一元二次方程与二次函数测试题Word下载.docx

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15．抛物线y=﹣x2﹣2x+m，若其顶点在x轴上，则m=　　　　　　．

16．已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（5，0）、B（6，﹣6）和原点，则抛物线的函数关系式是　　　　　　．

17．如图，已知抛物线y1=﹣x2+4x和直线y2=2x．我们约定：

当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2，若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；

若y1=y2，记M=y1=y2．则①当x＞4时，M＜0；

②当x＜2时，M随着x增大而增大；

③使得M大于4的x值不存在；

④若M=2，则x=1，其中正确的有　　　　　　（填写序号）

18．已知二次函数y=（x﹣2）2+3，当x　　　　　　时，y随x的增大而减小．

19．如果一条抛物线经过平移后与抛物线y=﹣

x2+2重合，且顶点坐标为（4，﹣2），则它的解析式为　　　　　　．

20．用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是　　　　cm2．

三．解答题（共10小题）

21．解方程

（1）3x（x﹣1）=2﹣2x

（2）x2+8x﹣9=0．

（3）（x﹣3）2=3﹣x（4）3x2+5（2x+1）=0．

22．已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2=0有实数根．

（1）求k的取值范围；

（2）若△ABC中，AB=AC=2，AB，BC的长是方程kx2﹣4x+2=0的两根，求BC的长．

23．已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2=0的两个不相等的实数根α、β满足

，求m的值．

24．（2014•蜀山区校级模拟）已知抛物线y=﹣

﹣x+4，

（1）用配方法确定它的顶点坐标、对称轴；

（2）x取何值时，y随x增大而减小？

（3）x取何值时，抛物线在x轴上方？

25．某商场销售一种进价为20元/台的台灯，经调查发现，该台灯每天的销售量w（台），销售单价x（元）满足w=﹣2x+80，设销售这种台灯每天的利润为y（元）．

（1）求y与x之间的函数关系式；

（2）当销售单价定为多少元时．毎天的利润最大？

最大利润多少？

（3）在保证销售量尽可能大的前提下．该商场每天还想获得150元的利润，应将销售单价定位为多少元？

28．（2015•黑龙江）如图，抛物线y=x2﹣bx+c交x轴于点A（1，0），交y轴于点B，对称轴是x=2．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点P是抛物线对称轴上的一个动点，是否存在点P，使△PAB的周长最小？

若存在，求出点P的坐标；

若不存在，请说明理由．

参考答案与试题解析

1．（2016•新都区模拟）下列方程中，关于x的一元二次方程是（　　）

【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．

【解答】解：

下列方程中，关于x的一元二次方程是（x+1）2=2（x+1），

故选A．

2．（2016春•无锡校级期中）关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1=0的一个根是0，则m的值为（　　）

【分析】根据一元二次方程的定义得到m﹣1≠0；

根据方程的解的定义得到m2﹣1=0，由此可以求得m的值．

∵关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1=0的一个根是0，

∴m2﹣1=0且m﹣1≠0，

解得m=﹣1．

故选：

C．

3．（2016•枣庄）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，则一次函数y=kx+b的大致图象可能是（　　）

【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，得到判别式大于0，求出kb的符号，对各个图象进行判断即可．

∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根，

∴△=4﹣4（kb+1）＞0，

解得kb＜0，

A．k＞0，b＞0，即kb＞0，故A不正确；

B．k＞0，b＜0，即kb＜0，故B正确；

C．k＜0，b＜0，即kb＞0，故C不正确；

D．k＞0，b=0，即kb=0，故D不正确；

B．

4．（2016•夏津县二模）用配方法解一元二次方程x2+4x﹣5=0，此方程可变形为（　　）

【分析】移项后配方，再根据完全平方公式求出即可．

x2+4x﹣5=0，

x2+4x=5，

x2+4x+22=5+22，

（x+2）2=9，

5．（2016•邹城市一模）一元二次方程（1﹣k）x2﹣2x﹣1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（　　）

【分析】根据一元二次方程的根的判别式，以及二次项系数不等于0，建立关于k的不等式组，求出k的取值范围．

∵a=1﹣k，b=﹣2，c=﹣1，方程有两个不相等的实数根．

∴△=b2﹣4ac=4+4（1﹣k）=8﹣4k＞0

∴k＜2

又∵一元二次方程的二次项系数不为0，即k≠1．

∴k＜2且k≠1．

故选C．

6．（2016•当涂县三模）函数y=﹣x2+1的图象大致为（　　）

【分析】根据二次函数的开口方向，对称轴，和y轴的交点可得相关图象．

∵二次项系数a＜0，

∴开口方向向下，

∵一次项系数b=0，

∴对称轴为y轴，

∵常数项c=1，

∴图象与y轴交于（0，1），

故选B．

7．（2016•滨州一模）已知二次函数y=x2﹣4x+a，下列说法错误的是（　　）

【分析】现根据函数解析式，画出草图．

A、此函数在对称轴的左边是随着x的增大而减小，在右边是随x增大而增大，据此作答；

B、和x轴有交点，就说明△≥0，易求a的取值；

C、解一元二次不等式即可；

D、根据左加右减，上加下减作答即可．

∵y=x2﹣4x+a，

∴对称轴x=2，

此二次函数的草图如图：

A、当x＜1时，y随x的增大而减小，此说法正确；

B、当△=b2﹣4ac=16﹣4a≥0，即a≤4时，二次函数和x轴有交点，此说法正确；

C、当a=3时，不等式x2﹣4x+a＞0的解集是x＜1或x＞3，此说法错误；

D、y=x2﹣4x+a配方后是y=（x﹣2）2+a﹣4，向上平移1个单位，再向左平移3个单位后，函数解析式是y=（x+1）2+a﹣3，把（1，﹣2）代入函数解析式，易求a=﹣3，此说法正确．

8．（2016•滨江区模拟）已知（﹣1，y1），（﹣2，y2），（﹣4，y3）是抛物线y=﹣2x2﹣8x+m上的点，则（　　）

A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y3＜y1＜y2D．y2＜y3＜y1

【分析】求出抛物线的对称轴，结合开口方向画出草图，根据对称性解答问题．

抛物线y=﹣2x2﹣8x+m的对称轴为x=﹣2，且开口向下，x=﹣2时取得最大值．

∵﹣4＜﹣1，且﹣4到﹣2的距离大于﹣1到﹣2的距离，根据二次函数的对称性，y3＜y1．

∴y3＜y1＜y2．

∴故选C．

9．（2016•东莞市二模）如图，Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，设直线x=t截此三角形所得阴影部分的面积为S，则S与t之间的函数关系的图象为下列选项中的（　　）

【分析】Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，所以很容易求得∠AOB=∠A=45°

；

再由平行线的性质得出∠OCD=∠A，即∠AOD=∠OCD=45°

，进而证明OD=CD=t；

最后根据三角形的面积公式，解答出S与t之间的函数关系式，由函数解析式来选择图象．

∵Rt△AOB中，AB⊥OB，且AB=OB=3，

∴∠AOB=∠A=45°

，

∵CD⊥OB，

∴CD∥AB，

∴∠OCD=∠A，

∴∠AOD=∠OCD=45°

∴OD=CD=t，

∴S△OCD=

×

OD×

CD

=

t2（0≤t≤3），即S=

t2（0≤t≤3）．

故S与t之间的函数关系的图象应为定义域为[0，3]、开口向上的二次函数图象；

故选D．

10．（2015•佛山）如图，将一块正方形空地划出部分区域进行绿化，原空地一边减少了2m，另一边减少了3m，剩余一块面积为20m2的矩形空地，则原正方形空地的边长是（　　）

【分析】本题可设原正方形的边长为xm，则剩余的空地长为（x﹣2）m，宽为（x﹣3）m．根据长方形的面积公式方程可列出，进而可求出原正方形的边长．

设原正方形的边长为xm，依题意有

（x﹣3）（x﹣2）=20，

解得：

x1=7，x2=﹣2（不合题意，舍去）

即：

原正方形的边长7m．

11．（2016春•惠山区期末）关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1=0的一个根是0，则实数a的值为　﹣1　．

【分析】已知了一元二次方程的一个实数根，可将其代入该方程中，即可求出a的值．

∵关于x的一元二次方程（a﹣1）x2+x+|a|﹣1=0的一个根是0，

∴|a|﹣1=0，

即a=±

1，

∵a﹣1≠0

∴a=﹣1，

故答案为：

﹣1．

12．（2015秋•凤庆县校级期末）2x2﹣

x﹣1=0的二次项系数是　2　，一次项系数是　﹣

　，常数项是　﹣1　．

【分析】一元二次方程的一般形式是：

ax2+bx+c=0（a，b，c是常数且a≠0），在一般形式中ax2叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．

根据一元二次方程的定义得：

2x2﹣

x﹣1=0的二次项系数是2，一次项系数是﹣

，常数项是﹣1．

13．（2016•高安市一模）已知α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根，且满足

，则m的值是　3　．

【分析】先求出两根之积与两根之和的值，再将

+

化简成两根之积与两根之和的形式，然后代入求值．

∵α、β是关于x的一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0的两个不相等的实数根；

∴α+β=﹣2m﹣3，α•β=m2；

∴

=﹣1；

∴m2﹣2m﹣3=0；

解得m=3或m=﹣1；

∵一元二次方程x2+（2m+3）x+m2=0有两个不相等的实数根；

∴△=（2m+3）2﹣4×

1×

m2=12m+9＞0；

∴m＞﹣

∴m=﹣1不合题意舍去；

∴m=3．

14．（2015•天水）一元二次方程x2+3﹣2

x=0的解是　x1=x2=

　．

【分析】先分解因式，即可得出完全平方式，求出方程的解即可．

x2+3﹣2

x=0

（x﹣

）2=0

∴x1=x2=

．

x1=x2=

15．（2012•滕州市校级模拟）抛物线y=﹣x2﹣2x+m，若其顶点在x轴上，则m=　﹣1　．

【分析】根据抛物线y=﹣x2﹣2x+m，若其顶点在x轴上可知其顶点纵坐标为0，故可得出关于m的方程，求出m的值即可．

∵抛物线y=﹣x2﹣2x+m，若其顶点在x轴上，

=0，解得m=﹣1．

16．（2008秋•周村区期中）已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A（5，0）、B（6，﹣6）和原点，则抛物线的函数关系式是　y=﹣x2+5x　．

【分析】把三点坐标代入函数解析式，即可得到关于a，b，c的方程组，即可求得a，b，c的值，求出函数解析式．

把点A（5，0）、B（6，﹣6）、（0.0）代入抛物线y=ax2+bx+c，

得：

则抛物线的函数关系式是y=﹣x2+5x．

④若M=2，则x=1，其中正确的有　②③　（填写序号）

【分析】若y1=y2，记M=y1=y2．首先求得抛物线与直线的交点坐标，利用图象可得当x＞2时，利用函数图象可以得出y2＞y1；

当0＜x＜2时，y1＞y2；

当x＜0时，利用函数图象可以得出y2＞y1；

然后根据当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；

即可求得答案．

∵当y1=y2时，即﹣x2+4x=2x时，

x=0或x=2，

∴当x＞2时，利用函数图象可以得出y2＞y1；

当x＜0时，利用函数图象可以得出0＞y2＞y1；

∴①错误；

∵抛物线y1=﹣x2+4x，直线y2=2x，当x任取一值时，x对应的函数值分别为y1、y2．若y1≠y2，取y1、y2中的较小值记为M；

∴当x＜2时，根据函数图象可以得出x值越大，M值越大；

∴②正确；

∵抛物线y1=﹣x2+4x的最大值为4，故M大于4的x值不存在，

∴③正确；

∵如图：

当M=2，2x=2，x=1；

x＞2时，y2＞y1；

当M=2，﹣x2+4x=2，x1=2+

，x2=2﹣

（舍去），

∴使得M=2的x值是1或2

∴④错误；

②③．

18．（2015•漳州）已知二次函数y=（x﹣2）2+3，当x　＜2　时，y随x的增大而减小．

【分析】根据二次函数的性质，找到解析式中的a为1和对称轴；

由a的值可判断出开口方向，在对称轴的两侧可以讨论函数的增减性．

在y=（x﹣2）2+3中，a=1，

∵a＞0，

∴开口向上，

由于函数的对称轴为x=2，

当x＜2时，y的值随着x的值增大而减小；

当x＞2时，y的值随着x的值增大而增大．

＜2．

19．（2015•东光县校级二模）如果一条抛物线经过平移后与抛物线y=﹣

x2+2重合，且顶点坐标为（4，﹣2），则它的解析式为　y=﹣

（x﹣4）2﹣2　．

【分析】一条抛物线经过平移后与抛物线y=﹣

x2+2重合，所以所求抛物线的二次项系数为a=﹣

，再根据顶点坐标写出表达式则可．

根据题意，可设所求的抛物线的解析式为y=a（x﹣h）2+k；

∵此抛物线经过平移后与抛物线y=﹣

x2+2重合，

∴a=﹣

∵此抛物线的顶点坐标为（4，﹣2），

∴其解析式为：

y=﹣

（x﹣4）2﹣2．

20．（2015•莆田）用一根长为32cm的铁丝围成一个矩形，则围成矩形面积的最大值是　64　cm2．

【分析】设矩形的一边长是xcm，则邻边的长是（16﹣x）cm，则矩形的面积S即可表示成x的函数，根据函数的性质即可求解．

设矩形的一边长是xcm，则邻边的长是（16﹣x）cm．

则矩形的面积S=x（16﹣x），即S=﹣x2+16x，

当x=﹣

=﹣

=8时，S有最大值是：

64．

故答案是：

21．（2014秋•成都期中）解方程

（1）3x（x﹣1）=2﹣2x

（2）x2+8x﹣9=0．

【分析】

（1）移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；

（2）先分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．

（1）3x（x﹣1）=2﹣2x，

3x（x﹣1）+2（x﹣1）=0，

（x﹣1）（3x+2）=0，

x﹣1=0，3x+2=0，

x1=1，x2=﹣

（2）x2+8x﹣9=0，

（x+9）（x﹣1）=0，

x+9=0，x﹣1=0，

x1=﹣9，x2=1．

22．（2013秋•武穴市校级月考）解方程：

（3x﹣1）（x﹣1）=（4x+1）（x﹣1）．

【分析】分析本题容易犯的错误是约去方程两边的（x﹣1），将方程变为3x﹣1=4x+1，所以x=﹣2，这样就丢掉了x=1这个根．故特别要注意：

用含有未知数的整式去除方程两边时，很可能导致方程失根．

（3x﹣1）（x﹣1）﹣（4x+1）（x﹣1）=0，

（x﹣1）[（3x﹣1）﹣（4x+1）]=0，

（x﹣1）（x+2）=0，

∴x1=1，x2=﹣2．

23．（2013秋•嘉峪关校级期中）解方程

（1）（x﹣1）（x+3）=12

（2）（x﹣3）2=3﹣x

（3）3x2+5（2x+1）=0．

（1）方程整理为一般形式后，左边利用十字相乘法分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；

（2）方程移项后，提取公因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；

（3）方程整理为一般形式后，找出a，b，c的值，代入求根公式即可求出值．

（1）方程整理得：

x2+2x﹣15=0，

分解因式得：

（x﹣3）（x+5）=0，

x1=3，x2=﹣5；

（2）方程变形得：

（x﹣3）2+（x﹣3）=0，

（x﹣3）（x﹣3+1）=0，

x1=3，x2=2；

（3）方程整理得：

3x2+10x+5=0，

这里a=3，b=10，c=5，

∵△=100﹣60=40，

∴x=

24．（2015秋•永川区校级期中）已知关于x的一元二次方程kx2﹣4x+2=0有实数根．

（1）若一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于k的不等式，即可求出k的取值范围．

（2）由于AB=2是方程kx2﹣4x+2=0，所以可以确定k的值，进而再解方程求出BC的值．

（1）∵方程有实数根，

∴△=b2﹣4ac=（﹣4）2﹣4×

k×

2=16﹣8k≥0，

k≤2，

又因为k是二次项系数，所以k≠0，

所以k的取值范围是k≤2且k≠0．

（2）由于AB=2是方程kx2﹣4x+2=0，

所以把x=2代入方程，可得k=

所以原方程是：

3x2﹣8x+4=0，

x1=2，x2=

所以BC的值是

25．（2004•重庆）已知关于x的一元二次方程x2+（2m﹣3）x+m2=0的两个不相等的实数根α、β满足

【分析】首先根据根的判别式求出m的取值范围，利用根与系数的关系可以求得方程的根的和与积，将

转化为关于m的方程，求出m的值并检验．

由判别式大于零，

得（2m﹣3）2﹣4m2＞0，

解得m＜

∵

即

∴α+β=αβ．

又α+β=﹣（2m﹣3），αβ=m2．

代入上式得3﹣2m=m2．

解之得m1=﹣3，m2=1．

∵m2=1＞

，故舍去．

∴m=﹣3．

26．（2014•蜀山区校级模拟）已知抛物线y=﹣

（1）用配方法时，先提二次项系数，再配方，写成顶点式，根据顶点式的坐标特点求顶点坐标及对称轴；

（2）对称轴是x=﹣1，开口向下，根据对称轴及开口方向确定函数的增减性；

（3）令y=0，确定函数图象与x轴的交点，结合开口方向判断x的取值范围．

（1）∵y=﹣

﹣x+4=﹣

（x2+2x﹣8）

[（x+1）2﹣9]

∴它的顶点坐标为（﹣1，

），对称轴为直线x=﹣1；

（2）∵抛物线对称轴是直线x=﹣1，开口向下，

∴当x＞﹣1时，y随x增大而减小；

（3）当y=0时，即

﹣

=0

解得x1=2，x2=﹣4，而抛物线开口向下，

∴当﹣4＜x＜2时，抛物线在x轴上方．

27．（2011•乌鲁木齐）某商场销售一种进价为20元/台的台灯，经调查发现，该台灯每天的销售量w（台），销售单价x（元）满足w=﹣2x+80，设销售这种台灯每天的利润为y（元）．

（1）用每台的利润乘以销售量得到每天的利润．

（2）由

（1）得