算术及代数的区别及联系.docx

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算术及代数的区别及联系

算术与代数的区别与联系

　　好的数学教师应当具有这样一种专业素养，即是能够跳出细节并从整体上把握自己的教学容，如什么是这一学期、这一学年，乃至整个学段和整个小学学习期间的主要教学容，教师在教学中并应努力做好“承上启下〞的工作。

显然，从这一角度去分析，弄清算术与代数〔在此主要指初中代数――下同〕之间的区别与联系就特别重要，因为，自然数、分数与小数的认识以及它们的运算正是小学数学教学〔更为准确地说，应是“算术〞教学〕的主要容，而且，代数思想在算术教学的渗透，不仅直接关系到我们的算术教学能否真正做到“居高临下〞，对于学生顺利地由小学过渡到中学也是十分有利的。

当然，这也正是新一轮数学课程改革的一个明显特点，即是将原先属于初中代数的局部容〔负数和方程〕下放到了小学，从而也就在这一方面提出了直接的要求。

　　一、同与不同

1．从总体上说，这显然是算术与代数的一个重要区别，即有着不同的研究对象：

算术主要集中于自然数、分数和小数的认识，包括相应的计算方法；代数的研究对象则不仅由具体的数扩展到了由字母和数字组成的〔代数〕式，也更加侧重于方程的研究与应用。

　　当然，从形式上看，代数中关于式的研究又应说是与算术中关于数的研究较为接近的。

具体地说，尽管运算的对象不同，其涵义也有所扩展，特别是引进了合并同类项、因式分解等新的运算，但在数的运算与式的运算之间显然又有着直接的类比关系。

更为重要的是，两者似乎也有着共同的关注，即如何能够通过适当的计算求得最终的结果。

　　也正是在这样的意义上，一些学者提出：

“算术在很大程度上是过程性的。

〞另外，这显然也就是人们在算术的教学中何以特别重视算法的掌握以及计算的准确性和迅速性的直接原因。

　　然而，应当强调的是，如果我们对于式的教学采取完全一样的观点，即是唯一强调如何能够通过适当的计算求得所需要的结果，则就很可能因此而无视了一个十分重要的代数思想：

“代数即概括。

〞更为具体地说，这正是数学中引入字母的一个主要作用，即有助于人们通过概括到达更高的抽象层次。

从而，如果我们在教学中只是强调了用字母去代表数，却没有能够更加重视如何能够帮助学生很好理解“概括〞这样一种重要的代数思想，就不能不说是无视了在算术与代数之间所存在的这一重要区别。

恰恰相反，我们应当清楚地认识到这样一点：

“概括也是学习代数的一个途径。

〞

　　应当指出，上述的“过程性观点〞又不仅仅表达于数的运算，而且也直接影响到了人们对数的理解。

例如，在笔者看来，我们就可从这一角度去理解学生在分数与无限循环小数的学习中何以会经常出现如下的困惑，如“0.999……与1终究哪个大？

〞因为，这里的关键恰恰就在于观念的必要更新，也即如何能够帮助学生由过程性的“潜无限观念〞转变到对象性的“实无限观念〞。

2．相对于式的教学而言，方程的认识与应用在代数的教学中显然占有更为重要的地位，而也只有从后一角度去分析，我们才能更为深入地认识这样一点：

代数的学习必然要求学生超越上述的“过程性观点〞并到达新的更高的认识水平。

从而，这也就应被看成在算术与代数之间所存在的又一重要区别。

　　具体地说，等量关系无疑应当被看成方程的本质，这也就是指，方程所强调的正是对象之间的等量关系。

尽管“解方程〞的主要目的仍然在于如何能够经由具体运算求得相应的未知量，但在这一过程中我们又必须特别注意不能因此而破坏方程两边的等量关系，也即变形后所得出的新方程应是与原来的方程等价的。

例如，也正是在这样的意义上，人们提出，“等价是代数中的一个核心观念〞。

　　由“等号〞的不同理解我们即可更好地认识代数与算术在这一方面的重要区别：

如果说等号的使用在算术中主要说明了运算的具体实施过程，也即由具体运算所依次得出的结果，则，在代数中，“等量关系〞就已成为等号的主要意义。

例如，从这一角度去分析，我们就可立即看出，以下的常见错误主要就是因为学生仍然处于“过程性观点〞的直接影响之下：

3*=5+13=18=18÷3=6。

　　进而，我们在此又应明确提出关于“过程性观点〞〔也可称为“程序性观点〞〕与“构造性观点〞的区别。

例如，就字母与式的理解而言，所谓的“过程性观点〞就是指将字母或字母表达式看成所要求取的求知量的直接取代物，这也就是指，我们在此所关心的主要是如何通过具体计算求得所说的未知量；与此相对照，“构造性观点〞则是将字母或字母表达式看成直接的对象而非具体数量的取代物，我们在此所主要关注的也只是式与式之间的关系――从而，按照这样的理解，符号表达式事实上就应被看成整体数学构造的一个组成成分。

　　值得指出的是，也正是遵循这样的分析思路，一些学者明确提出了这样一种观点，即认为由“过程〞到“对象〞的转变〔这就是所谓的“凝聚〞〕可以被看成是代数思维的一个根本形式，我们并可从这一角度清楚地去指明在代数与几何之间所存在的重要区别。

　　最后，应当强调的是，我们不应把“构造性观点〞与“过程〔程序〕性观点〞绝对地对立起来。

恰恰相反，这正是数学思维的一个重要特点，即应当依据不同的情景和需要在“过程〞与“对象〞之间作出必要的转换，包括由“过程〞转向“对象〞，以及由“对象〞重新回到“过程〞。

例如，在求解方程时，我们显然必须将相应的表达式，如〔*+3〕2=1，看成单一的对象，而非具体的计算过程，不然的话，就会出现上述的“连等式〞这样的错误。

然而，一旦求得了方程的解，如*=-2和-4，作为一种检验，我们又必须将其代入原来的表达式并实行具体的计算，从而，这时所采取的又是一种“过程〞的观点。

　　二、聚焦教学涵义

　　就代数思想在小学算术教学中的渗透而言，应当首先明确：

这并非外部强加给小学数学教学的附加性成分，因为，小学数学的相关容本身就包含了这些因素。

例如，这事实上也就是在现今的数学教育研究何以会出现以下一些术语的主要原因，如“算术的在代数本质〞“早期代数思维〞“涌现的代数〞，等等。

进而，又如“涌现〞〔emergence〕这一词语所清楚说明的，我们在此所提倡的正是一种自然而然的变化，也即如何能在算术的教学中自然而然地表达代数思维。

以下就围绕“概括〞与“等价观念〞这样两个代数思想对此作出进一步的分析论述。

1．上面已经提到，字母的引入〔更为一般地说，就是由数到式的过渡〕应当很好表达“概括〞这样一种思想。

例如，我们显然就可从这一角度去理解以下的一些论述：

“代数是概括的算术〞“代数意义衍生于它的数字根底〞“概括也是学习代数的一个途径〞，等等。

　　进而，我们显然也可从同一角度去理解以下研究工作的意义，特别是，这更可被看成为我们具体判断学生的开展水平提供了可能的标准：

就学生对于字母表达式的理解而言，可以大致地区分出这样六个不同的水平：

〔1〕赋予特定数值的字母：

从一开场就对字母赋予一个特定的值；〔2〕对字母不予考虑：

根本无视字母的存在，或虽然成认它的存在但不赋予其意义；〔3〕字母被看成一个具体的对象：

认为字母是一个具体物体的速记或其本身就被看成一个具体的物体；〔4〕字母作为一个特定的未知量：

把字母看成一个特定的、但是未知的量；〔5〕一般化的数：

把字母看成代表了或至少可以取几个而不只是一个值；〔6〕字母作为一个变量：

把字母看成代表一组未指定的值，并在两组这样的值之间存在有系统的关系。

进而，以下的调查结果〔这是1976年在英国实施的一项大规模的调查研究，其中共对3000名13~15岁的中学生进展了51项的笔试〕显然又可被看成更为清楚地说明了注意代数思想在算术教学中渗透的重要性：

大多数学生〔13岁中的73%，14岁中的59%，15岁中的53%〕或是把字母当做具体的对象，或者根本就不去管它们。

　　再者，就概括思想的具体学习而言，表格无疑具有特别的重要性。

例如，这显然也就是以下论述的一个主要意义：

“表格可能是学习代数旅程的起点。

〞然而，这又是在现实中经常可以看到的一种弊病，即教师在教学中没有给学生的主动探究留下足够的空间，特别是无视了关于图像的视觉与实际操作应当被看成概括的必要根底，从而就极“削减了概括过程的丰富性〞。

　　更为一般地说，这事实上也就是众多“找规律〞课程的一个共同弊病：

其所希望的即学生能够按照教师〔或者说，教材〕的暗示、用教师〔教材〕指定的方法、并按照教师〔教材〕指定的步骤去作出所谓的“发现〞。

显然，在这样的情况下，学生的“主动探究〞在很大程度上就只能说是一种“假探究〞。

　　例如，以下关于韦达定理的教学设计在很大程度上就可被看成这样的一个实例：

　　先让学生填以下的表格，然后问：

你认为一元二次方程的根与系数之间有什么关系？

2．尽管从教学的角度看以下的措施似乎都只是一种小技巧，即在教学中有意识地使用不同的字母、或是对已选定的字母作出改变，如将4*+7=35变形为4y+7=35，直至用更为复杂的符号表达式去取代原来的字母，如4*+7=35与4〔2r+1〕+7=35等，但这显然十分有益于学生超出“外在形式的感知〞从而也就能够更为深入地去认识对象的在数学构造。

值得指出的是，这里所说的“外在形式的感知〞事实上也正是学生在操作性活动何以经常出现*些“规律性错误〞的一个重要原因。

当然，我们在教学中又应注意引导学生对所说的不同表达式作出必要的比拟，

　　另外，我们显然也可从同一角度去理解以下一些教学设计的意义，即是如何能够帮助学生初步地建立起关于“等号〞的“构造性观念〞，而不只是认为“等号〞说明“给出答案〞〔正因为此，等式也就常常被看成具有固定的“方向〞：

左边表示应作的运算，右边表示答案〕：

如教师在教学中可以有意识地让学生构造这样一些等式，先是每边都有一个运算，如4+3=6+1，2×6=4×3，2×6=10+2等；接下来是每边都有两个运算的，随后是每边都有乘法的，如7×2+3-2=5×2-1+6，等等。

　　更为一般地说，以下正是学生形成关于方程的“构造性观念〞的一些关键环节：

〔1〕用字母代表数；〔2〕等号表示左、右双方的等价性；〔3〕右边的项不一定是单一的数而也可能是一个代数式。

从而，这也就十分清楚地说明这样一点：

小学数学教学确实能在这一方面发挥更大的作用，也应发挥更大的作用。

　　更为具体地说，这应当被看成小学数学教学的一项重要目标，即努力促进学生由“过程性观念〞向“构造性观念〞转变。

值得指出的是，从这一角度去分析我们也可更为深入地认识“奥数〞的盛行对于数学教学的严重影响：

由于在小学奥数的训练中，方程几乎无一例外地只是作为一种新的解题方法得到了介绍，学生对于方程方法的应用又常常依赖于记忆与模仿。

因此，这种学习恰恰就是丢掉了代数学习中最为根本的一些东西，由此所形成的“思维定式〞也必然会对学生将来的数学学习产生严重的消极影响。

　　在笔者看来，后一实例事实上并就进一步证实了笔者对于当前普遍存在的学生“两极分化〞现象的如下判断：

“所谓的‘超前教育’正是造成现今‘两极分化’的一个重要原因，这也就是指，我们所看到的事实上并非真正的‘优秀学生’与‘差生’之间的差距，而是由各种原因造成的‘提前起跑者’与‘正常起跑者’之间的差距。

而且，这里所说的‘先进生’有很多不仅不能被看成真正的优秀学生，更可能是一个‘越做越恨’‘越学失败感越强’，甚至灵魂也因此受到一定扭曲的‘偷跑者’。

〞

　　三、更为一般的分析

1．依据上述分析，我们也可更为深入地去理解什么是“过程教育〞的主要涵义，特别是，什么是真正的数学活动，什么又是学生在数学学习中的适当活动？

　　具体地说，这是笔者在这一方面的一个根本观点：

我们应当清楚地认识数学活动的丰富性。

例如，上面已提到的概括、抽象、符号化、视觉化、操作、算法的应用等显然都应被看成学生数学活动的重要形式，除此以外，我们还可以提及下定义、综合、表征、证明和公理化等活动。

　　其次，同样重要的是，相对于外在的形式而言，我们又应更加重视在的数学思维，也即应当十分重视通过具体的数学活动帮助学生学会数学地思维。

例如，从这一角度去分析，就代数思维向小学数学的渗透而言，字母的使用就不是真正的关键，因为，就如以下的论述所清楚说明的：

“低年级的代数思维涉及在活动中培养