲击大，好消息对条件波动率的冲击小；如果，好消息对条件波动率比坏消息的冲击大。

高阶TARCH模型可表示为：

（7.30）其中K代表门限的个数，也是一个虚拟变量。

EGARCH（exponentialGARCH）模型是由Nelson（1991）提出的，又称为指数EGARCH模型.通过一个参数来刻画波动率的非对称性，而且EGARCH模型可以保证方差为正.EGARCH（1,1）模型中的条件方差的方程为（7.31）等式左边是条件方差的对数，条件方差的预测值一定是非负的。

杠杆效应是通过和来体现的。

这两项实际上是标准化了的随机扰动项，如果，那么。

式（7.29）可以看出EGARCH模型的非对称性表现为：

（7.32）将EGARCH（1,1）模型扩展到EGARCH（p,q）模型为：

（7.33）CGARCH模型是成分GARCH（componentGARCH）模型，传统的GARCH模型都是假设条件方差的长期均值是常数，如果这个条件不满足，就用成分GARCH模型来预测波动率（DingandGhanda（1996）和EngleandLee（1999））。

CGARCH（1,1）模型的三个回归模型：

（7.34）Taylor（1986），Schwert（1989）和Ding,Granger,andEngle（1993）。

该模型可以刻画波动率的非对称性，也有称PGARCH模型为非对称的PGARCH模型（asymmetricPGARCH），这是一个标准差的GARCH模型PGARCH（p,q）模型的表达式为：

（7.35）其中，当时，PGARCH模型中标准差的幂参数；当时，。

在是估计得到的，用来评价冲击对条件方差的影响幅度，是捕捉直到r阶的非对称效应参数。

当时，坏消息对波动率的冲击会比好消息对波动率的冲击大，当时，则相反。

APARCH模型涵盖了一下七个模型，是对多个模型的综合展示。

FIGARCH模型（Fractionallyintegratedgeneralizedautoregressiveconditionalheteroscedasticity）是由Baillie（1996）提出的。

以一个缓慢的双曲线衰减速率来刻画条