土木工程力学本期末复习指导docxWord格式.docx
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3）力法的典型方程。
根据棊本体系在沿多余未知力方向的位移应少原结构一致的条件,建立•多余约束力数目相同的典型方程（线性代数方程）：
^wx\+岔2也++几X”+」=0,
+322X2++8lnXn+A2P=0,
氏兀+戈2X2+……+氏”圮+△”严0
式屮X,、氏、△沪——分别为多余约束力（基本未知量）、系数和荷载引起的自由项。
求出式的系数和口由项后，就町联立求解出未知量。
然后就不难作出内力图。
常用的力法方程：
"
Ki+.p
A=xQll+兀2力12+4"
=°
*
=X1^21+兀。
〃22+4。
/）—0
吊：
基木结构单独受亏=1作用时，在心作用点处，沿兀方向的位移
斗:
基本结构单独受荷载作用时，在兀作用点处，沿曲方向的位移
如果是梁和刚架，计算时可以不考虑剪力和轴力对位移的影响，只考虑弯矩的影响。
可用图乘法
—2——
Mud=l单独作用时的弯矩。
Mj:
xj=1单独作用时的弯矩。
叫：
荷载单独作用时的弯矩。
由力法方程求出兀曲=1,2）,再按静定结构的分析方法求出原结构的内力和支座反力。
町由叠加公式求M.
M=xxM\+x2M2+Mp
力法典型方程的物理意义：
基木结构在全部多余约束力作用下，在多余约束力的作用点和方向的位移，等于原结构相应的位移。
2•力法的解题步骤：
去掉多余约束，将原结构变成静定结构，用多余力代替多余约束；
按位移条件建立力法方程（沿多余力方向的位移）；
作单位弯矩图和荷载弯矩图；
将外,為,代入力法方程，求"
，
川弯矩普加公式求控制截面弯矩；
绘弯矩图。
3•例题
例1.如图9所示两次超静定结构，绘弯矩图。
解：
10kN/n
基木结构
211?
»
=——（2x4x2+-x-x2x2x-x2）
El223
—（16+-）
El3
104
3^7
21?
^22=^7（2X4X4X3>
<
4）
128
El
=°
兀诂（*>
4x2x80）
640
3EI
△2°
^（lx4x80xlx4）
320
~eT
^\\x\+〃12兀2=（）
^2lx\+爲2兀2+厶2卫=0
求解上述方程得：
80
15
代入叠加公式得:
心2•「韵“2.3E
MD--l3.3kN.rn
M图
例2作所示组台結构I受弯杆的轨图，M求一.丿卅的轴力。
（b）基木体系
组合结构屮受弯杆既可承受弯矩、也可承受剪力、轴力，二力杆则只承受轴力。
解
（1）这是一个一次超静定结构，
（2）写岀力法方程
⑶岐系数及自由项_画出乔I和Mp图。
并易知万ni=1,
选収（b）所示的基本体系。
兀+九=0
Fnp=0o
（a）见图
系数和自由项分别为
Fn//
（b）屁图
恥工音+羽净2
2/
3[qP
/卩
1
EXA3E1
3
/1fl7727
+———/x/x—xZE、AEl[2「
apFn/Fnp，匸fM/Mp1亠t-彳.
AIn=y+yIds=O+x/x-—x-x/=-—
pESJEl
（4）解力法方程，求出基本未知量
将久、代入第⑵步写出的力法方程，得
£
7（3
Q/4
SEI
/厂）
[E.A3EI）
解方程，得
8EI
丄+上
帀3EI
（5）作弯矩图、轴力图
多余未知力杏岀后，可按叠加原理确定控制截面的弯矩值，再进一步作出弯矩图。
由式：
M=MiX}+MV
N=瓦X、+Np
知Mba=0
E、A3EI
迺〒+必（上侧受拉）
轴力图也易作出。
^/SEIq卩
-qP/SEI
（a）M图
1/E/+/2/3E/
（b）Fn图
4•对称结构
（1）奇数跨对称结构
①对称荷载作用下的半边刚架选取
由于@）所示的单跨对称刚架，在对称荷载作用下变形是对称的。
因而在刚架对称轴上的截面C处，不可能产生水平位移，也不可能产生转和，但可以产生竖向位移。
同时我们知道，在对称荷载作用下，对称轴截面C上只有对称内力——弯矩/和轴力*2,而反对称内力——剪力*3等于零。
因此，从对称轴位置切开取半边结构计算时，对称轴截面C处的支廉应取为滑动支座.计算简图如b）所示，原结构由三次超静定结构简化为两次超静定结构。
（小原结构
（b）半边刚架
②反对称荷载作用下的半边刚架的选取
由于（a）所示的单跨对称刚架，在反对称荷载作用下变形是反对称的。
因而在刚架对称轴上的截而C处，不可能产生竖向位移，但可以产生水平位移和转角。
同时我们知道，在反对称荷载作用下，对称轴截而C上只有反对称内力一一剪力*3,而对称内力——弯矩尤和轴力*2等于零。
因此，从对称轴位置切开収半边结构计算吋，对称轴截而C处的支座应取为竖向链杆支座。
计算简图如（b）所示，原结构由三次超静定结构简化为一次超静定结构。
（a）原结构（b）半边刚架
（2）偶数跨对称结构——以两跨对称刚架为例
①对称荷载作用K的半边刚架的选取
由于对称结构在对称荷载作用下对称轴截面上，不町能产生水平位移，也不可能产生转角，但对以产生竖向位移。
而对于（a）所示的两跨对称刚架，对称轴上有与基础直接相连的立柱CD限制了C点的竖向位移，当忽略柱CD的轴向变形（对受弯杆通常都忽略其轴向变形）时，C点的竖向位移等于零。
另外，由对称结构对称荷载作用下内力是对称的性质可知,立柱CQ上没冇弯矩和剪力，只冇轴力。
根据上述变形和受力分析、当忽略立柱CQ的轴向变形时，沿对称轴切开取半边结构计算时，C端应取为固定支朋。
计算简图如（b）所示，原结构由六次超静定结构简化为三次超静定结构。
止皿丽」丄叫
C
（a）原结构
由于@）所示对称结构在反对称荷载作用下对称轴截面上，不可能产生竖向位移，但可以产生水平位移和转角，因而立柱CQ将会产生弯曲变形。
另外，由对称结构反对称荷载作用下内力是反对称的性质可知，立柱CD上有弯矩和剪力，但无轴力。
如果将立柱CD沿对称轴切开，即将立林CD分成两根位于对称轴两侧而抗弯刚度各为原立柱的一半的分林，则一个偶数跨（两跨）对称刚架的问题，就变为奇数痢會勺稱喋问题（c）,即在两根分柱Z间增加-•跨（但跨度为零），根据奇数跨对称刚架的知识，选取的半边结构如（d）所示。
由于通常都忽略受弯杆的轴向变形，因此，半边结构通常按（b）选取。
原结构由六次超静定结构简化为三次超静定结构（但应注意分柱的抗弯刚度为原立柱的一半）。
⑹
（c）
（d）
注意：
立柱CD为两根分柱内力之和，由于两根分柱的弯矩、剪力完全相同，因此立柱CD的敲终实际的弯矩、明力分别等于分柱弯矩、剪力的两倍。
乂由于两根分柱的轴力虽然绝对值相等但符号和反，因此立柱CD的最终实际的轴力等于零。
另外，半边结构取出Z后，可以川任何适宜的方法对其进行计算。
当得出半边结构的内力图后。
就可根据内力图图形的对称关系血出另一侧半边结构的内力图，从而得到原结构的内力图。
5.力法复习重点
1.熟练掌握超静定次数的判断方法。
2.理解力法的基本思路，基本未知量的确定，力法方程的建立，以及力法典空方程中系数和白由项的意义。
3.熟练掌握用力法计算一次或两次超静定结构（梁、刚架、桁架、组合结构）
步骤：
（1）确定超静定次数和基本未知量；
（2）根据基本未知量处的变形与原结构相等的条件建立力法方程；
△]=+5[2兀2+=0
A-,=力21兀1+^22X2+—0
（3）分别作岀基本体系在单位力作用下的内力图和荷载作用下的内力图，计算系数和自由项；
（4）解方程，求岀多余未知力X|、X2；
（5）利用叠加原理作弯矩图。
4.理解对称结构在对称荷载和反对称荷载作用下变形和内力的特点。
掌握对称结构简化计算的两种方法：
（1）选取对称的基本休系，将基本未知量分解为对称和反对称；
（2）采用半结构计算。
6•例题与练习：
教材例题：
例2.2例2.3例2.4
教材习题2.1（a）（b）（c）（d）2.6；
2.10；
2.19;
2.23
三、位移法
1.位移法基本理论
•位移法前提假设：
受弯的杆件变形后两端的距离不变。
•位移法基本未知量刚结点角位移和独立的结点线位移。
角位移确定的方法--般是：
结构的刚结点个数即为角位移个数；
线位移确定的方法一•般是：
把结构所有刚结点和固定支座均换成饺，为使该钱结体系几何不变所需附加的授少连杆数即为原结构的独立的结点线位移个数。
两者之和即为总的结点位移个数。
图1所示结构里只有一个结点位移，即结点A的角位移，因此用位移法解题吋只有一个未知量。
图2所示结构里刚性杆木身不变形，刚性杆两端的刚结点位移口J以不作为棊木未知量。
结点A、B、C的水平线位移相等，因此用位移法解题时只有一个耒知量。
////
►
6m
/////
L
77/
8m
Z//
8n
V/
P
10KNA匚Ii二8B口1二R匚
图11
图10
•位移法基木体系
常用附加约束法来建立。
在选定结点角位移的刚结点处附加一个仅能控制转动而不能控制移动的刚特，在选定独立的结点线位移处附加一个仅能控制移动而不能控制转动的连杆，如此所得的使原结构成为单跨超静定梁系的附加约束结构，即为位移法的慕木体系。
在原结构中加入附加约束使它变成若干根超静定梁的组合体。
在图1（）中加入附加刚臂，使它变成两根两端固支超静定梁的组合体。
如图12所示。
在图11小加入附加链杆，使它变成五根两端固支超静定梁的组合体。
如图13所示。
图12中的平衡条件是：
7?
=0,其中R、是结点A处的附加刚臂对结点A的约束力矩。
图13小的平衡条件是：
R、=0,其中R、是结点C处的附加链杆对结点A的约束力。
•位移法方程
根据力的平衡条件建立位移法方程:
仆]+R、p=R}=0
2.用位移法求解具有一个结点位移的超静定梁的解题步骤:
•确定基木未知量
基本未知最是结点如位移或线位移可。
•确定基本体系在原结构的基木未知量处加相应的附加约束，约束结点角位移或线位移，使原结构变成若干根单跨超静泄梁的组合体。
•建立位移法方程
根据附加约束处的力平衡条件，山叠加原理得出位移法方程。
rllzl+R、p=7?
|=0
•计算位移法方程的系数和自由项。
•求解方程，得基本未知量
•绘弯矩图
采用弯矩叠加公式：
M-M\z{+MP
3•用位移法计算具有两个结点位移的结构
用位移法计算具有两个结点位移的结构时，需要加两个附加约束。
相应的力平衡条件也有两个，可建立两个位移法方程。
计算步骤如下：
•确定基本未知量
基本未知量是结点角位移或线位移Z］、Z20
•确定基本体系
在原结构的基本未知量处加相应的附加约束，约束结点角位移或线位移，使原结构变成若干根单跨超静定梁的组合体。
根据附加约束处的力平衡条件，由廉加原理得出位移法方程。
因为有两个结点位移，所以相应的位移法方程也有两个。
q]Z]+r12Z2+R\p-人1
p—
•计算位移法方程的系数rH,r12,厂2i，电和口由项R'
pg。
•求解方程，得基本未知量Z|、Z2o
M=M\zx+M2Z2+MP
位移法
结点位移
4.位移法和力法的比较
力法
未知量多余力
基木结构静定结构加入约束，变成若干个单跨超静定梁的组合体
条件变形协调条件力平衡条件
方程力法方程位移法方程
5举例
例1.如图14所示，绘弯矩图。
（具有一个结点位移结构的计算）
结点A、B、C冇相同的线位移，因此只冇一个未知量。
1）建立基本结构如图15所示。
2）列岀力法方程
rwz\+R】p=°
3）由力的平衡方程求系数和自由项（图16、17）
cElEI
11186
R、p=-1（）
4）求解位移法方程得：
60
r_El
5）用弯矩叠加公式得：
图14
EI
~6
ABC#
M-M\zx+MP
图15基本结构
Rip
EL/18
图16
图17
A10B10Cio
6kN/n
16KN
图20
只冇一个结点角位移。
1）建立基本结构如图21所示。
2）位移法方程：
3）画出岡图，如图22,23,
根据节点力矩平衡（图24）,求得
R、p=-U）KN.m
将6和知代入位移法方程得:
20
G=
4）弯短叠加方程:
MfZ]+MP
得：
固端弯矩
wEl20°
23£
7
-10
=——+8=4・67KN・m
刚结点处弯矩
Mr=EI—+^”3EI
=14.67AJVm5）画出弯矩图如图25所示。
18
图24
图25M
2）利川结点处的力平衡条件建立位移法方程:
lOkN/m
JL
3m
例3用位移法计算图26示结构，并做弯矩图。
EI为常数。
（具冇两个结点位移结构的计算）解：
1）此结构有两个结点位移，即结点B的角位移及结点E的水平线位移。
在结点B及结点E处加两个附加约朿，如图27所示。
此时原结构变成四根超静定杆的组合体。
厂]]Z]+^12^2+R\p=&
厂21Z]+厂22Z2+Rqp=Rj=0
3）做Mi图、M2图及荷载弯矩图Mp图，求各系数及白由项。
图26
Qi
3i
7i
4i
7777
6i
rH二37+47+37=10/
127+3，15/
R\p=o
3ql_9q
8-8
—o-c
77^7
图29
90
~8
将求得的各系数及自rh项代入位移法方程
O-C
12i
图31Mp
图3（）
Z1=5331El
图32M
Z2=26.64/£
4）弯矩叠加公式为：
M=A/]Z]4-M2Z2+Mp
=20.13kN.m
利用弯矩叠加公式求得各控制截面弯矩为:
MD=（-2i）Zl+yZ2
Mcd=4/Z,-yZ2=—lO・66«
N必
Mcb=（-37）Z1=—5.33kN•m
Mce=3iZ}=533kNm
6•位移复习重点：
1.掌握位移法基本未知虽——结点角位移和独立结点线位移数II的确定方法。
理解在选取基木未知最时满足了结构变形连续条件。
掌握位移法基本体系的形成，它与原结构的区别。
2.理解位移法方程就是平衡方程的道理。
对应于结点角位移的是结点力矩平衡方程，对应于结点线位移是截而力的平衡方程。
3.熟练掌握用位移法计算在荷载作用下一个或两个基本未知屋的超静定梁和刚架的内力，并绘制M图。
其基本步骤为：
（1）确定基本未知量，即定结构的结点角位移和独立结点线位移；
（2）确定基本体系，即在原结构上有基本未知量处，施加相应的抵抗转动的约束或支杆等附加约束；
（3）建立位移法方程，即根据基木体系在荷载和结点位移共同作用下在附加约束处的约束力为零的条件建立位移法方程；
（4）计算位移法方程的系数和白由项；
（作基木体系在单位结点位移单独作用下的雨：
图，由平衡条件计算方程的系数；
作基本体系在荷载单独作用下的Mp图，由平衡条件计算方程的自由项。
）
（5）解方程，计算基本未知量；
（6）作内力图。
4.掌握位移法计算对称性结构的简化计算。
5.熟记常用的形常数和载常数。
7.例题与练习：
教材习题3.11；
3.16
教材例题:
例3.2
四、力矩分配法
力炖分配法是以为基础的。
力矩分配法适用于计算无结点线位移的超静定梁和刚架。
（一）力矩分配法的基本运算
1.三个基本概念
（1）转动刚度:
M叮Sqi
S\k：
lk杆的1端产生单位转角时，在该端所
需作用的弯矩。
（2）分配系数：
Mlk=
（i）“皿:
当结点i处作用有单位力偶吋，分配给ik杆的1端的力矩。
（3）传递系数：
Mkx=CikM]kCq当杆件近端发生转角时，矩的比值。
当单位力偶作用在结点1配给各杆的近端为近端弯愆；
弯矩乘以传递系数。
2.一个基本运算：
如图所示，
（1）各杆的转动刚度为：
512=2/）2，S]3=4»
3，
（2）各杆的力矩分配系数为：
远端弯炬与近端弯
时，按分配系数分远端弯愆等于近端
基本运算
Sp
/Z,2=ztr,
（i）
（1）
（3）分配给各杆的分配力矩即近端弯矩为:
（I）
（4）各杆的传递系数为：
c
MS
工几
V
°
12
CI4=-1
（5）各杆的传递弯矩即远端弯矩为：
MC2\=c12mI2=o,
MC4\
（二）具有一个结点角位移结构的计算
（1）加约束：
在刚结点i处加一附加刚臂，求出固端弯矩，再求出附加刚臂给结点的约
束力矩o
（2）放松约束：
为消掉约束力矩,力W-M/,求出各杆端弯矩。
（3）合并：
将上两种情况相加。
固端弯矩+分配弯矩二近端弯矩
I古I端弯矩+传递弯矩二远端弯矩
（3）用力矩分配法解连续梁和刚架
1•掌握力矩分配法中正负号规定。
理解转动刚度、分配系数、传递系数概念的物理意义；
掌握它们的取值。
能够根据远端的不同支承条件熟练地写出各种情形的杆端转动刚度、向远端的传递系数，并计算分配系数。
2.通过单结点的力矩分祀法，理解力短分配法的物理意义，学握力短分配法的主要环节：
（1）固定刚结点。
对刚结点施加阻止转动的约朿，根据荷载，计算各杆的固端弯矩和结点的约束力矩；
（2）放松刚结点。
根据各杆的转动刚度，计算分配系数，将结点的约束力矩相反值乘以分配系数，得各杆的分配弯矩；
（3）将各杆端的分配弯矩乘以传递系数，得各杆远端的传递弯矩。
3.熟练掌握多结点力矩分配计算连续梁和无结点线位移的超静定刚架，其计算步骤为:
（1）计算结点上各杆的转动刚度和各结点的分配系数；
（2）锁住各结点，计算各杆的固端弯矩；
（3）进行力矩分配与传递，二至三轮后，分配、传递结束；
（4）叠加杆端所有弯矩（固端弯矩，历次的分配弯矩和传递弯矩），得到最后的杆端弯矩;
（5）画内力图。
力愆分配法计算超静定结构的要求是：
能够熟练地用力矩分配法计算荷载作用卞，一至三个结点的连续梁和无结点线位移的刚架，并绘制内力图。
对于有悬臂端的情况，应掌握其计算特点。
（4）例题
川力矩分配法计算无结点线位移的刚架
例1.用力矩分配法计算所示刚架，并绘制弯矩图。
解
（1）计算转动刚度、分配系数和固端弯矩。
FI
SBA=4iBA=4x—=2EI,
FJ
2EI
"
加=^S=2EI+2EI+EI=°
，4
B
“=—
B1）工s2EI+2EI+EI
E1
~°
4'
欣-2EI+2E1+EI~°
2
=10kN・m
AB1212
=-10kN・m
SBC-lBC--EI/
40x2
8
=-10kNm
g=30kN/m
家叫
40kN
Lcw
26
（a）刚架
结点
A
D
杆端
AB
BA
BD
BC
CB
DB
分配系数
0.4
0.2
10
-30
分配弯矩传递弯矩
4
-4
最后杆端弯矩
IS
g
=26
-14
⑵计算各杆的杆端弯矩
（b）弯矩图（kN・m）
伸位：
kN-m）
（3）绘制弯矩图
例2用力矩分配法计算所示刚架的力矩
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