新教材人教版必修第一册 34 力的合成和分解 学案Word格式.docx

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知识点3　矢量和标量

1．矢量：

既有大小又有方向，相加时遵从__平行四边形定则__的物理量。

2．标量：

只有大小，没有方向，相加时遵从__算术法则__的物理量。

预习自测　　

『判一判』

（1）两个力的合力一定等于这两个力的代数和。

（　×

　）

（2）两个力的合力一定大于其中任意一个力的大小。

（3）两个力的合力的方向可能与两个分力的方向都不相同。

（　√　）

（4）分力与合力是同时作用在物体上的。

（5）将一个已知力进行分解，得到的分力是唯一的。

（6）矢量与标量的本质区别是它们的运算方法不同。

『选一选』　如图所示，吊环运动员在体操比赛过程的四个静止动作中，两侧吊绳所受拉力最小的是（　D　）

　解析：

两侧拉力的合力大小等于人的重力，由力的合成法则知，两侧绳的夹角越小，其吊绳所受拉力越小，故选D。

『想一想』

我们不可能直接用双手把一段圆木掰成两半，但若我们使用斧子，就很容易将圆木向两边劈开（如图）。

仔细观察你会发现，斧子的横截面就像是两个背靠背黏合在一起的斜面。

斧子这种独特的形状能够将一个较小的力分解成两个较大的分力。

想一想，这是什么原因呢？

解析：

当合力一定时，分力的大小和方向将随着分力间夹角的改变而改变。

两个分力间的夹角越大，分力也就越大（如图）。

　刀、斧等工具正是利用了这一道理。

将刀斧的刃做薄，使其锋利；

将其背适当做厚，使劈开物体的分力之间的夹角较大，产生的分力也就越大。

课内互动探究

细研深究·

破疑解难　

探究　合力与分力

┃┃情境导入__■

如图所示是大家都很熟悉的“曹冲称象”的故事。

图中曹冲根据什么得到大象和船上石头的重力相等？

其中包含什么思想方法？

请你结合生活经验再举一个相似的例子。

提示：

在船的吃水线相同的情况下，一头大象的重力与一堆石头的重力相当。

其中包含了等效替代的思想方法，即一头大象和一堆石头的作用效果相同。

结合生活经验举例：

一桶水可以由一个成年人单独提起，也可以由两个小孩共同提起。

两个小孩对水桶的作用效果与一个成年人对水桶的作用效果相同。

┃┃要点提炼__■

1．合力与分力的相关性

2．合力与分力间的大小关系

当两分力F1、F2大小一定时

（1）两力同向时合力最大：

F＝F1＋F2，方向与两力同向；

（2）两力方向相反时，合力最小：

F＝|F1－F2|，方向与两力中较大的力同向。

（3）两力夹角为θ时，如图，合力随θ的增大而减小，合力大小的范围是：

|F1－F2|≤F≤F1＋F2。

┃┃典例剖析__■

典题1　关于合力与其两个分力的关系，正确的是（　D　）

A．合力与分力同时作用在物体上

B．合力的大小随两分力夹角的增大而增大

C．合力的大小一定大于任意一个分力

D．合力的大小可能大于大的分力，也可能小于小的分力

思路引导：

解答本题时需要把握以下两点：

（1）合力与分力作用效果相同，但不同时作用在物体上；

（2）合力与分力遵循平行四边形定则。

合力与分力的作用效果相同，它们并不是同时作用在物体上，选项A错误；

根据平行四边形定则可知：

两个共点力的合力的大小不一定大于小的分力，如下图甲，也不一定小于大的分力，如下图乙；

合力的大小也不随夹角的增大而增大如下图丙；

并且也不一定大于任意一个分力。

故D正确，B、C错误。

思维升华：

①合力与分力是等效替代关系，对物体进行受力分析时，不能同时分析合力与分力。

②合力可能大于某一分力，可能小于某一分力，也可能与某一分力大小相等。

┃┃对点训练__■

1．（多选）（2019·

陕西省汉滨区高一上学期期中）如图，一个大人单独提起一桶水和两个小孩共同提起同一桶水，则下列说法正确的是（　AD　）

A．大人的拉力可以看作两个小孩拉力的合力

B．大人拉力一定等于两个小孩拉力大小之和

C．两个小孩两手臂夹角θ越大，则拉力越小

D．两个小孩两手臂夹角θ越大，则拉力越大

大人的拉力与两小孩的拉力效果相同，A正确；

由共点力的合成法则知合力一定，夹角越大，分力越大，故B、C错误，D正确。

探究　求合力的方法

两人同拉（或推）一辆车如下图所示，每人用力的大小都是100N，车受到的合力一定是200N吗？

不一定。

两个力的合力应根据平行四边形定则，用作图或者计算的方法求得。

1．作图法

根据平行四边形定则用作图工具作出平行四边形，然后用测量工具测量出合力的大小、方向，具体操作流程如下：

2．计算法

可以根据平行四边形定则作出分力及合力的示意图，然后由几何知识求解对角线，即为合力。

以下为求合力的两种特殊情况：

类型

作图

合力的计算

两分力相

互垂直

大小：

F＝

方向：

tanθ＝

两分力等大，

夹角为θ

F＝2F1cos

F与F1夹角为

（当θ＝120°

时，F1＝F2＝F）

特别提醒

（1）在力的合成中分力是实际存在的，每一个分力都有对应的施力物体，而合力没有与之对应的施力物体。

（2）合力为各分力的矢量和，合力可以大于两个分力中的任何一个力，也可以小于两分力中的任何一个力，还有可能和分力大小相等。

典题2　（2019·

山东省德州市高一上学期检测）2018年10月23日通车的港珠澳大桥是一座跨海大桥，连接香港大屿山、澳门半岛和广东省珠海市，全长为49.968千米，主体工程“海中桥隧”长35.578千米，其中海底隧道长约6.75千米，桥梁长约29千米。

桥梁采用斜拉索式，假设斜拉桥中一对钢索与竖直方向的夹角是30°

，如图乙所示，每根钢索中的拉力都是3×

104牛，那么它们对塔柱形成的合力有多大？

方向如何？

本题可用作图法或计算法求解。

（1）作图法简单、直观，是物理学中常用的方法之一，但不够精确。

（2）在应用计算法时，要画出力的合成的示意图。

（3）两力夹角为特殊角（如120°

、90°

等）时，应用计算法求合力更简单。

把两根钢索的拉力看成沿钢索方向的两个分力，以它们为邻边画出一个平行四边形，其对角线就表示它们的合力。

由对称性可知，合力方向一定沿塔柱竖直向下。

下面用两种方法计算这个合力的大小：

解法一：

作图法

如下图甲所示，自O点引两根有向线段OA和OB，它们跟竖直方向的夹角都为30°

。

取单位长度为1×

104N，则OA和OB的长度都是3个单位长度，作出平行四边形和对角线OC。

量得对角线OC长为5.2个单位长度，所以合力的大小为F＝5.2×

1×

104N＝5.2×

104N。

解法二：

计算法

根据这个平行四边形是一个菱形的特点，如图乙所示，连接AB，交OC于D，则AB与OC互相垂直平分，即AB垂直于OC，且AD＝DB、OD＝

OC，考虑直角三角形AOD，其∠AOD＝30°

，而OD＝OC/2，则有F＝2F1cos30°

＝2×

3×

104×

N≈5.2×

答案：

5.2×

104N　方向竖直向下

（1）作图时，合力、分力要共点，实线、虚线要分清，标度要唯一且适当。

（2）作图法和计算法均为矢量运算的通用方法。

2．如图所示，两个人共同用力将一个牌匾拉上墙头。

其中一人用了450N的拉力，另一个人用了600N的拉力，如果这两个人所用拉力的夹角是90°

，求它们的合力。

750N，与较小拉力的夹角为53°

1.作图法

如图所示，设定单位长度表示150N的力，用一个点O代表牌匾，两拉力之间的夹角为90°

，依题意作出力的平行四边形。

用刻度尺量出平行四边形的对角线长为图示线段的5倍，故合力大小为F＝150×

5N＝750N，用量角器量出合力F与F1的夹角θ＝53°

设F1＝450N，F2＝600N，合力为F。

由于F1与F2间的夹角为90°

，根据勾股定理得

N＝750N

合力F与F1的夹角θ的正切tanθ＝

＝

所以θ＝53°

探究　力的分解（效果分解法）

如图所示，取一根细线，将细线的一端系在左手中指上，另一端系上一个重物。

用一支铅笔的一端顶在细线上的某一点，使铅笔保持水平，铅笔的另一端置于手掌心，细线的下段竖直向下。

重物竖直向下拉细线的力产生什么作用效果？

重物竖直向下拉细线的力会产生两个效果：

沿着上边斜线方向斜向下拉紧细线，沿着铅笔方向向左压紧铅笔。

1．力的效果分解法的一般思路

2．常见实例分析

实例

产生效果分析

拉力F一方面要使物体沿水平地面前进，另一方面向上提物体，因此拉力F可分解为水平向前的力F1和竖直向上的力F2

物体的重力产生两个效果：

一是使物体具有沿斜面下滑趋势的分力F1；

二是使物体压紧斜面的分力F2，F1＝mgsinα，F2＝mgcosα

球的重力产生两个效果：

一是使球压紧板的分力F1；

二是使球压紧斜面的分力F2。

F1＝mgtanα，F2＝

一是使球压紧竖直墙壁的分力F1；

二是使球拉紧悬线的分力F2。

一是使物体拉紧AO线的分力F1；

二是使物体拉紧BO线的分力F2。

F1＝F2＝

质量为m的物体被支架悬挂而静止，其重力产生两个效果：

一是拉伸AB的分力F1；

二是压缩BC的分力F2。

典题3　如下图所示，重力为G的物体放在倾角为α的光滑斜面上，分别被垂直斜面的挡板（如甲图）和竖直放置的挡板（如乙图）挡住。

根据力的作用效果，试对两个图中物体的重力进行分解，作出示意图，并求出两分力的大小。

对一个确定的物体所受的力进行分解时，应考虑实际效果，进行有意义的分解。

本题中由于挡板的方位不同，重力产生的两个分力的方向也不同。

要注意根据力的实际作用效果确定两个分力的方向。

分解示意图如图所示，甲图中两分力大小分别为

G1＝Gsinα，G2＝Gcosα

乙图中两分力大小分别为G1′＝Gtanα，G2′＝

按力的作用效果分解时，准确确定两个分力的方向是关键，作出平行四边形后常用三角函数、相似三角形等数学知识求解。

3．（2019·

上海交通大学附中高一上学期期末）下图中按力的作用效果分解正确的是（　A　）

按力的作用效果分解如图

（1）

（2）（3）（4）所示，故选A。

探究　力的分解（正交分解法）

如图所示，人拉物块向前加速运动，请思考：

（1）物块受几个力？

根据平行四边形定则求这几个力的合力简便吗？

（2）用正交分解法求合力时，如何建立坐标系让计算时简单？

（1）物块受到重力、支持力、摩擦力以及拉力四个力的作用。

用平行四边形定则求合力的话，会很烦琐。

（2）建立坐标系时，应使尽可能多的力与坐标轴重合。

1．定义：

在许多情况下，根据力的实际作用效果，我们可以把一个力分解为两个相互垂直的分力。

把力沿着两个选定的互相垂直的方向分解，叫力的正交分解法。

2．适用情况：

适用于计算三个或三个以上力的合成。

3．步骤：

（1）建立坐标系：

以共点力的作用点为坐标原点，直角坐标系x轴和y轴的选择应使尽量多的力在坐标轴上。

（2）正交

分解各力：

将每一个不在坐标轴上的力分解到x轴和y轴上，并在图上注明，用符号Fx和Fy表示，如图所示。

（3）在图上标出力与x轴或力与y轴的夹角，然后列出Fx、Fy的数学表达式，与两轴重合的力不需要分解。

（4）分别求出x轴、y轴上各力的分力的合力，即：

Fx＝F1x＋F2x＋…

Fy＝F1y＋F2y＋…

（5）求共点力的合力：

合力大小F＝

，合力的方向与x轴的夹角为α，则tanα＝

，即α＝arctan

典题4　在同一平面内共点的四个力F1、F2、F3、F4的大小依次为19N、40N、30N和15N，方向如图所示，求它们的合力。

应用正交分解将各力先分解，再合成，在建立坐标系时尽量使各力与坐标轴的夹角为特殊角。

本题若连续运用平行四边形定则求解，需解多个斜三角形，一次又一次确定合力的大小和方向，计算过程十分复杂。

为此，可采用力的正交分解法求解此题。

如图甲建立直角坐标系，把各个力分解到两个坐标轴上，并求出x轴和y轴上的合力Fx和Fy，有

Fx＝F1＋F2cos37°

－F3cos37°

＝27N

Fy＝F2sin37°

＋F3sin37°

－F4＝27N

因此，如图乙所示，合力

≈27

N　tanφ＝

＝1

即合力的大小为27

N，方向与F1夹角为45°

斜向上。

合力的大小为27

（1）建立坐标系之前，要对物体进行受力分析，画出各力的示意图，一般各力的作用点都移到物体的重心上。

（2）建立坐标系的原则：

使尽量多的力落在坐标轴上，尽量减少分解力的个数。

4．（多选）如图所示，重为G的小孩沿斜面匀速滑下，小孩受力如图所示，这些力之间的大小关系是（　ABD　）

A．N＝Gcosθ

B．f＝Gsinθ

C．f＋N＝G

D．G2＝N2＋f2

将重力G沿平行于斜面和垂直于斜面两个方向正交分解如图所示，则N＝G2＝Gcosθ，A对；

f＝G1＝Gsinθ，B正确；

重力G大小等于N与f合力大小，G2＝N2＋f2，D正确。

核心素养提升

以题说法·

启智培优　

易错点：

不能正确处理三个共点力的合力范围

案例　（多选）有三个力，一个力是12N，一个力是6N，一个力是7N，则关于这三个力的合力，下列说法正确的是（　BD　）

A．合力的最小值为1N

B．合力的最小值为0

C．合力不可能为20N

D．合力不可能为30N

错解：

A

错因分析：

认为当三个力在一条直线上，同向时有最大值，反向时有最小值，所以最大值为25N，最小值为1N，而错选A。

可以先将任意两个力求合力，比如将6N和7N的力求合力，合力的范围是1～13N，因此如果将这个合力再和12N的力合成，合力的范围应该是0～25N，所以选项B、D是正确的。

素养警示

三个共点力的合力范围

（1）最大值：

当三个力同向共线时，合力最大，为三者之和。

（2）最小值：

①当任意两个分力之和大于第三个力时，其合力最小值为零。

②当最大的一个分力大于另外两个分力的算术和时，其合力最小值等于最大的一个分力减去另外两个分力的算术和的绝对值。

素养脉络构建

知识构建·

整体呈现