第14讲五年级数学最大公因数与最小公倍数 彭仁鑫 教案Word文档下载推荐.docx
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几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数。
其中最大的一个，叫做这几个数的最大公约数，例如12的约数有1、2、3、4、6、12；
18的约数有1、2、3、6、9、18。
其中，1、2、3、6是12和18的公约数，6是它们的最大公约数。
（7）公约数只有1的两个数，叫做互质数，成互质关系的两个数，有下列几种情况：
1和任何自然数互质。
相邻的两个自然数互质。
两个不同的质数互质。
当合数不是质数的倍数时，这个合数和这个质数互质。
两个合数的公约数只有1时，这两个合数互质，如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。
如果较小数是较大数的约数，那么较小数就是这两个数的最大公约数。
如果两个数是互质数，它们的最大公约数就是1。
（8）几个数公有的倍数，叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个，叫做这几个数的最小公倍数，如2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18……
3的倍数有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍数，6是它们的最小公倍数。
。
如果较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。
几个数的公约数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
二、同步题型分析
最大公因数的求法
例1、列举法:
求12和18的最大公因数
12的因数有1，2，3，4，6，12。
18的因数有1，2，3，6，9，18。
12和18的公因数有1，2，3，6。
12和18的最大公因数是6。
例2、短除法：
求42和105的最大公因数
342105
71435
25
42和105的最大公因数为：
3
7=21。
例3、分解质因数法：
求48和72的最大公因数
把48分解质因数：
48=2
2
3
把72分解质因数：
72=2
48和72的最大公因数为：
3=24
例4、辗转相除法：
求432和225的最大公因数
432÷
225=1余207
225÷
207=1余18
207÷
18=11余9
18÷
9=2
所以9就是432和225的最大公约数。
最小公倍数的求法
例1、列举法：
求6和10的最小公倍数。
先分别写出6和8各自的倍数，再从中找出公倍数和最小公倍数。
6的倍数：
6，12,18，24，30，36，42，48…
10的倍数：
10，20，30，40，50…
所以6和10的最小公倍数是30。
求56和24的最小公倍数
5624
22812
2146
73
56和24的最小公倍数是2×
2×
7×
3=168
求120和100的最小公倍数
120=2×
3×
5
100=2×
5×
[120，100]=2×
5=600
例4、多个数求最小公倍数：
求45、60和75的最小公倍数
456090
3152030
552010
2142
121
[45，60，90]=180（当除到任意两数还有公因数时，则还要继续除下去）
三、课堂达标检测
一、填空
１、30以内3的倍数有（3、6、9、12、15、18、21、24、27、30），4的倍数有（4、8、12、16、20、24、28），3和4的公倍数有（12、24），最小公倍数是（12）。
２、在12、15、36、64、450、950六个数中，是3的倍数有（ 12、15、36、450 ），是5的倍数的有（ 15、450、950 ），是2的倍数的有（ 12、36、64、450、950 ）；
是2和5的公倍数的有（450、950），是2和3的公倍数的有（12、36、450、），是3和5的公倍数的有（15、450）；
同时是2、3和5的公倍数的数是（450）。
３、18的因数有（1、2、3、6、9、18），60的因数有（1、2、3、4、5、69、10、12、15、20、30、60），18和60的公因数有（ 1、2、3、6、），最大公因数是（ 6 ）。
４、一个合数的因数至少有（3）个，例如：
（ 4、8、9、10、12 ）。
５、如果A=2×
7，B=2×
7，那么A和B的最大公因数是（ 14 ），最小公倍数是（ 210 ）。
６、用0、3、5、7四个数组成一个同时是2和5的倍数的四位数，最大是（ 7530 ），最小是（ 3570 ）。
７、要使601□既是2的倍数，又是3的倍数，那么□里可以填（ 2、5、8 ）。
二、判断
1、如果a÷
b=4（a、b为整数）那么a和b的最大公因数是4。
（×
）
2、一个数最小的倍数与它最大的因数相等。
（√）
3、任何一个自然数的因数至少有2个。
（×
4、1和任何自然数（0除外）都没有公因数。
（×
5、两个质数的最小公倍数是它们的乘积。
（√）
三、选择
1、1、2、4、8是8的（A）
A、因数 B、公因数 C、素数
2、12是（ B ）的最大公因数。
A、1和12B、12和24 C、3和4
3、一个两位数个位和十位上都是合数，并且它们的最大公因数是1，那么这两位数可能是（A）
A、49 B、59 C、69
4、a是一个质数，则a的倍数有（C）个
A、1个 B、2个 C、无数个
5、如果b是一个整数，那么2b一定是（B）
A、合数 B、偶数 C、素数
四、写出每组数的最大公因数
7和9 5和25 10和4
152
27和18 11和77 15和16
9111
五、写出每组数的最小公倍数
8和10 51和3 5和4
405120
57和19 91和7 9和1
57919
一、专题精讲
例1、一次数学竞赛均是填空题，小明答错的恰是题目总数的
，小亮答错5道题，两人都答错的题目占题目总数的
，已知小明、小亮答对的题目数超过了试题总数的一半，则他们都答对的题有多少道．
分析:
因小明答错的恰是题目总数的
，两人都答错的题目占题目总数的
，所以题目的总数应是4和6的倍数，然后根据小明、小亮答对的题目数超过了试题总数的一半，分情况进行解答。
解：
已知题目个数一定是整数．设为X
X是4和6的倍数．
且
＜5，X＜30；
有
＜X-5，X＞10；
＞5时，即X＞20时，
所以X=24；
答：
都答对的题有24-5-6+4=17。
例2、一条道路由甲村经过乙村到丙村。
已知甲、乙村相距360米，乙、丙村相距675米。
现在准备在路边裁树，要求相邻两棵树之间距离相等，并在甲、乙两村和乙、丙两村的中点都要种上树，求相邻两棵树之间的距离最多是多少米？
分析：
由于甲乙、乙丙的两村中点各要种上一棵树，所要要将360÷
2=180米、675÷
2=337.5米平均分成若干段，并且使每段的长度最长。
因为（675、360）=45，而180=360÷
2，337.5=675÷
2，所以，45÷
2=22.5，即相邻两棵树之间距离最多是22.5米。
例3、某加油站有二位员工，从今年l月1日起规定：
员工甲每工作3天后休息1天，员工乙每工作5天后休息2天，当遇到二人都休息时，必须另聘一位临时工，则今年共有多少天要聘1个时工人？
解；
甲每到4的倍数就休息，而乙每到7的倍数和比7的倍数少一天都休息．因为
4和7的最小公倍数是28，因为今年是平年，所以在28的倍数休息的日子时；
365÷
28≈15（天），而在比7的倍数少一天休息时，甲乙第一次重逢的日子是
第二十天，以后每隔28天就共同休息一天，365-20=345（天），345÷
28≈12（天）
所以甲乙两人共同休息的天数是15+12+1=28（天）
例4、一个植树小组原计划在96米长的一段土地上每隔4米栽一棵树，并且已经挖好坑。
后来改为每隔6米栽一棵树。
求重新挖树坑时可以少挖几个？
（希望杯考题）
这一段地全长96米，从一端每隔4米挖一个坑，一共要挖树坑：
96÷
4+1=25（个）
后来，改为每隔6米栽一棵树，原来挖的坑有的正好赶在6米一棵的坑位上，可不重新挖。
由于4和6的最小公倍数是12，所以从第一个坑开始，每隔12米的那个坑不必挖。
96米中有8个12米，有8个坑是已挖好的，再加上已挖好的第一个坑，一共有9个坑不必重新挖。
96÷
12+1=9（个）答：
重新挖树坑时可以少挖9个。
二、专题过关
1、用96朵红花和72朵白花做成花束，如果各花束里红花的朵数相同，白花的朵数也相同，每束花里最少有几朵花？
由题可知扎的每一束花是两种颜色的，两种颜色的花，朵数不同，故先求出最多可以扎多少束花，即求96和72的最大公约数是24，然后求出在每束中，红花至少96÷
24=4朵；
黄花至少72÷
24=3朵，继而相加得出结论．
96=2×
3，
72=2×
故96和72的最大公约数：
3=24；
24+72÷
24=7（朵）；
每束花最少有7朵；
2、一个汽车站内有两路公共汽车．甲路汽车每隔4分钟发出一辆，乙路汽车每隔6分钟发出一辆，至少每隔多少分钟，两路汽车会同时发车？
4和6的最小公倍数为12，
如果每天两车首发为同一时间的话，则两车至少每隔12分钟会同时发车。
3、有22块橡皮和33支铅笔平均分给参加劳动的同学，结果橡皮多1块，铅笔少2支，参加劳动的同学有多少名？
22-1=21，
33+2=35，
21=3×
7，
35=5×
所以21和35的最大公约数是7，即参加劳动的同学有7名．
参加劳动的同学有7名．
4、甲、乙、丙三人是朋友，他们每隔不同天数到图书馆去一次。
甲3天去一次，乙4天去一次，丙5天去一次。
有一天，他们三人恰好在图书馆相会，问至少再过多少天他们三人又在图书馆相会？
从第一次三人在图书馆相会到下一次再次相会，相隔的天数应该是3、4、5的最小公倍数。
因为3、4、5的最小公倍数是60,所以至少再过60天他们三人又在图书馆相会。
三、学法提炼
1、专题特点：
最大公因数与最小公倍数的应用。
2、解题方法：
解答与公因数或公倍的应用题，关键是先求出最大公因数或最小公倍数，然后按题意解答要求的问题。
最小公倍数的应用题，解题方法比较独特。
当有些题中所求的数不正好是已知数的最小公倍数时，我们可以通过“增加一部分”或“减少一部分”的方法，使问题转换成已知数的最小公倍数，从而求出结果。
3、注意事项：
1、在用短除计算多个数时，对其中任意两个数存在的因数都要算出，其它没有这个因数的数则原样落下。
直到剩下每两个都是互质关系。
2、在用分解质因数的方法求最大公因数时，如果有几个质因数相同，则比较两数中哪个数有该质因数的个数较少，乘较少的次数。
一、能力培养
综合题1：
可以写成哪两个分数单位的和？
18的因数有1，2，3，6，9，18，任取一对因数可得。
=
+
综合题2：
有一些画片，如果平均分给3个同学，还余1张；
如果平均分给5个同学，还余3张；
如果平均分给4个同学，则少2张．这些画片至少有多少张？
由于平均分给3个同学，还余1张则这个数减1是3的倍数；
如果平均分给5个同学，还余3张则这个数减3是5的倍数；
如果平均分给4个同学，则少2张则这个数加2是4的倍数．因此，我们可从3，4，5的最小公倍数入手来分析一下，3，4，5的最小公倍数为3×
4×
6×
=60．由于是求最小，我们可从减开始，如果平均分给4个同学，则少2张，60-2=58，58÷
3=19…1，58÷
5=11…3，所以这个数最小为58．
根据题意可知，这个数减1是3的倍数，减3是5的倍数，加2是4的倍数．
3，4，5的最小公倍数为3×
=60．
60-2=58，
58÷
3=19…1，
5=11…3，
所以这个数最小为58．
综合题3：
图中的大长方形分别由面积为12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形所组成．那么图中阴影部分的面积为多少平方厘米．
上两块面积为12+36=48平方厘米，
下两块面积为24+48=72平方厘米，
48与72的最大公约数为24，
故：
面积为12平方厘米的高为2厘米，底边长为6厘米．
面积为36平方厘米的高为2厘米，底边长为18厘米．
面积为24平方厘米的高为3厘米，底边长为8厘米．
面积为48平方厘米的高为3厘米，底边长为16厘米．
阴影部分底边长为18-16=2厘米
2÷
2+2×
3÷
2=5平方厘米
阴影部分的面积为5平方厘米．
综合题4：
有一位天文观察家，他观察一颗行星靠近地球的情况是有规律的，只要是年份数除以10余数是5，且被3、5、7、9除时，没有余数，从公元00年到公元2000年时，星球飞近多少次？
因为3、5、7、9的最小公倍数是：
9=315，
所以2000以内，3、5、7、9的公倍数有：
315、630、945、1260、1575、1890；
其中630、1260、1890是10的倍数，不符合题意；
所以公元315年、945年、1575年行星靠近地球，即共有3次．
从公元00年到公元2000年时，星球飞近3次．
二、能力点评
在实际生活中经常会遇到要运用最大公因数和最小公倍数的知识来解决的问题，做这类题的关键是要通过题目中的有关信息，理解为什么是求两个数的最大公因数或最小公倍数，掌握方法，问题就容易解决了。
求最大公因数的方法可以是集合法，对应法，列表法，分解质因数法，短除法以及辗转相除法等。
在运用找最大公因数解决问题时，并不是所有的题目都要求直接运用找最大公因数来解决，而是求出最大的公因数后，还要继续运用题目的已知条件和问题继续解答。
学法升华
一、知识收获
用集合法，对应法，列表法，分解质因数法，短除法以及辗转相除法等求几个数的最大公因数和最小公倍数。
二、方法总结
1、短除法
短除符号就是除号倒过来。
短除就是在除法中写除数的地方写两个数共有的质因数，然后落下两个数被公有质因数整除的商，之后再除，以此类推，直到结果互质为止（两个数互质）。
2、辗转相除法的实现，是基于下面的性质：
1：
（a,b）=（a,ka+b），其中a、b、k都为自然数
就是说，两个数的最大公约数，将其中一个数加到另一个数上，得到的新数组，其公约数不变，比如（4,6）=（4+6,6）=（4,6+2×
4）=2。
这里有一个比较简单的证明方法来说明这个性质：
如果p是a和ka+b的公约数，p整除a，也能整除ka+b。
那么就必定要整除b，所以p又是a和b的公约数，从而证明他们的最大公约数也是相等的。
3、分解质因数：
首先把两个数的质因数写出来，最大公因数等于它们所有相同的质因数的乘积。
三、技巧提炼
几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个公倍数，叫做这几个数的最小公倍数。
自然数a、b的最小公倍数可以记作[a、b]，当（a、b）=1时，[a、b]=a×
b。
两个数的最大公约数和最小公倍数有着下列关系：
最大公约数×
最小公倍数=两数的乘积
即（a、b）×
[a、b]=a×
b
要解答求最小公倍数的问题，关键要根据题目中的已知条件，对问题作全面的分析，若要求的数对已知条件来说，是处于被除数的地位，通过就是求最小公倍数，解题时要避免和最大公约数问题混淆。
课后作业
1、一排路灯，原来每两盏之间的距离是30米，现在改用50米，如果起点的一盏路灯不动，至少再隔多少米又有一盏不必移动？
因为30和50的最小公倍数是150，
所以至少再隔150米又有一盏不必移动；
至少再隔150米又有一盏不必移动．
2、一个长方体木块的长是4分米5厘米、宽3分米6厘米、高2分米4厘米。
要把它切成大小相等的正方体木块，不许有剩余，求所切正方体木块的棱长最长是多少厘米？
4分米5厘米＝45厘米、3分米6厘米＝36厘米、2分米4厘米＝24厘米。
45、36、24的最大公因数是3。
所以正方体木块的棱长最长是3厘米。
3、五年级三个班分别有24人、36人、42人参加体育活动，要把他们分成人数相等的小组，但各班同学不能打乱，最多每组多少人？
每班各可以分几组？
24、36、42的最大公因数是6。
所以最多每组6人。
24÷
6＝4（组）
36÷
6＝6（组）
42÷
6＝7（组）
4、两个数的最大公约数是9，最小公倍数是90，求这两个数分别是多少？
答案：
9和90或18和45
5、一块砖长20厘米，宽12厘米，厚6厘米。
要堆成正方体至少需要这样的砖头多少块？
分析把若干个长方体叠成正方体，它的棱长应是长方体长、宽、高的公倍数。
现在要求长方体砖块最少，它的棱长应是长方体长、宽、高的最小公倍数，求出正方体棱长后，再根据正方体与长方体体积之间的关系就能求出长方体砖的块数。
150块
6、甲每秒跑3米，乙每秒跑4米，丙每秒跑2米，三人沿600米的环形跑道从同一地点同时同方向跑步，经过多少时间三人又同时从出发点出发？
分析甲跑一圈需要600÷
3=200秒，乙跑一圈需要600÷
4=150秒，丙跑一圈需要600÷
2=300秒。
要使三人再次从出发点一齐出发，经过的时间一定是200、150和300的最小公倍数。
200、150和300的最小公倍数是600，所以，经过600秒后三人又同时从出发点出发。
7、两个自然数的积是360，最小公倍数是120，这两个数各是多少？
分析我们把这两个自然数称为甲数和乙数。
因为甲、乙两数的积一定等于甲、乙两数的最大公约数与最小公倍数的积。
根据这一规律，我们可以求出这两个数的最大公约数是360÷
120=3。
又因为（甲÷
3=a，乙÷
3=b）中，3×
a×
b=120，a和b一定是互质数，所以，a和b可以是1和40，也可以是5和8。
当a和b是1和40时，所求的数是3×
1=3和3×
40=120；
当a和b是5和8时，所求的数是3×
5=15和3×
8=24。
8、有一批水果，总数在1000个以内。
如果每24个装一箱，最后一箱差2个；
如果每28个装一箱，最后一箱还差2个；
如果每32个装一箱，最后一箱只有30个。
这批水果共有多少个？
分析根据题意可知，这批水果再增加2个后，每24个装一箱，每28个装一箱或每32个装一箱都能装整箱数，也就是说，只要把这批水果增加2个，就正好是24、28和32的公倍数。
我们可以先求出24、28和32的最小公倍数672，再根据“总数在1000以内”确定水果总数。
[24，28，32]=672
672－2=670（个）
即：
这批水果共有670个。
我们学过的图形有哪些？
它们各自的面积是怎么计算的？
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