高考数学理科一轮复习定积分及其简单的应用学案带答案Word下载.docx
《高考数学理科一轮复习定积分及其简单的应用学案带答案Word下载.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学理科一轮复习定积分及其简单的应用学案带答案Word下载.docx（8页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。
变力做功公式
一物体在变力F的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向从x＝a移动到x＝b，则力F所做的功w＝__________________________.
自我检测
．计算定积分&
503xdx的值为
A.752
B．75
c.252
D．25
2．定积分&
10[1－&
#61480;
x－1&
#61481;
2－x]dx等于
A.π－24
B.π2－1
c.π－14
D.π－12
3．如右图所示，阴影部分的面积是
A．23
B．2－3
c.323
D.353
4．&
421xdx等于
A．－2ln2
B．2ln2
c．－ln2
D．ln2
5．若由曲线y＝x2＋k2与直线y＝2kx及y轴所围成的平面图形的面积S＝9，则k＝________.
探究点一 求定积分的值
例1 计算下列定积分：
；
π0dx；
20|x2－1|dx.
变式迁移1 计算下列定积分：
2π0|sinx|dx；
&
π0sin2xdx.
探究点二 求曲线围成的面积
例2 计算由抛物线y＝12x2和y＝3－2所围成的平面图形的面积S.
变式迁移2 计算曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积．
探究点三 定积分在物理中的应用
例3 一辆汽车的速度－时间曲线如图所示，求此汽车在这1min内所行驶的路程．
变式迁移3 A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站开往B站，电车开出ts后到达途中c点，这一段速度为1.2tm/s，到c点时速度达24m/s，从c点到B点前的D点以匀速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为m/s，在B点恰好停车，试求：
A、c间的距离；
B、D间的距离；
电车从A站到B站所需的时间．
函数思想的应用
例 在区间[0,1]上给定曲线y＝x2.试在此区间内确定点t的值，使图中的阴影部分的面积S1与S2之和最小，并求最小值．
【答题模板】
解 S1面积等于边长为t与t2的矩形面积去掉曲线y＝x2与x轴、直线x＝t所围成的面积，即S1＝t&
#8226;
t2－&
t0x2dx＝23t3.[2分]
S2的面积等于曲线y＝x2与x轴，x＝t，x＝1围成的面积去掉矩形面积，矩形边长分别为t2,1－t，即S2＝&
1tx2dx－t2＝23t3－t2＋13.[4分]
所以阴影部分面积S＝S1＋S2＝43t3－t2＋13．[6分]
令S′＝4t2－2t＝4tt－12＝0时，得t＝0或t＝12.[8分]
t＝0时，S＝13；
t＝12时，S＝14；
t＝1时，S＝23.[10分]
所以当t＝12时，S最小，且最小值为14.[12分]
【突破思维障碍】
本题既不是直接求曲边梯形面积问题，也不是直接求函数的最小值问题，而是先利用定积分求出面积的和，然后利用导数的知识求面积和的最小值，难点在于把用导数求函数最小值的问题置于先求定积分的题境中，突出考查学生知识的迁移能力和导数的应用意识．
．定积分&
bafdx的几何意义就是表示由直线x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f围成的曲边梯形的面积；
反过来，如果知道一个这样的曲边梯形的面积也就知道了相应定积分的值，如&
204－x2dx＝π，&
2－24－x2dx＝2π.
2．运用定积分的性质可以化简定积分计算，也可以把一个函数的定积分化成几个简单函数定积分的和或差．
3．计算一些简单的定积分问题，解题步骤是：
第一步，把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数积的和或差；
第二步，把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；
第三步，分别用求导公式找到一个相应的使F′＝f的F；
第四步，再分别用牛顿—莱布尼茨公式求各个定积分的值后计算原定积分的值．
一、选择题
．下列值等于1的积分是
A．&
10xdx
B．&
10dx
c．&
1012dx
D．&
101dx
2．设函数f＝x2＋1，0≤x≤1，3－x，1&
x≤2，则&
20fdx等于
A.13
B.176
c．6
D．17
3．已知f为偶函数且&
60fdx＝8，则&
6－6fdx等于
A．0
B．4
c．8
D．16
4．曲线y＝sinx，y＝cosx与直线x＝0，x＝π2所围成的平面区域的面积为
π20dx
B．2&
π40dx
D．2&
5．函数f＝&
x0tdt在[－1,5]上
A．有最大值0，无最小值
B．有最大值0，最小值－323
c．有最小值－323，无最大值
D．既无最大值也无最小值
题号
2
3
4
5
答案
二、填空题
6．若1N的力使弹簧伸长2cm，则使弹簧伸长12cm时克服弹力做的功为__________j.
7．&
10dx＝2，则k＝________.
8．若f在R上可导，f＝x2＋2f′x＋3，则&
30fdx＝________.
三、解答题
9．计算以下定积分：
212x2－1xdx；
&
32x＋1x2dx；
π30dx；
21|3－2x|dx.
0．设y＝f是二次函数，方程f＝0有两个相等的实根，且f′＝2x－2.
求y＝f的表达式；
求y＝f的图象与两坐标轴所围成图形的面积．
1．求曲线y＝ex－1与直线x＝－ln2，y＝e－1所围成的平面图形的面积．
．x＝a，x＝b，y＝0和曲线y＝f 面积
2．k&
bafdx &
baf1dx±
baf2dx
cafdx＋&
bcfdx
3.微积分基本定理 F|ba 4.&
bafdx －&
bafdx
ba[f－g]dx
5.s＝&
bavdt &
baFdx
．A 2.A 3.c 4.D
5．±
3
解析 由y＝x2＋k2，y＝2kx.
得2＝0，
即x＝k，
所以直线与曲线相切，如图所示，
当k&
0时，S＝&
k0dx
＝&
k02dx＝133|k0＝0－133＝k33，
由题意知k33＝9，∴k＝3.
由图象的对称性可知k＝－3也满足题意，故k＝±
3.
课堂活动区
例1 解题导引 与绝对值有关的函数均可化为分段函数．
①分段函数在区间[a，b]上的积分可分成几段积分的和的形式．
②分段的标准是使每一段上的函数表达式确定，按照原函数分段的情况分即可，无需分得过细．
f是偶函数，且在关于原点对称的区间[－a，a]上连续，则&
a0fdx.
解 &
e1x＋1x＋1x2dx
e1xdx＋&
e11xdx＋&
e11x2dx
＝12x2|e1＋lnx|e1－1x|e1
＝12＋－1e－11
＝12e2－1e＋32.
π20sinxdx－2&
π20cosxdx
＝|π20－2sinx|π20
＝－cosπ2－－2sinπ2－sin0
＝－1.
π0dx
＝2&
π0sinxdx－3&
π0exdx＋&
π02dx
＝2|π0－3ex|π0＋2x|π0
＝2[－]－3＋2
＝7－3eπ＋2π.
∵0≤x≤2，
于是|x2－1|＝x2－1，1&
x≤2，1－x2，0≤x≤1，
∴&
20|x2－1|dx＝&
10dx＋&
21dx
＝x－13x3|10＋13x3－x|21＝2.
变式迁移1 解 ∵′＝sinx，
2π0|sinx|dx＝&
π0|sinx|dx＋&
2ππ|sinx|dx
π0sinxdx－&
2ππsinxdx
＝－cosx|π0＋cosx|2ππ
＝－＋＝4.
π0sin2xdx＝&
π012－12cos2xdx
π012dx－12&
π0cos2xdx
＝12x|π0－1212sin2x|π0
＝π2－0－1212sin2π－12sin0
＝π2.
例2 解题导引 求曲线围成的面积的一般步骤为：
作出曲线的图象，确定所要求的面积；
联立方程解出交点坐标；
用定积分表示所求的面积；
求出定积分的值．
解 作出函数y＝12x2和y＝3－2的图象，则所求平面图形的面积S为图中阴影部分的面积．
解方程组y＝12x2，y＝3－&
2，得x＝－23，y＝29或x＝2，y＝2.
所以两曲线交点为A－23，29，B．
所以S＝&
2－23[3－2]dx－&
2－2312x2dx
2－23dx－&
＝－13x3＋x2＋2x2－23－16x32－23
＝－83＋4＋4－881＋49－43－16×
8＋827
＝42027.
变式迁移2 解
如图，
设f＝x＋3，
g＝x2－2x＋3，
两函数图象的交点为A，B，
由y＝x＋3，y＝x2－2x＋3.
得x＝0，y＝3或x＝3，y＝6.
∴曲线y＝x2－2x＋3与直线y＝x＋3所围图形的面积
S＝&
30[f－g]dx
30[－dx]
30dx
＝－13x3＋32x2|30＝92.
故曲线与直线所围图形的面积为92.
例3 解题导引 用定积分解决变速运动的位置与路程问题时，将物理问题转化为数学问题是关键．变速直线运动的速度函数往往是分段函数，故求积分时要利用积分的性质将其分成几段积分，然后求出积分的和，即可得到答案．s求导后得到速度，对速度积分则得到路程．
解 方法一 由速度—时间曲线易知．
v＝3t，t∈[0，10&
，30，t∈[10，40&
，－1.5t＋90，t∈[40，60]，
由变速直线运动的路程公式可得
s＝&
1003tdt＋&
401030dt＋&
6040dt
＝32t2|100＋30t|4010＋－34t2＋90t|6040＝1350．
答 此汽车在这1min内所行驶的路程是1350m.
方法二 由定积分的物理意义知，汽车1min内所行驶的路程就是速度函数在[0,60]上的积分，也就是其速度曲线与x轴围成梯形的面积，
∴s＝12×
30＝12×
×
30＝1350．
变式迁移3 解 设v＝1.2t，令v＝24，∴t＝20.
∴A、c间距离|Ac|＝&
XX.2tdt
＝|200＝0.6×
202＝240．
由D到B时段的速度公式为
v＝m/s，可知|BD|＝|Ac|＝240．
∵|Ac|＝|BD|＝240，
∴|cD|＝7200－240×
2＝6720．
∴c、D段用时672024＝280．
又A、c段与B、D段用时均为20s，
∴共用时280＋20＋20＝320．
课后练习区
．D 2.B 3.D 4.D 5.B
6．0.36
解析 设力F与弹簧伸长的长度x的关系式为F＝kx，
则1＝k×
0.02，∴k＝50，
∴F＝50x，伸长12cm时克服弹力做的功
w＝&
0.12050xdx＝502x2|0.120＝502×
0.122＝0.36．
7．1
解析 ∵&
10dx＝2k＋1xk＋1＋x10
＝2k＋1＋1＝2，∴k＝1.
8．－18
解析 ∵f′＝2x＋2f′，∴f′＝4＋2f′，
即f′＝－4，∴f＝x2－8x＋3，
30fdx＝13×
33－4×
32＋3×
3＝－18.
9．解 函数y＝2x2－1x的一个原函数是y＝23x3－lnx，
所以&
212x2－1xdx＝23x3－lnx21
＝163－ln2－23＝143－ln2.………………………………………………………………
32x＋1x2dx＝&
32x＋1x＋2dx
＝12x2＋lnx＋2x32
＝92＋ln3＋6－
＝ln32＋92.…………………………………………………………………………………
函数y＝sinx－sin2x的一个原函数为
y＝－cosx＋12cos2x，所以&
π30dx
＝－cosx＋12cos2xπ30
＝－12－14－－1＋12＝－14.……………………………………………………………
＝|321＋|232＝12.…………………………………………………………
0．解 设f＝ax2＋bx＋c，
则f′＝2ax＋b.又f′＝2x－2，
所以a＝1，b＝－2，即f＝x2－2x＋c.………………………………………………
又方程f＝0有两个相等实根，
所以Δ＝4－4c＝0，即c＝1.
故f＝x2－2x＋1.………………………………………………………………………
依题意，所求面积S＝&
＝13x3－x2＋x|10＝13.……………………………………………………………………
1．解 画出直线x＝－ln2，y＝e－1及曲线y＝ex－1如图所示，则所求面积为图中阴影部分的面积．
由y＝e－1，y＝ex－1，解得B．
由x＝－ln2，y＝ex－1，解得A－ln2，－12.…………………………………………………
此时，c，D．
所以S＝S曲边梯形BcDo＋S曲边三角形oAD
1－ln2dx－&
10dx＋0－ln2&
ex－1&
dx………………………………………
＝x|1－ln2－|10＋||0－ln2|………………………………………………
＝－＋|e0－|
＝－＋ln2－12
＝eln2＋12.……………………………………………………………………………
课
升级会员 