滕州市 西岗中学 孔波33 圆周角和圆心角的关系二Word下载.docx

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另一方面有利于突出重点、突破难点，更好地提高课堂效率．

课前准备：

教学课件，圆规等作图工具

教学过程：

一、创设问题情境，复习引入新课

（一）知识与方法复习

师:

请同学们回忆一下我们前几节课学习了哪些和圆有关系的角？

它们之间有什么关系？

生:

学习了圆心角和圆周角，一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．即圆周角定理．

师：

我们在分析、证明上述定理证明过程中，用到了些什么数学思想方法？

生：

猜想、分类讨论、推理证明、转化思想方法．

（二）完成下面小题（课件展示）

1．如图，∠BOC是角，∠BAC是角。

若∠BOC=80°

，∠BAC=．

第1题图

第2题图

2．如图，点A，B，C都在⊙O上，若∠ABO=65°

，则∠BCA=（）

A.25°

B.32.5°

C.30°

D.45°

题目答案：

1、圆心角圆周角40，2、A

（三）情境设置，引入新课（课件展示图片）

观察左图，这是我们上节课讨论的“射门游戏”，我们还遗留了一个问题：

如图，当他站在B，D，E的位置射球时对球门AC的张角的大小是相等的？

为什么呢？

对于这个问题，你能把它转化成一个数学问题吗？

请同学们画出几何图形．

能，站在三个点射门对球门的张角分别是圆周角∠ABC、∠ADC、∠AEC，画出图形是：

很好，那么，这三个圆周角相等吗？

为什么？

相等，因为这三个角都对着AC弧，所以它们相等．

今天我们一起来解决这个问题，看我们的猜测是否正确．

【设计意图】从基本知识点和简单应用两个方面对圆周角及定理进行了复习，圆周角定理是本节课的基础，通过复习温故知新，以用此来推导两个推论；

用上节课的现实情境导入新课，有利于进一步激发学生的求知欲，有利于学生体会新旧知识上的衔接，注意两节课间的联系．

二、讨论交流，自主探究

（一）展示学习目标

1．理解和掌握圆周角定理几个推论的内容．

2．会熟练运用推论解决问题，培养探索精神和解决问题的能力.

（二）探究活动一

1、推论一的推导

对我们猜想的结果加以验证，最好的方法是推理证明．

如图，证明：

∠ABC＝∠ADC＝∠AEC

生（简单思考后回答）：

证明：

连接AO，CO

　∵∠ABC、∠ADC、∠AEC和圆心角∠AOC

所对的弧都是弧AC，

　∴∠ABC＝∠ADC＝∠AEC

很好，思路很清晰，在证明的过程中使用了什么定理？

　　生：

圆周角定理：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

劣弧AC所对的圆周角有几个？

他们是否都和∠ABC，∠ADC，∠AEC相等呢？

有无数个，它们的大小都相等．

是：

通过证明和讨论，你能得到什么结论？

在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等．

师进一步问：

如果把上面的同弧改成等弧，结论成立吗？

生思考：

成立．等弧所对的圆心角相等，而圆周角等于圆心角的一半，这样，我们便可得到等弧所对的圆周角也相等．

板书：

推论一：

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．

2、议一议：

若将上面推论中的“同弧或等弧”改为“同弦或等弦”，结论成立吗？

请同学们分小组讨论探究．

提示：

“同弦或等弦”所对的弧相等吗？

如图，∠１不等于∠２，可见结论不成立．因为一条弦（不是直径）所对弧有优弧和劣弧，所以圆周角也有两种可能：

一是圆周角的顶点在优弧上，二是圆周角的顶点在劣弧上．很显然，此时圆周角不相等．

注意：

（1）“同弧”指“同一个圆”．

（2）“等弧”指“在同圆或等圆中”．

（3）“同弧或等弧”不能改为“同弦或等弦”．

【设计意图】虽然学生很容易猜测到同弧所对的圆周角相等，但仍需要用推理证明的方法验证，让学生体会数学的严谨性．不过这一验证可以让学生自主完成，培养学生的合作精神和自主能力．对推论中的“同弧或等弧”的理解是个重点，应充分让学生交流，最后真正理解“注意”中的三点，这是以后同学们用好这个推论的前提．

（三）探究活动二

（课件展示）观察图1，BC是⊙O的直径，它所对和圆周角是锐角、直角、还是钝角？

你是如何判断的？

（同学们互相交流、讨论）

直径BC所对的圆周角是直角，因为一条直径将圆分成了两个半圆，而半圆所对的圆心角是∠BOC＝180°

，根据圆周角定理，所以∠BAC＝∠90°

．

图１

图２

观察图2，反过来，在下图中，如果圆周角∠BAC＝90°

，那么它所对的弦BC经过圆心O吗？

在推理时，能不能连接BC呢？

弦BC经过圆心O，因为圆周角∠BAC＝90°

．连结OB、OC，所以圆心角∠BOC＝180°

，即BOC是一条线段，也就是BC是⊙O的一条直径．

通过刚才大家的交流，我们又得到了圆周角定理的又一个推论：

推论二：

直径所对的圆周角是直角；

90°

的圆周角所对的弦是直径．

【设计意图】这一推论应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角——直角；

如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题．

通过互相交流讨论，总结规律．通过老师把问题进一步深化和变化，引导学生得到正确的定理．

三、典型例题学习，体验定理应用

例1：

（课件展示）如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB．BD与CD的大小有什么关系？

师生共析：

由于AB是⊙O的直径，故连接AD。

由直径所对的圆周角是直角，可得AD⊥BC，又因为△ABC中，AC=AB，所以由等腰三角形的三线合一，可证得BD=CD．

BD＝CD．理由是：

连结AD．

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°

，

即AD⊥BC．

又∵AC＝AB，

∴BD＝CD．

例2．（课件展示）船在航行过程中，船长常常通过测定角度来确定是否会遇到暗礁。

如图，A，B表示灯塔，暗礁分布在经过A，B两点的一个圆形区域内，C表示一个危险临界点，∠ACB就是“危险角”，当船与两个灯塔的夹角大于“危险角”时，就有可能触礁.

（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”时，船位于哪个区域？

（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”时，船位于哪个区域？

这是一个有实际背景的问题．由题意可知：

“危险角”∠ACB实际上就是圆周角．船P与两个灯塔的夹角为∠α，P有可能在⊙O外，P有可能在⊙O内，当∠α＞∠C时，船位于暗礁区域内；

当∠α＜∠C时，船位于暗礁区域外，我们可采用反证法进行论证．

此题学生讨论交流．

（1）当船与两个灯塔的夹角∠α大于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域内（即⊙O内）．理由是：

连结BE，假设船在⊙O上，则有∠α＝∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O上；

假设船在⊙O外，则有∠α＜∠AEB，即∠α＜∠C，这与∠α＞∠C矛盾，所以船不可能在⊙O外．因此，船只能位于⊙O内．

（2）当船与两个灯塔的夹角∠α小于“危险角”∠C时，船位于暗礁区域外（即⊙O外）．理由是：

假设船在⊙O上，则有∠α＝∠C，这与∠α＜∠C矛盾，所以船不可能在∠O上；

假设船在⊙O内，则有∠α＞∠AEB，即∠α＞∠C．这与∠α＜∠C矛盾，所以船不可能在⊙O内，因此，船只能位于⊙O外．

复习反证法：

用反证法证明命题的一般步骤：

（1）假设命题的结论不成立；

（2）从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾；

（3）由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确．

【设计意图】这两个定理的学习比较容易理解。

而他们的应用非常广泛，一般地，如果题目的已知条件中有直径时，往往作出直径上的圆周角-----直角；

如果需要直角或证明垂直时，往往作出直径即可解决问题．为了进一步熟悉推论及其应用，安排两个例子．

例子1是推理论证题．由图形AB是⊙O的直径可联系到所对的圆周角是直角，故连接AD，由等腰三角形的三线合一，可证得BD=CD．例子2这是一个有实际背景的问题．解决这一问题不仅要用到圆周角定理的推论，而且还要应用分类假设的思想，我们可采用反证法进行论证．

四、课堂练习，定理应用再体验（课本P115随堂练习）

1．为什么有些电影院的坐位排列（横排）呈圆弧形？

说一说这种设计的合理性.

2．如图，哪个角与∠BAC相等？

第2题图

第3题图

3．如图。

⊙O的直径AB=10cm，C为⊙O上的一点，∠ABC=30°

，求AC的长。

4．小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形．根据下图，你能判断哪个是半圆形？

参考答案：

1、答：

有些电影院的坐位排列呈圆弧形，这样设计的理由是尽量保证同排的观众视角相等．

2、答：

∠BDC＝∠BAC．

3、解：

∵AB为⊙O的直径．

∴∠ACB＝90°

又∵∠ABC＝30°

∴AC＝

AB＝

×

10＝5（cm）．

4、答：

图

（2）是半圆形、理由是：

【教学效果】本环节题目相对简单，学生较好的理解题意，顺利得到解题思路，只是解题过程的表述还不够准确（１题）和熟练，需要做进一步的练习．

五、课时小结（学生交流）

本节课，我们一起学习了哪些内容？

主要学习了圆周角定理的两个推论．

这两个推论有什么用途？

利用推论一，可确定圆周角的相等关系；

利用推论二，一是能得到直角，进而得到直角三角形，二是能确定圆的直径.

在解题时，有什么心得收获？

生1：

构造直径所对的圆周角，这个角是直角，是圆中的常用方法．

生2：

要多观察图形，熟练准确识别圆周角与圆心角，构造同弧所对的圆周角也是常用方法之一.

圆周角定理建立了圆心角与圆周角的关系，而同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间又存在等量关系，因此，圆中的角（圆周角和圆心角）、弦、弧等的相等关系可以互相转化．但转化过程中要注意以圆心角、弧为桥梁，如由弦相等只能得弧或圆心角相等，不能直接得圆周角等．

你还有什么疑惑吗？

各小组学生交流，互相解决疑问．

【设计意图】一是给学生抒发感受的机会；

二是让学生总结出自己在课堂学习中的收获，理清思路、整理经验，从而形成良好的学习习惯；

三是给教师一个反思的机会，通过各小组的交流情况，对本节课的“教”做一个客观和理性的思考，真正体现“以学论教”的教育理念．

六、课堂检测，达标练习

1、如图，已知AB是⊙O的直径，∠C=25°

，则∠ABD=.

2、如图，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm.

（1）求证：

AC⊥OD.

（2）求OD的长.

（2）若2sinA-1=0，求⊙O的直径.

3、如图，AD是△ABC的高，△ABC的三个顶点都在圆O上，AE是圆O的直径.

求证：

AB·

AC=AE·

AD

第1题图

1、65°

2、

（1）AB是直径∠ACB=90°

∠ADO=90°

即AC⊥OD

（2）OD=

BC=2cm

（3）2sinA-1=0sinA=

∠A=30°

AB=2BC=8cm.

3、证明：

连接BE.∵AE是⊙O的直径

∴∠ABE=90°

又∵∠AEB=∠ACB,AD是△ABC的高

∴△ABE∽△ADC

∴

∴AB·

【设计意图】本着“不同的人获得不同的数学发展”的理念，力求设计难度不懂的题目训练，在设计时有一定的梯度，其目的是满足各类学生的需求。

做到既有对知识点应用直接简单的考察，也要有题目考查学生综合运用知识的能力．

七、布置作业

课本P116习题3.51、2

本节组学部分

八、板书设计

§

3．2圆周角和圆心角的关系

（二）

一、复习：

圆周角定理

二、推论一：

三、推论二：

四、例题解析

九、教学反思

在整个教学设计中，始终以学生作为课堂主体，发挥教师的引导作用，让学生更多参与到数学活动中来，体验猜测，验证，归纳的过程，体会发现数学的真实过程，提高学生对数学的认识．在学校活动中，教师不仅要传授知识，而且还要让学生体会在学习过程中的思想方法，学生本节课主要经历观察、操作、猜测、推理论证、发现、归纳等数学思想方法．

不足：

在关注学生在小组活动上，我做得还不够，对小组和学生的竟学，对学生小组活动中所表现出来的合作交流意识，对学生的鼓励，是我以后课堂上，需要努力和改进的几点，今后要在这几个方面做好功课，总结经验，反思不足．