面积专题Word格式文档下载.docx

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所以IM*x=18

BM*x=42

所以IM/BM=18/42=3/7

设P到AC的高为y

则S（BFPM）=y*MP=42

S（CNPJ）=y*PN=70

所以MP/PN=42/70=3/5

所以MI/IA=MP/PN=3/5

所以AB/IM

=（BM+IM+IA）/IM

=7/3+1+5/3

=5

因为三角形PIM与CAB相似，相似比为5

所以S（ABC）=5^2*S（PIM）=25*9=225

三角形abc中,角a=52度,o为ab,ac的垂直平分线的交点.那么角ocb=_________?

应该是38度.

连结OA,OB.

因为AC垂直平分线过点O,所以OA=OC

同理,OB=OA,OB=OC即OA=OB=OC

所以∠OAC=∠OCA∠OBC=∠OCB∠OAB=∠OBA

设∠OAC=a∠OAC=∠OCA=a∠OAB=∠OBA=52-a

所以再根据三角形内角和定理:

52+a+52-a+∠OBC+∠OCB=180

2∠OCB=76

∠OCB=38

（说明一下，因为o为ab,ac的垂直平分线的交点，所以O是三角形外心，所以O过BC中垂线）

1、在三角形ABC中，角BAC=120度，P是三角形ABC内任一点，求PA+PB+PC与AB+AC的关系

如图，延长BA到D，使得AD=AC因为∠DAC=60º

，所以ΔADC是等边三角形。

AB+AC=BD

逆时针旋转PA60º

，得到ΔAEP，即ΔAEP为等边三角形，∠CAP=∠DAEAD=ACAP=AE

所以ΔAPC=ΔAED得PC=EDAP+PC=AE+ED≥PD

所以PA+PB+PC=AE+ED+PB≥PD+PB≥BD=AB+AC

附证O是锐角三角形ABC内一点，角AOB=角BOC=角COA=120度，求证：

AB+AC大于等于OA+OB+OC

如图，O是三角形ABC内一点，且∠BOC=∠BOA=∠COA=120º

，我们证明AB+AC≥BO+OC+AO

延长BO到E，使得ΔOEC为等边三角形，即OE=OC继续延长OE到F，使得EF=AO

则AO+BO+CO=BF

∠FEC=∠AOC=120º

FE=AOEC=OC所以ΔFEC和ΔAOC全等

即AC=FC∠ACO=∠FCE，所以∠ACF=60º

即三角形ACF为全等三角形AF=AC

所以AB+AC≥BF=AO+BO+CO

2、O是锐角三角形ABC内一点，角AOB=角BOC=角COA=120度，P是三角形ABC内任一点，求证：

PA+PB+PC大于等于OA+OB+OC

如图，延长BO到EF，使得OE=OCEF=OA,连接CE、CF

得到ΔOEC为全等三角形，则OC=EC，

再有AO=FE,∠AOC=∠FEC=120º

得ΔAOC≌ΔFEC

可得AC=FC，∠FCE=∠ACO则∠FCA=60º

作FD=AP，并使∠CFD=∠CAP，连接CD、PD

则ΔCFD≌ΔCAP得CD=CP,∠FCD=∠ACP，则∠DCP=60º

ΔDCP为全等三角形

所以CP=PD

看图可知BP+PD+FD≥BF=BO+AO+CO

得证。

3、已知三角形的一边是另一边的两倍，求证：

它的最小边在它的周长的1/6与1/4之间

答：

设这两条边为别为1、2，另一边为x，则周长为1+2+x根据三角形三边的关系，得1<

x<

3

所以最小边为1，1/（1+2+x）显然要比1/4小，比1/6大

4、在三角形ABC中，角C大于角B，求证：

角平分线BT大于角平分线CP

如图，作OE、OF使得BP=BE、CF=CT

因为BO、CO分别为角平分线，所以∠BOE=∠POB=∠TOC=∠COP=∠3

∠3=∠1+∠2

作OG=OE、OH=OF则ΔOEG、ΔOHF均为等腰三角形

∠OFE=∠3+∠2

∠OEF=∠1+∠3<

∠OFE所以OE>

OF则EG>

FH

在EG上截取GM=FH，作MN，使得∠GMN=∠HFC则∠GNE=∠2

所以ΔGMN≌ΔHFC则GN=HC

所以有BO+OT=BO+OF=BN+NG+GO+OH

CO+OP=CO+OE=CH+OH+OG=NG+GO+OH

所以有BO+OT=BT>

CO+OP=CP

5、在三角形ABC中，求证：

三个内角平分线的乘积小于三条边的乘积

设三条边长a、b、c,三条角平分线长m、n、l

如图，作AK，使得AC=EC=b，则CK∥AB

则有DK/AD=KC/AB=b/c

DK=mb/c则AK=DK+AD=（b+c）m/c<

AC+CK=2b

同理可得（a+b）n/b<

2a

（c+a）l/a<

2c

则（a+b）（b+c）（c+a）mnl<

8a2b2c2

a+b≥2

b+c≥2

c+a≥2

所以（a+b）（b+c）（c+a）≥8abc即mnl<

abc

得证

已知a,b,c为三角形ABC的三边，且方程（b-x）的平方-4（a-x）（c-x）=0有两个相等的实数根，试判断三角形ABC的形状

在三角形ABC中，AB=AC=1，点D.E在直线上运动，设BD=X，CE=Y。

如果角BAC=30度，角DAE=105度，试确定Y与X之间的函数关系式

在三角形ABC中,点D.E分别在边AB,AC上,给出5个论断:

1:

CD垂直AB,2:

BE垂直AC,3:

AE=CE,4:

角ABE=30度,5:

CD=BE.

从论断1234中选择三个作为条件,将论断5做为结论,组成一个真命题.

（各位数学高手们请在今晚做出打案,求你们了）[/QUOTE]

/yiw已知点D.E分别是三角形ABC中AB.AC上的两点,AE=CE.BE垂直AC.角ABE=30度.求证:

CD等于BE

证明:

因为BE垂直AC

角ABE=30渡

所以角EAB=60度

因为AE=CE

所以三角形ABC是等边三角形

所以CD=BE

已知三角形ABC的三条中线交于点O，且BO=10，AO=8，CO=6。

求三角形ABC的面积

简解：

延长BO交AC为D，再延长到E，使ED＝OD，连结CE，则△AOD≌△CED，则有CE＝AO=8,又因为EO＝2DO＝BO＝10，CO＝6，由62+82＝102得△COE是直角三角形。

所以S△COE=6*8/2=24，而S△ACO＝S△COE，所以S△ABC＝3S△ACO＝3*24＝72

在三角形abc中,过bc边上的一点d将角a分成角1与角2且角1=角2,角abc=2倍角c,求证:

ab+bd=ac

分析：

出现线段和差关系有二种办法：

①把短二和线段相接②在长线传上截取一段等于短线段，证余下的等于另一段。

略证一：

延长AB到E，使得BD＝BE连接DE。

∵∠1=∠2，又∵∠ABC=∠E+∠BDE，∠E=∠BDE∠E=1/2∠ABC=∠C，AD=AD∴△AED≌△ACD∴AC=AE=AB+BE=AB+BD（图一）略证二：

在AC上取AF=AB，易证△ABD≌△AFD，∴DF=BD∴∠3=∠B，又∠3=∠4+∠C，∠B=2∠C，∴∠4=∠C，∴CF=DF，∴AC=AF+FC=AF+DF=AB=BD（图二）

已知a.b.c.为三角形ABC的三边的长

正三角形ABC内接与⊙O，P是劣弧BC上任意一点，PA与BC交于E：

①PA=PB+PC

②1÷

PA=1÷

PB+1÷

PC

③PA·

PE=PB·

正确的有那些？

（1）.（3）

在PA上取D使PD=PB 

下证ABD≌BPC 

→AD=PC

3:

证ABP∽PCE

由 

13知2不对.把PB·

PC换为PA·

PE

20、（8分）如图①分别以Rt△ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难看出S1=S2＋S3．

（1）如图②，分别以Rt△ABC三边为边长向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示．那么S1、S2、S3之间的关系为____________．

（2）如图③分别以Rt△ABC三边为边长向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以说明．

　　（3）若分别以Rt△ABC三边为边长向外作三个一般三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，为使S1、S2、S3之间仍具有与

（2）相同的关系，所作三角形应满足什么条件？

说明你的结论．

答案：

（1）S1=S2＋S3　　

（2）S1=S2＋S3

　　证：

设AB=c，AC=b，BC=a，则a2＋b2=c2

　　∵

　　∴

　（3）设AB、AC、BC边上的高分别为h1、h2、h3，S1=S2＋S3

　　当

时，

　　理由：

22、（16分）如图在平面直角坐标系xoy中，正方形OABC的边长为2厘米，点A、C分别在y轴的负半轴和x轴的正半轴上．抛物线y=ax2＋bx＋c经过点A和点B，且12a＋5c=0．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如果点P由点A开始沿AB边以2厘米/秒的速度向点B移动，同时点Q由B点开始沿BC边以1厘米/秒的速度向点C移动．若P、Q中有一点到达终点，则另一点也停止运动，设P、Q两点移动的时间为t秒，S=PQ2（厘米2）

　　写出S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围，当t为何值时，S最小；

　　（3）当s取最小值时，在抛物线上是否存在点R，使得以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形？

如果存在，求出点R的坐标；

如果不存在，请说明理由．

　　（4）在（3）的条件下，连结OR，在y轴上是否存在点M，使得△ORM为等腰三角形？

若存在，请直接写出点M的坐标．

（1）

（2）S=PQ2=5t2－8t＋4（0≤t≤1），当

时，S最小

　　（3）若以BQ为一条对角线，四边形PBRQ为平行四边形，

，在

中，

．

　　∴R在抛物线上．

　　若PB为对角线，当

　　在

中，当

，

不在抛物线上，

　　综上可知，抛物线上存在

使以P、B、Q、R为顶点的四边形是平行四边形．

　　（4）

，N4（0，－3）．

等边三角形ABC中,P是内部一点,PE//BC,PF//AC,PD//AB.试说明:

PD+PE+PF=AB.

思路：

延长FP交AB于G，通过平行容易证明PEG、BFG是等边三角形。

然后很容易证明PE=EG，PF=BE，PD=AG

PD+PE+PF=AG+EG+BE=AB.

延长FP、EP、DP、FE分别交BC、AB、AC于M、G、N

PE//BC,PF//AC,PD//AB.

∴PD=1/2BFPE=1/2DCPF=1/2AE∠B=∠FGP=60°

AG*AC=AE*AB

∴PD+PE+PF=1/2（BF+DC+AE）

∵三角形ABC是等边三角形

∴∠B=∠FGP=60°

AC=BC=AB

∴AG=AE

∴BG=EC

同理：

∠FPG=∠FMB=∠C=60°

FP=BD

∴三角形FPG是等边三角形

∴GF=FP

又∵BF=BG+GF

∴PD+PE+PF=1/2（BG+GF+AE+DC）

∴PD+PE+PF=1/2（EC+BD+AE+DC）

∴PD+PE+PF=1/2（AC+BC）

∴PD+PE+PF=1/2（2AB）

∴PD+PE+PF=AB