高中数学最新届高考理科数学第一轮复习教案1 精Word文件下载.docx

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子集

A中任意一元素均为B中的元素

A⊆B或B⊇A

真子集

A中任意一元素均为B中的元素，且B中至少有一个元素A中没有

A

B或B

相等

集合A与集合B中的所有元素都相同

A＝B

必记结论　若集合A中有n个元素，则其子集个数为2n，真子集个数为2n－1，非空真子集的个数为2n－2.

易误提醒　易忘空集的特殊性，在写集合的子集时不要忘了空集和它本身．

2．已知集合A＝{x|x＝a＋（a2－1）i}（a∈R，i是虚数单位），若A⊆R，则a＝（　　）

A．1B．－1C．±

1D．0

A⊆R，∴a2－1＝0，a＝±

1.

C

3．已知集合A＝{1,2,3,4}，B＝{（x，y）|x∈A，y∈A，xy∈A}，则集合B的所有真子集的个数为（　　）

A．512B．256

C．255D．254

由题意知当x＝1时，y可取1,2,3,4；

当x＝2时，y可取1,2；

当x＝3时，y可取1；

当x＝4时，y可取1.综上，B中所含元素共有8个，所以其真子集有28－1＝255个．选C.

知识点三　集合的基本运算及性质

并集

交集

补集

图形表示

符号表示

A∪B＝{x|x∈A或x∈B}

A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}

∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}

性质

A∪∅＝A

A∪A＝A

A∪B＝B∪A

A∪B＝A

⇔B⊆A

A∩∅＝∅

A∩A＝A

A∩B＝B∩A

A∩B＝A

⇔A⊆B

A∪（∁UA）＝U

A∩（∁UA）＝∅

∁U（∁UA）＝A

易误提醒　运用数轴图示法易忽视端点是实心还是空心．

必记结论　∁U（A∩B）＝（∁UA）∪（∁UB），∁U（A∪B）＝（∁UA）∩（∁UB）．

4．（2015·

广州一模）已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合M＝{3,4,5}，N＝{1,2,5}，则集合{1,2}可以表示（　　）

A．M∩NB．（∁UM）∩N

C．M∩（∁UN）D．（∁UM）∩（∁UN）

M∩N＝{5}，A错误；

∁UM＝{1,2}，（∁UM）∩N＝{1,2}，B正确；

∁UN＝{3,4}，M∩（∁UN）＝{3,4}，C错误；

（∁UM）∩（∁UN）＝∅，D错误．故选B.

B

5．（2015·

长春二模）已知集合P＝{x|x≥0}，Q＝

，则P∩（∁RQ）＝（　　）

A．（－∞，2）B．（－∞，－1]

C．（－1,0）D．[0,2]

由题意可知Q＝{x|x≤－1或x>

2}，则∁RQ＝{x|－1<

x≤2}，所以P∩（∁RQ）＝{x|0≤x≤2}．故选D.

D

考点一　集合的基本概念|

1．已知集合S＝{x|3x＋a＝0}，如果1∈S，那么a的值为（　　）

A．－3B．－1

C．1D．3

∵1∈S，∴3＋a＝0，a＝－3.

2．设集合A＝{1,2,4}，集合B＝{x|x＝a＋b，a∈A，b∈A}，则集合B中的元素个数为（　　）

A．4B．5

C．6D．7

∵a∈A，b∈A，x＝a＋b，∴x＝2,3,4,5,6,8，∴B中有6个元素，故选C.

3．（2015·

贵阳期末）已知全集U＝{a1，a2，a3，a4}，集合A是集合U的恰有两个元素的子集，且满足下列三个条件：

①若a1∈A，则a2∈A；

②若a3∉A，则a2∉A；

③若a3∈A，则a4∉A.则集合A＝________.（用列举法表示）

若a1∈A，则a2∈A，则由若a3∉A，则a2∉A可知，a3∈A，假设不成立；

若a4∈A，则a3∉A，则a2∉A，则a1∉A，假设不成立，故集合A＝{a2，a3}．

{a2，a3}

判断一个元素是某个集合元素的三种方法：

列举法、特征元素法、数形结合法．

考点二　集合间的基本关系及应用|

（1）已知全集A＝{x∈N|x2＋2x－3≤0}，B＝{y|y⊆A}，则集合B中元素的个数为（　　）

A．2　　　　　　　　　B．3

C．4D．5

[解析]　依题意得，A＝{x∈N|（x＋3）（x－1）≤0}＝{x∈N|－3≤x≤1}＝{0,1}，共有22＝4个子集，因此集合B中元素的个数为4，选C.

[答案]　C

（2）已知集合M＝{x|－1<

x<

2}，N＝{x|x<

a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是（　　）

A．（2，＋∞）B．[2，＋∞）

C．（－∞，－1）D．（－∞，－1]

[解析]　依题意，由M⊆N得a≥2，即所求的实数a的取值范围是[2，＋∞），选B.

[答案]　B

1．判断两集合的关系常有两种方法

（1）化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系．

（2）用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．

2．已知两集合间的关系求参数时的两个关键点

（1）将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系．

（2）合理利用数轴、Venn图帮助分析．

1．（2015·

辽宁五校联考）设集合P＝{x|x>

1}，Q＝{x|x2－x>

0}，则下列结论正确的是（　　）

A．P⊆QB．Q⊆P

C．P＝QD．P∪Q＝R

由集合Q＝{x|x2－x>

0}，知Q＝{x|x<

0或x>

1}，所以选A.

考点三　集合的基本运算|

（1）（2015·

高考全国卷Ⅱ）已知集合A＝{－2，－1，0,1,2}，B＝{x|（x－1）（x＋2）<

0}，则A∩B＝（　　）

A．{－1,0}　　　　　　　B．{0,1}

C．{－1,0,1}D．{0,1,2}

[解析]　由于B＝{x|－2<

1}，所以A∩B＝{－1,0}．故选A.

[答案]　A

（2）（2015·

郑州期末）已知函数f（x）＝

，集合A为函数f（x）的定义域，集合B为函数f（x）的值域，则如图所示的阴影部分表示的集合为________．

[解析]　本题考查函数的定义域、值域以及集合的表示．

要使函数f（x）＝

有意义，

则2－x－1≥0，解得x≤0，

所以A＝（－∞，0]．

又函数f（x）＝

的值域B＝[0，＋∞）．

阴影部分用集合表示为∁A∪B（A∩B）＝（－∞，0）∪（0，＋∞）．

[答案]　（－∞，0）∪（0，＋∞）

集合运算问题的四种常见类型及解题策略

（1）离散型数集或抽象集合间的运算．常借助Venn图求解．

（2）连续型数集的运算．常借助数轴求解．

（3）已知集合的运算结果求集合．借助数轴或Venn图求解．

（4）根据集合运算求参数．先把符号语言译成文字语言，然后适时应用数形结合求解．

2．（2015·

高考陕西卷）设集合M＝{x|x2＝x}，N＝{x|lgx≤0}，则M∪N＝（　　）

A．[0,1]B．（0,1]

C．[0,1）D．（－∞，1]

∵M＝{x|x2＝x}＝{0,1}，N＝{x|lgx≤0}＝{x|0<

x≤1}，∴M∪N＝{x|0≤x≤1}，故选A.

考点四　集合的创新问题|

　设集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3,4,5}，定义A⊙B＝{（x，y）|x∈A∩B，y∈A∪B}，则A⊙B中元素的个数是（　　）

A．7　　　　　　　　　B．10

C．25D．52

[解析]　A∩B＝{2,3}，A∪B＝{1,2,3,4,5}，由列举法可知A⊙B＝{（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（2,5），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（3,5）}，共有10个元素，故选B.

解决集合创新问题的三个策略

（1）遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质．

（2）按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决．

（3）对于选择题，可以结合选项通过验证，用排除、对比、特值等方法求解．

3．设P和Q是两个集合，定义集合P－Q＝{x|x∈P，且x∉Q}，如果P＝{x|log2x<

1}，Q＝{x||x－2|<

1}，那么P－Q＝（　　）

A．{x|0<

1}B．{x|0<

x≤1}

C．{x|1≤x<

2}D．{x|2≤x<

3}

由log2x<

1，

得0<

2，

所以P＝{x|0<

2}；

由|x－2|<

得1<

3，

所以Q＝{x|1<

3}．

由题意，得P－Q＝{x|0<

x≤1}．

　　1.遗忘空集致误

【典例】　设全集是实数集R，A＝{x|2x2－7x＋3≤0}，B＝{x|x2＋a<

0}．若（∁RA）∩B＝B，则实数a的取值范围是________．

[解析]　∵A＝

，∴∁RA＝

，当（∁RA）∩B＝B时，B⊆∁RA即A∩B＝∅.

①当B＝∅，即a≥0时，满足B⊆∁RA；

②当B≠∅，即a<

0时，

B＝{x|－

<

}，

要使B⊆∁RA，需

≤

，

解得－

≤a<

0.

综上可得，实数a的取值范围是a≥－

.

[答案]　a≥－

[易误点评]　由∁RA∩B＝B知B⊆∁RA，即A∩B＝∅，又集合B中元素属性满足x2＋a<

0，当a≥0时B＝∅易忽视导致漏解．

[防范措施]　

（1）根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容．解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征．

（2）已知集合B，若已知A⊆B或A∩B＝∅，则考生很容易忽视A＝∅而造成漏解．在解题过程中应根据集合A分三种情况进行讨论．

[跟踪练习]　已知U＝R，集合A＝{x|x2－x－2＝0}，B＝{x|mx＋1＝0}，B∩（∁UA）＝∅，则m＝________.

A＝{－1,2}，B＝∅时，m＝0；

B＝{－1}时，m＝1；

B＝{2}时，m＝－

0,1，－

A组　考点能力演练

1．集合U＝{0,1,2,3,4}，A＝{1,2}，B＝{x∈Z|x2－5x＋4<

0}，则∁U（A∪B）＝（　　）

A．{0,1,3,4}　　　　　　B．{1,2,3}

C．{0,4}D．{0}

因为集合B＝{x∈Z|x2－5x＋4<

0}＝{2,3}，所以A∪B＝{1,2,3}，又全集U＝{0,1,2,3,4}，所以∁U（A∪B）＝{0,4}．所以选C.

2．已知集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝{x|x＝

，n∈A}，则A∩B的真子集个数为（　　）

A．5B．6

C．7D．8

由题意，得B＝{0,1，

，2}，所以A∩B＝{0,1,2}，所以A∩B的真子集个数为23－1＝7，故选C.

太原一模）已知全集U＝R，集合M＝{x|（x－1）（x＋3）<

0}，N＝{x||x|≤1}，则阴影部分表示的集合是（　　）

A．[－1,1）

B．（－3,1]

C．（－∞，－3）∪[－1，＋∞）

D．（－3，－1）

由题意可知，M＝

，N＝

，∴阴影部分表示的集合为M∩（∁UN）＝

4．集合A＝{x|x－2<

0}，B＝{x|x<

a}，若A∩B＝A，则实数a的取值范围是（　　）

A．（－∞，－2]B．[－2，＋∞）

C．（－∞，2]D．[2，＋∞）

由题意，得A＝{x|x<

2}．又因为A∩B＝A，所以a≥2，故选D.

山西质检）集合A，B满足A∪B＝{1,2}，则不同的有序集合对（A，B）共有（　　）

A．4个B．7个

C．8个D．9个

由题意可按集合A中的元素个数分类．易知集合{1,2}的子集有4个：

∅，{1}，{2}，{1,2}．若A＝∅，则B＝{1,2}；

若A＝{1}，则B＝{2}或B＝{1,2}；

若A＝{2}，则B＝{1}或B＝{1,2}；

若A＝{1,2}；

则B＝∅或B＝{1}或B＝{2}或B＝{1,2}．综上所述，不同的有序集合对（A，B）共有9个，故选D.

6．（2015·

广州模拟）设集合A＝{（x，y）|2x＋y＝6}，B＝{（x，y）|3x＋2y＝4}，满足C⊆（A∩B）的集合C的个数为________．

依题意得，A∩B＝{（8，－10）}，因此满足C⊆（A∩B）的集合C的个数是2.

2

7．设集合Sn＝{1,2,3，…，n}，若X⊆Sn，把X的所有元素的乘积称为X的容量（若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）．若X的容量为奇（偶）数，则称X为Sn的奇（偶）子集，则S4的所有奇子集的容量之和为________．

∵S4＝{1,2,3,4}，∴X＝∅，{1}，{2}，{3}，{4}，{1,2}，{1,3}，{1,4}，{2,3}，{2,4}，{3,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{2,3,4}，{1,2,3,4}．其中是奇子集的为X＝{1}，{3}，{1,3}，其容量分别为1,3,3，所以S4的所有奇子集的容量之和为7.

7

8．已知集合P＝{－1，m}，Q＝

，若P∩Q≠∅，则整数m＝________.

由{－1，m}∩

≠∅，可得－1<

m<

，由此可得整数m＝0.

9．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R，m∈R}．

（1）若A∩B＝[0,3]，求实数m的值；

（2）若A⊆∁RB，求实数m的取值范围．

解：

由已知得A＝{x|－1≤x≤3}，

B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．

（1）∵A∩B＝[0,3]，∴

∴m＝2.

（2）∁RB＝{x|x<

m－2或x>

m＋2}，∴A⊆∁RB，

∴m－2>

3或m＋2<

－1，即m>

5或m<

－3.

因此实数m的取值范围是{m|m>

－3}．

10．设全集I＝R，已知集合M＝{x|（x＋3）2≤0}，N＝{x|x2＋x－6＝0}．

（1）求（∁IM）∩N；

（2）记集合A＝（∁IM）∩N，已知集合B＝{x|a－1≤x≤5－a，a∈R}，若B∪A＝A，求实数a的取值范围．

（1）∵M＝{x|（x＋3）2≤0}＝{－3}，

N＝{x|x2＋x－6＝0}＝{－3,2}，

∴∁IM＝{x|x∈R且x≠－3}，

∴（∁IM）∩N＝{2}．

（2）由

（1）知A＝（∁IM）∩N＝{2}，

∵A∪B＝A，∴B⊆A，∴B＝∅或B＝{2}，

当B＝∅时，a－1>

5－a，∴a>

3；

当B＝{2}时，

解得a＝3，

综上所述，实数a的取值范围为{a|a≥3}．

B组　高考题型专练

1．（2014·

高考课标全国卷Ⅰ）已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x<

2}，则A∩B＝（　　）

A．[－2，－1]B．[－1,2）

C．[－1,1]D．[1,2）

由不等式x2－2x－3≥0解得x≥3或x≤－1，因此集合A＝{x|x≤－1或x≥3}，又集合B＝{x|－2≤x<

2}，所以A∩B＝{x|－2≤x≤－1}，故选A.

2．（2014·

高考课标全国卷Ⅱ）设集合M＝{0,1,2}，N＝{x|x2－3x＋2≤0}，则M∩N＝（　　）

A．{1}B．{2}

C．{0,1}D．{1,2}

由已知得N＝{x|1≤x≤2}，∵M＝{0,1,2}，∴M∩N＝{1,2}，故选D.

高考全国卷Ⅰ）已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6,8,10,12,14}，则集合A∩B中元素的个数为（　　）

A．5B．4

C．3D．2

集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，当n＝0时，3n＋2＝2，当n＝1时，3n＋2＝5，当n＝2时，3n＋2＝8，当n＝3时，3n＋2＝11，当n＝4时，3n＋2＝14，∵B＝{6,8,10,12,14}，∴A∩B中元素的个数为2，选D.

高考福建卷）若集合A＝{i，i2，i3，i4}（i是虚数单位），B＝{1，－1}，则A∩B等于（　　）

A．{－1}B．{1}

C．{1，－1}D．∅

因为A＝{i，－1，－i,1}，B＝{1，－1}，所以A∩B＝{1，－1}，故选C.

高考浙江卷）已知集合P＝{x|x2－2x≥0}，Q＝{x|1<

x≤2}，则（∁RP）∩Q＝（　　）

A．[0,1）B．（0,2]

C．（1,2）D．[1,2]

∁RP＝{x|0<

2}，故（∁RP）∩Q＝{x|1<

2}．

高考重庆卷）已知集合A＝{1,2,3}，B＝{2,3}，则（　　）

A．A＝BB．A∩B＝∅

C．ABD．BA

由真子集的概念知BA，故选D.