小学数学学科培训问题与分析Word文档下载推荐.docx
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比如，关于常用对数的首数就有这样一个定理：
“常用对数的首数等于真数的整数位数减1。
”所以lg50的首数是1，lg5的首数是0，lg0.5的首数是－1。
如果把0看作一位数，那么lg0.5的首数岂不也是0了吗？
由于0不是一位数，一位数只有1，2，3，…，9共九个，所以，最大的一位数是9；
最小的一位数是1，而不是0。
在二进制中，一位数只有一个，那就是1。
（3）为什么“0可以作乘数”，但“0不能作除数”？
0可以作乘数。
根据乘法的意义
当a＝0时，有
当b＝0时，根据积的补充定义，积也是唯一存在的，所以，0可以作乘数。
0为什么不能作除数呢？
根据除法的定义：
（1）当a＝0时，如果又有b＝0，则商q应满足0×
q＝0，因此，商q可以是任何数；
（2）当a＝0，b≠0时，任何数q都无法满足0×
q＝b，即作为商的数q不存在。
这两种情况都不符合四则运算要求计算结果必须存在且唯一的规定，研究这样的除法是没有意义的。
因此，在除法运算中规定“0不能作除数”。
2.关于进位制
（1）有哪些不同的进位制？
进位制是一种记数方式，所以也称进位记数法，是由于计数数目的增大而产生的。
逢n进一称为n进位制，例如逢十进一称为十进位制，象计算机使用的是逢二进一，称为二进制。
历史上出现过不少进位制。
玛雅人使用二十进位制，巴比伦人使用六十进位制。
在现代科学中起重要作用的十进位制是中国人最早使用的。
十进制这种记数法用0，1，2，3，…，9这十个不同的数字按照位值记数法来表示不同的自然数。
而二进制记数法中，只用两个不同的数字0，1就能表示任何自然数。
由于计算机的计算与记忆元件只有“开”和“关”两种状态，故而它采用的是二进制。
我们还有过十六进制与八进制。
（2）怎样把“十进制数”改成“二进制数”？
十进制数的一般形式为
（
取0、1、2、…、9，n取正整数，
＝1）．
二进位制的数一般形式为：
（a取0，1，n取正整数）．
将十进制的数化为二进制的数，只要不断地用2去除，直到商为1为止．得到的余数由下往上顺次写下来，就是二进制的数字，把它们依次排出，就得到与十进制数相等的二进制数．例如：
将二进制的数化为十进制的数，只要将二进制数的每个数字，依次乘以2的正整数次幂，然后求和，就可得到与它相等的十进制数．例如：
101
＝1×
2²
＋0×
＋1×
＝4＋1＝5；
11010
＝16＋8＋2＝26．
用类似的方法，可以将多种进位制的数，化为与其相等的十进制数，k进位制的数（k取2≤k≤9的整数）的一般形式为：
（a取0≤a≤k的所有整数，n取正整数）．
这种表示法可以把任意一个k进制数，化为与其相等的十进制数．要将十进制数化为与其相等的k进位制数，可用k去除，把每一位数字的余数从低位到高位排序即可．例如：
3217＝3×
＋2×
＝147＋14＋1＝162；
3.关于准确数与近似数
（1）准确数和近似数有何区别？
在计数和计算过程中，有时能得到与实际完全相符的数，这样的数叫准确数。
如某校的数学教师有15人，6×
1.2＝7.2，等等。
但在生产、生活和计算中得到的某些数，常常只是接近于准确数，这种数叫近似数。
如“某市人口约有75万”，75万就是一个近似数，因为在统计一个城市的人口时，由于居民的迁出和迁入，出生和死亡，人口的数目随时都在变化，很难得出准确的人口数；
在计算圆周长的公式里，圆周率
可以用3.14代入计算，3.14也只是
的近似数。
两者的主要区别就在于是否与实际情况完全相符。
（2）不足近似值与过剩近似值有何区别？
小于准确数的近似值，叫不足近似值；
大于准确数的近似值，叫过剩近似值。
例如，3.14、3.142分别是圆周率
的不足近似值和过剩近似值。
（3）绝对误差与相对误差有何区别？
准确数A与它的近似值a之差A－a，叫做这个近似数的误差；
误差的绝对值|A－a|，叫做这个近似数的绝对误差。
近似数的绝对误差除以准确数所得的商，叫做这个近似数的相对误差（常用百分率表示）。
实际计算时，由于准确数往往不得而知，所以只能用近似数代替准确数来计算相对误差。
如：
甲、乙两人测量边长为1米的正方形的对角线的长度。
甲量得的结果是1.41米，乙量得的结果是1.42米。
则两人的测量结果的绝对误差分别是：
|
－1.41|≈|0.0042|≈0.0042（米）
－1.42|≈|－0.0058|≈0.0058（米）
相对误差分别是：
0.0042÷
1.4142≈0.30%
0.0058÷
1.4142≈0.41%
其中，1.4142是
的有五个有效数字的近似值。
绝对误差一般用来比较同一个数量的两个不同近似数的精确度，而相对误差往往用来比较两个不同数量的精确度。
（4）有效数字和可靠数字有何不同？
一个近似数，如果绝对误差不超过它末位的半个单位，则从左端第一个非零数字起到末位数字止，所有的数字都叫这个近似数的有效数字。
取
＝3.14，因为|
－3.14|＜0.01÷
2，所以圆周率的近似数3.14有三个有效数字；
如果取
＝3.1416，则|
－3.1416|＜0.0001÷
2，所以近似数3.1416有5个有效数字。
一个近似数，如果绝对误差不超过它末位的一个单位，则从左端第一个非零数字起到末位数字止，所有数字都叫这个近似数的可靠数字。
因此，用“四舍五入法”取得的近似数，从左端第一个不是零的数字起到末位数字止，所有的数字都是有效数字，也都是可靠数字。
用“进一法”和“去尾法”取得的近似数，从左端第一个不是零的数字起到末位数字止，所有的数字都是可靠数字；
在这些可靠数字中，除末位外，都是有效数字。
（5）什么是科学记数法？
当近似数是整十、整百、整千……数时，如果不加说明，我们就无法确定它的有效数字和可靠数字。
例如，近似数5700，如无说明，我们就不能确定它是用什么方法截取到哪个数位得到的，它可能是准确数5698四舍五入截取到百位得到的，也可能是截取到十位得到的。
如果是前一种情况，那么它有两个有效数字（5、7）；
如果是后一种情况，那么它有三个有效数字（5、7、0）；
如果它是某个准确数用四舍五入法保留到个位得来的，那么它就有四个有效数字（5、7、0、0）。
（6）在截取一个数的近似数时，能连续两次运用“四舍五入法”吗？
我们看一个例子，把724600四舍五入到万位：
方法一：
724600≈720000；
方法二：
724600≈725000≈730000。
方法一符合“四舍五入法”的操作规范，所得近似数的误差不会超过保留部分的末位的半个单位（即0.5万）。
方法二连续两次运用了“四舍五入法”，不符合操作规范，所得近似数的误差已超过保留部分的末位的半个单位。
事实上，730000并不是724600四舍五入到万位的近似数，而是725000四舍五入到万位的近似数。
在截取近似数的实际操作中，不能连续两交运用“四舍五入法”。
（7）估算与近似计算有何不同？
所谓近似计算，是指在工程技术的相关计算中，所用的原始数据大多不是准确数。
许多数据也不要求完全准确，允许有一定的误差，只要误差不超出规定的范围就可以了。
为了使计算结果的误差不超过允许的范围，计算过程必须遵守相应的规则，这就是近似计算。
估算是根据具体条件和有关知识，对事物的数量或的结果作出估计或大概的推断，如参加一次旅游大概需要多少费用？
就是一个需要通过估算来解决的问题。
精确计算得到的是准确数；
近似计算得到的是误差不超出指定范围的近似数；
如果对计算结果的误差范围也没有提出要求，那就可以用估算来解决。
也就是说，估算是粗略的口算，近似计算则是不完全精确的笔算或机算。
它们的计算结果可以是接近准确得数的某一个数，也可以是包含准确得数的某个区间的两个端点。
二者的差异在：
（1）近似计算对计算结果的准确程度有一定的要求，计算结果的绝对误差或相对误差不允许超出某个界限；
而估算结果的精确程度一般没有明确要求；
（2）估算不般用口算进行，而近似计算往往用笔算或机算完成。
4.关于分数
（1）分数有哪些不同的定义？
对于分数的意义，教材是这样描述的：
单位1平均分为若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。
这样的描述听起来比较自然，也符合“几分之几”的称呼。
但这种用份数来定义的方式虽说自然，但也有缺点。
最后是一份或几份，那究竟是自然数还是分数？
这样不太明确。
因此必须尽快过渡到分数的“商”定义，分数的定义就是，分数是两个正整数a，b，a除以b的商。
所以分数是一个商，这个概念我们现在注意的不够，而这恰恰是我们学习分数的核心所在。
用a除以b，当除的尽时（整除），就是原来的自然数，没什么问题，问题就在除不尽的情况下面，那么我们就得到了一个分数，这就是分数所以要成为分数根本的原因，就是除不尽的情况下需要分数，除的尽就不需要分数了。
其实，分数还有第三个定义即比的定义。
两个自然数a比b,b≠0,即a/b叫做分数。
比和除，本来是一个问题的两个方面，用比的概念之后，分数就可以扩大它的应用范围，使我们的视野更广阔。
唐彩斌老师对100多名学生作过一个调查，对象分别来自三、四、六年级，调查的方法是，就是当学生看到屏幕上有一个圆，我们把圆分成4份，其中的一份涂成蓝色，这时学生会想到哪些分数呢？
我们给学生一些时间，让他们想，结果我们发现：
测试结果：
（时间2分钟）
总人数
1/4
3/4
1/2
4/1
1/3
3/1
三年级
39
38
14
四年级
36
17
10
8
2
六年级
3
合计
116
110
13
11
百分率
94.83
33.62
11.2
6.90
9.48
1.72
从统计到的数据可以看出，以整个圆作为“整体单位”的思维定势还是比较强的。
但整体不仅仅是一个圆，也可以是1个半圆，或3/4个圆，所以整体是可以变化的，是可以有多种多样的选择的。
我首先看到的是在1个圆里面1块蓝3块白，蓝和白之比是1：
3，然后马上就认为是一个1/3。
所以说不能把一个整圆分成4等分作为一种定式，以至于看不到一块蓝三块白之间的比。
我想比的定义也许和份数之间的灵活转换有一定的关系，我也希望大家把份数和比的定义连接起来思考。
（2）说说怎么对分数进行分类的？
分数可以按照不同的标准来分类。
按照分子与分母有没有1以外的公约数，可以把分数分为可约分数和最简分数（或既约分数）
按照分子是否小于分母，分为真分数和假分数。
其中分子小于分母的叫真分数，分子不小于分母（即分子大于或等于分母）的分数叫假分数。
需要注意的是：
带分数是一个整数和一个真分数合成的数，实际上是一个整数与一个真分数的和。
它是一个和式，而不是一个分数。
更不能作为分数分类的一个子项。
（3）分数与小数之间有哪些关系？
小学生最初认识的小数仅仅是有限小数。
有限小数相当于十进分数，即分母中不含2、5以外的质因数的最简分数。
这时，可以说“小数”是“分数”的种概念，“分数”是“小数”的属概念。
“分数”和“小数”是属种关系。
分数化小数，要么化为有限小数，要么化成无限循环小数，而无限不循环小数则不可能由分数转化而来，它们是分数以外的另一类数。
对于扩充后的小数概念，其中包括的有限小数与无限循环小数的部分相当于分数。
此外，还有一种无限不循环小数。
因此，我们可以说这时分数是小数的种概念，小数是分数的属概念。
小数与分数是属种关系，这与前面的结论正好相反。
但实际上两者并不矛盾。
因为前面的结论中所说的小数仅仅指有限小数，后面的结论中所说的小数则包括了有限小数与无限小数。
5.关于百分数
（1）百分数是不是一种数？
表示一个数是另一个数（或一个量是另一个同类量）的百分之几的数叫做百分数。
百分数通常用来表示两个数（或两个同类量）的比，所以又叫百分比或百分率。
（2）百分数就是分母是100的分数吗？
百分数实质上是一个分母是100的分数。
不过，根据使用习惯，它的分子不但可以是整数，还可以是小数。
这些用于特定场合的、分母是100的分数通常写成75%、12.5%。
（3）百分数与分数的区别在哪？
百分数与分数的区别在于：
分数既可以表示两个数或两个同类量的倍比关系，也可以用来表示具体的数量；
而百分数只用于表示两个数量的倍比关系。
当需要用百分数a%表示具体数量时，往往称之为“a个百分点”。
6.关于数的大小比较
（1）多位数大小的比较法则适用于有限小数，也适用于无限小数吗？
（2）0.5
＜0.6，对吗？
多位数大小的比较法则如下：
（1）如果两个多位数的位数不同，则位数多的数较大；
（2）如果两个多位数的位数相同，则最高位上的数较大的数较大；
（3）如果是高位上的数又相同，则比下一位数。
下一位数较大的数较大……依次类推；
（4）如果两个多位数的位数，并且各个相同数位上的数也分别相等，那么这两个多位数相等。
多位数大小的比较法则不能推广到无限小数的大小比较。
比如，根据循环小数化分数的法则：
但若运用有限小数的大小比较法则，将得出如下错误结果：
＜0.6.
这就说明，有限小数的大小比较法则不适用于无限小数。
7.关于运算律。
（1）“36＋88＋64＝36＋64＋88”到底用了什么运算律？
或许有人觉得这儿只是将88与64交换了位置，认为是用到了交换律，其实这种变化还用到了加法的结合律。
加法交换律告诉我们：
两个数相加，交换加数的位置，和不变。
四则混合运算的顺序规定：
没有括号并且只含有同一级运算的算式，从左往右依次计算。
这就是说，（36＋88）＋64中的括号可以省去，即对于“36＋88＋64”应该理解为“（36＋88）＋64”。
因此，在算式“36＋88＋64”中，与64相加的并不是88，而是36＋88的和。
因为88与64并不是相加的两个数。
所以不能根据加法交换律交换它们的位置。
这个算式可以证明如下：
（36＋88）＋64
＝36＋（88＋64）…加法结合律
＝36＋（64＋88）…加法交换律
＝（36＋64）＋88…加法结合律
或者，这样来证明：
＝64＋（36＋88）…加法交换律
＝（64＋36）＋88…加法结合律
＝（36＋64）＋88…加法交换律
8.关于“比”。
（1）比是一种运算，还是一种关系？
根据比的意义，比是一种运算，表示比的前项除以后项的运算。
但比也常常被用来表示两个数、两个同类量或不同类量之间的数量关系。
如长方形ABCD的长与宽的比是3:
2，说的是“两条线段AB与BC的长度的比是3:
2”。
在数理逻辑中，“关系”被解释为含有两个可填入个体名称的空位的命题。
如（）:
（）=3:
2表示一种关系。
如果在两对括号中填入两个数或两个同类量，它就会成为一个关系判断。
不过，这个关系要用含有两个空位的命题来表示，不能仅仅用“3:
2”来表示。
因此，说“比是一种关系”属于对“比”的误解。
（2）体育比赛中的比分是比吗？
体育比赛中的比分，仅仅表示按照比赛规则两队所得分数的对比，它的表达方式像“比”，但实质上并不是数学里的“比”。
数学名词“比”要求比的后项不能为零。
但比分的双方都可以是零。
数学语言中的词语往往不同于自然语言中的日常用语。
数学名词的词义有其专门的规定，不能和自然语言的词义擅加解释。
在数学教学中，要注意区别数学语言和自然语言，不能蓄意地把它们混在一起。
（3）比例尺是比还是比值？
一幅图的图上距离和实际距离的比叫做这幅图的“比例尺”。
可见，比例尺是一个比。
通常把这个比写成前项是1（或后项是1）的比的形式。
在计算图上距离或实际距离的问题中，比例尺往往作为一个分数参与计算。
这个分数实质上是图上距离与实际距离的比的比值。
这就是说，比例尺也可以作为图上距离与实际距离的比的比值，参与实际问题的有关计算。
9.其他
（1）“倍”与“倍数”有什么不同？
先说“倍”的意义：
如果
（k是一个数），就说“a是b的k倍”。
这里的k可以是整数，也可以是小数、分数或无理数。
a、b可以是两个数，也可以是两个同类的连续量或离散量。
并且习惯上，上述说法用于
的场合。
再说“倍数”的意义：
如果a、b、
都是整数，并且
，则称“a是b的倍数”、“b是a的因数”。
当然，也可以说“a是的
倍数”、“
是a的因数”。
显然，“倍”和“倍数”都是乘法算式引伸出来的概念，但前者是有理数集或实数集上的乘法，后者则是整数集上的乘法。
如5=1.25×
4，我们可以说“5是4的1.25倍”，也可以说“5是1.25的4倍”。
但不能说“5是4的倍数”或“5是1.25的倍数”。
（2）双数就是偶数吗？
能被2整除的整数叫做偶数。
偶数有正偶数、负偶数和零。
正偶数也叫双数。
双数就是能被2整除的正整数。
0不是双数；
0是偶数，但不是最小的偶数。
二、“图形与几何”领域
1.关于线。
（1）“直线可以无限延长”这话对吗？
肯定是不准确的。
几何理论体系中的“直线”，是从现实原型中直接抽象出来的无需定义的概念，本来就是向两方无限延伸着的，它不需要延长，也不可能再延长，说“延长直线AB”或“直线可以无限延长”等，实质上是对“直线”概念还没有正确地认识和领悟。
“直线”概念的教学有三个要素：
直、无粗细可言和无限延伸性。
其中，“直”可以通过教具演示，通过与“曲”的对比来领会；
“无粗细可言”也可以借助典型事例的观察和分析逐步认识到，如教室墙面的浅色区域和深色区域的分界线，就是没有粗细的线的例子；
“无限延伸性”难以通过直观教学使学生认识。
只有引导学生在观察和动手画图的基础上借助于想象来把握。
同样地，“线段不能无限延长”的说法也是有问题的。
其实，线段本身的长度是有限的，但线段是能够向一方或两方延长，或者说无限延长，其中，向一方无限延长得到的是射线，向两方无限延长得到的是直线。
（2）“角的大小与边的长短没有关系”这话对吗？
因为角的边是射线，而射线是可以向一方无限延伸的，无长短可言。
因此，这种说法是荒唐的、错误的。
从逻辑学的角度来分析，这里所犯的是“自相矛盾”的逻辑错误。
一方面承认角的边是射线，射线是向一方无限延伸的，是没有长短的；
另一方面又说角的边有长短。
“角”的教学可以这样进行：
先观察实物，并抽象出角；
再让学生利用各种纸折出角，从而获得更为清晰的角的表象；
然后呈现用两根木条做成的角的活动模型和表示角的图形，使学生获得“一个顶点和两条边”的角的结构；
再指导学生画角，可以告诉学生：
角的两边“随便画多长都行”，暗示角的两边的无限延伸性。
（3）“平行线”是指“平行的直线”还是“平行的线段”？
在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。
根据平行线的定义，“平行线”是指两条平行的直线。
不过，在几何学中，常常会出现诸如“平行四边形对边平行”的句子。
这里所说的“平行四边形的对边”当然是指两条线段。
对于“两条线段平行”的定义，我们不能采用类比的方法，可以这样进行：
如果两条线段所在的两条直线互相平行，我们就说这两条线段互相平行。
也就是说，我们可以直接用“两直线平行”的概念来给“两线段平行”下定义，首先明确“两直线平行”的意义，然后进一步认识“两条线段平行”意义，切忌同时呈现或者把它们混为一谈。
（4）三角形的“高”究竟指的是特定的“线段”，还是该“线段的长度”？
在认识三角形、平行四边形与梯形时，常常需要画出它们的高。
这时的高指的是一条垂直线段，它是一种图形。
而在计算面积时又会用到高，这时高指的是一条线段的长度，是一种数量。
也就是说，“高”有两种不同的含义：
表示一个图形（符合特定条件的一条线段）；
或者指一个数量（该线段的长度）。
根据上下文，我们一般可以判定其中所说的高指的是哪一种意义。
比如说，“梯形的高有无数条”，这里的“高”指的是上、下底的公垂线段；
“梯形的高是唯一的”“平行四边形的高一般有两个”，其中的“高”指的则是梯形的两底之间或平行四边形的对边之间的公垂线段的长度。
在小学教材中，仅仅将“高”定义为图形中的垂线段，因此在认识求面积的公式时，可补充说明：
公式里的“高”实际上是指垂线段的长度，以便对“高”有一个更完整的认识。
2.关于面。
（1）定义“两腰相等的三角形叫做等腰三角形”有什么不对？
定义是揭示概念内涵的逻辑方法。
所谓“定义”，就是用简明的语句揭示概念所反映的一类事物的特有属性。
在初等数学中，用得最多的是属加种差定义。
一般地，在属加种差定义中说明了两点：
（1）指出了一个更一般的概念（所谓属概念），被定义的概念是它的特例；
（2）指出被定义概念从属概念中划分出来所依据的属性（即种差）。
考虑到小学生的知识基础和思维能力，小学课本对于许多概念并没有给出符合逻辑学要求的严格定义。
而是以描述的形式加以说明。
概念定义必须遵守如下规则：
一是被定义概念和属加种差所说的事物集合应该相同。
否则，就会犯“定义过宽”或“定义过窄”的错误。
比如，说“大于直角的角叫做钝角”就犯了“定义过宽”的错误；
说“分子大于分母的分数叫做假分数”就犯了“定义过窄”的错误。
二是定义不应该循环。
比如，说“求和的运算叫做加法，加法运算的结果叫做和”就犯
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