3种画圆算法的优劣分析Word格式.docx
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像素为pi－1=（xi－1，yi－1），按顺时针方向生成圆时，为了最佳逼近该圆，根据圆弧的走向，下一点像素的取法只有两种可能的选择：
正右方像素和右下方像素，分别记为Hi和Li，Hi点特征：
（Xhi=xi，Yhi=yi-1），Li点特征：
（Xli=xi，YLi=yi-1－1）
（3）判断选择点
由圆的方程标准形式（x-xc）²
+（y-yc）²
=R²
可知，圆周上的实际位置的y值可由y²
=R²
-（xi-1+1）²
-xi²
得到，这个y值和整数坐标值yi–1之间的关系，用下式dh和dl表示。
dh＝yi－1²
－y²
=yi－1²
－R²
＋xi²
，
dl＝y²
－（yi－1－1）²
＝R²
－xi²
dh和dl的差用一个参数di来表示：
di=dh－dl=2xi²
+yi－1²
+（yi－1－1）²
－2R²
。
故构造函数如下：
D（p）=（x2+y2）-R2
di=D（Hi）+D（Li）=（xhi2+yhi2-R2）+（xli2+yli2-R2）
如果di为负，选择Hi点；
若di=0，则选择Hi或Li均可；
否则，选择Li点，再考虑Hi与Li全在圆内的情况，实际是沿Hi上方通过，则有dh<
0，dl>
0，且di<
0，故选择Hi点，对Hi与Li全在圆外情况，有dh>
0，dl<
0,且di>
0，故选择Li点。
各点坐标：
Pi-1（xi-1,yi-1）,Hi（xi,yi-1）,Li（xi,yi-1-1）,Hi+1（xi+1,yi）,Li+1（xi+1,yi-1-1）；
起点坐标：
A（x0，y0），其中x0=0,y0=R,x1=x0+1=1。
（4）构造di与di+1的关系，不断选择点，直到生成第一个8分圆。
d1=D（H1）+D（L1）=（x12+y02-R2）+[x12+（y0-1）2-R2]=1+1+R2-2R+1-R=3-2R
di=D（Hi）+D（Li）=（xi2+yi-12-R2）+[xi2+（yi-1-1）2-R2]=2xi2+2yi-12-2yi-1-2R2+1
di+1=D（Hi+1）+D（Li+1）=（xi+12+yi2-R2）+[xi+12+（yi-1）2-R2]=
（2xi2+2yi-12-2yi-1-2R2+1）+4xi-1+6,（di<
0,取Hi，yi=yi-1），
（2xi2+2yi-12-2yi-1-2R2+1）+4（xi-1+yi-1）+10，（di≥0，取Li,yi=yi-1-1）。
2.2正负画圆法
（1）画出圆的1/4圆弧AB（第一象限，A点在Y轴上），利用对称性画出整个圆，在此仅考虑圆心在原点，半径为R的第一个4分圆。
（2）在AB上，设当前点像素为P（xp，yp），按顺时针方向生成圆弧式，为了最佳逼近圆弧，下一个像素只能是正右方的P1或正下方的P2两者之一，且P1（xp+1,yp）,p2（xp,yp-1）。
如果当前点P在圆内，则下一点选择正右方的P1；
否则，选择正下方的P2.。
（3）为判别P1或P2，构造函数：
F（x，y）=x2+y2-R2。
理论上F（x，y）=0（点在圆上）。
又知F（x，y）>
0，点（x，y）
在圆外；
F（x，y）<
0，点（x，y）在圆内。
结合
（2）、（3）且将等号合并有
F（x，y）>
0，下一点选P2，
F（x，y）≤0，下一点选P1。
（4）确定再下一个像素．为减少计算量，构造F（x，y）
的递推公式：
P（xi，yi），P1（xi+1,yi），P2（xi,yi-1），
A（x1,y1）=A（0,R）,xi+1=xi+1,
F（x1,y1）=x12+y12-R2=0，
F（xi,yi）=xi2+yi2-R2,
F（xi-1,yi-1）=xi-12+yi-12-R2，
若F（xi,yi）≤0，xi+1=xi+1,yi+1=yi,
故F（xi+1,yi+1）=（xi+1）2+yi2-R2=xi2+yi2-R2+2xi+1=F（xi,yi）+2xi+1,
若F（xi,yi）>
0时，xi+1=xi,yi+1=yi-1,
故F（xi+1,yi+1）=xi2+（yi-1）2-R2=xi2+yi2-R2-2yi+1=F（xi,yi）-2yi+1,再判断F（xi+1,yi+1）的符号，就可以确定其后续选择点。
2．3中点画圆法
（1）与Bresenham类似，只要画出圆上的1／8弧AB，根
据圆的对称性画出整个圆．仍考虑圆心在原点，半径为的第一个8分圆．
（2）在弧AB上设当前点像素为P（Xp，Yp），按顺时针方向生成圆弧时，为了最佳逼近圆弧，下一个像素只能是正右方的P1，或右下方的P2两者之一。
如图1所示。
图1中点画圆示意图
（3）为判别P1或P2，构造函数
F（X,Y）=X2+Y2-R2。
对于圆上的点，F（X,Y）=0；
对于圆外的点F（X,Y）>
0；
而对于圆内的点，F（X,Y）<
0。
假设M是P1和P2的中点，及M=（Xp+1,Yp-0.5），那么，当F（M）<
0时，M在圆内，这说明P1距离圆弧更近，应取P1作为下一个像素，而当F（M）>
0时，P2离圆弧更近，应取P2，当F（M）=0时，在P1与P2之中随便取一个即可，我们约定取P2，即
F（M）<
0,应取P1，F（M）≧0，应取P2
（4）为继续确定下一个像素，构造判别式：
d=F（M）=F（Xp+1,Yp-0.5）=（Xp+1）2+（Yp-0.5）2-R2
当d<
0时，P1成为确定的当前像素，而且P1的下一个像素只能是A’或B’，如图1所示，判别式为：
d=F（M1）=F（Xp+2,Yp-0.5）=（Xp+2）2+（Yp-0.5）2-R2=（Xp+1）2+2（Xp+1）+1+（Yp-0.5）2-R2=d+2Xp+3,
所以沿正方向，d的增量为2Xp+3。
而当d≧0时，P2成为当前像素，而且P2的下一个像素只能是B’huoC’，如图1所示，其判别式为：
d=F（M2）=F（Xp+2,Yp-1.5）=（Xp+2）2+（Yp-1.5）2-R2=（Xp+1）2+2（Xp+1）+1+（Yp-0.5）2-2（Yp-0.5）2+1-R2=d+2（Xp-Yp）+5,
所以沿着右下方向，d的增量为2（Xp-Yp）+5。
3、3种算法的分析比较
对于一个算法来说，其所用的空间和时间有时是两个对立的因素。
那么，空间和时间哪一个更重要呢?
本文的观点是：
对于图形学的基础算法来说，时间比空间更重要。
那么，如何比较图形学基础算法的速度呢?
本文对算法速度比较的观点是：
对图形学基础算法的比较应以分析算法的计算量为尺度。
该计算量应以算数运算及计算机操作的次数为单位。
Bresenham算法每生成一点的计算量为：
循环语句的一次比较操作；
d与0的一次比较操作；
更新d值的一次移位操作和2次加法及每当y减1时增加的一次减法．这个减法在8分圆中共出现R-R/
次，而8分圆共有R/
个点，因此平均到每点的减法为
-1，约0.4次，则每生成一点的平均计算量为：
2次比较，1次移位，2次加法及0.4次减法，共5.4次整数运算（不包含移动坐标值的加1及减1运算）。
同样地，分析正负画圆及中点画圆法后，可列表比较，见表1。
分析表1可知：
中点画圆算法速度最快．为了进一步进行比较，编程分别用这3种算法对圆心在（70，70），半径为50的圆画30000次，使用的是同一环境（P42.0），运行结果是：
Bresenham算法用了8．001秒，正负法算法用了11．00秒，中点算法用了7．02秒
圆生成算法（中点画圆、Bresenham画圆）
#include<
graphics.h>
math.h>
voidMidPointCircle（intr,intcolor）;
voidCirclePoints（intx,inty,intcolor）;
voidBresenhamCircle（intxc,intyc,intr,intcolor）;
voidplot_cicle_point（intxc,intyc,intx,inty,intcolor）;
main（）
{
intgdriver=DETECT,gmode;
initgraph（&
gdriver,&
gmode,"
"
）;
cleardevice（）;
setbkcolor
（2）;
MidPointCircle（100,4）;
getch（）;
BresenhamCircle（100,100,50,5）;
closegraph（）;
}
voidMidPointCircle（intr,intcolor）
intx,y;
floatd;
x=0;
y=r;
d=1.25-r;
CirclePoints（x,y,color）;
while（x<
=y）
{
if（d<
0）
d+=2*x+3;
else
d+=2*（x-y）+5;
y--;
}
x++;
voidCirclePoints（intx,inty,intcolor）
putpixel（x,y,color）;
putpixel（y,x,color）;
putpixel（-x,y,color）;
putpixel（y,-x,color）;
putpixel（x,-y,color）;
putpixel（-y,x,color）;
putpixel（-x,-y,color）;
putpixel（-y,-x,color）;
voidplot_circle_point（intxc,intyc,intx,inty,intcolor）
putpixel（xc+x,yc+y,color）;
putpixel（xc-x,yc+y,color）;
putpixel（xc+x,yc-y,color）;
putpixel（xc-x,yc-y,color）;
putpixel（xc+y,yc+x,color）;
putpixel（xc-y,yc+x,color）;
putpixel（xc+y,yc-x,color）;
putpixel（xc-y,yc-x,color）;
voidBresenhamCircle（intxc,intyc,intr,intcolor）
intx,y,d;
d=3-2*r;
y）
plot_circle_point（xc,yc,x,y,color）;
d=d+4*x+6;
d=d+4*（x-y）+10;
if（x==y）
表1三种算法每生成一点所需的计算量的比较
Tab1Compareofthreealgorithmicinwhichdrawingonepoint
每次循环中各种运算次数
总和
画一个八分或四分圆的总运算次数
画每一点所需要的平均运算次数
比较
加法
移位
Bresenham法
2（d<
2
1
5
（R-R/
）×
6﹢（
－1）5=R-R/
5﹢
-1≈5.4
2（d≧0）
3
6
正负法
2R×
中点算法
2（f<
7﹢（
－1）×
5＝2R-3R/
5（2R-3R/
）
/（R/
）≈4.8
2（f≧0）
7
4、结束语
通过实际的程序运行比较分析，结论是中点画圆法速度最快．就算法本身而言，该算法仍可在某些方面进行改进，如将其中的浮点运算改为整数运算等，执行速度将更快．生成直线和圆这类基础算法在编程时要被无数次的调用，可能每生成一帧画面就要被调用成百上千次，因此其执行速度是至关重要的．而这类基础算法的长度都很短，即使多用一些分支，多用一些变量和语句，一般来说只不过增加几十个语句．这样的空间增加与算法极重要的速度要求来比较是相对次要的因素，因此在开发图形学的基础算法时，如果有可能提高算法的速度，应不惜多占一些存储空间．
参考文献
【1】孙家广，计算机图形学[M]第三版，北京：
清华大学出版社，1999。
【2】刘勇奎，计算机图形学的基础算法[M],北京：
科学出版社，2002。
【3】刘乃琪，计算机图形技术基础[M]，西安：
电子科技大学出版社，1994。
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