第55题 不等式的解法之高中数学文黄金100题系列.docx

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第55题不等式的解法之高中数学文黄金100题系列

第55题不等式的解法

I．题源探究·黄金母题

【例1】求不等式的解集．

【解析】注意到，

所以原不等式的解集为．

精彩解读

【试题来源】人教版A版必5P78例1．

【母题评析】本题考查了一元二次不等式的解法．作为基础题，不等式的解法是历年来高考的一个常考点．

【思路方法】可以借助二次函数的图像解一元二次不等式．

II．考场精彩·真题回放

【例1】【2016高考上海文1】设x，则不等式的解集为__________．

【答案】

【解析】由题意得：

，即，故解集为．

【例2】【2015高考江苏7】不等式的解集为________．

【答案】

【解析】由题意得：

，解集为

【例3】【2017全国1文23】已知函数．

（1）当时，求不等式的解集；

（2）若不等式的解集包含，求的取值范围．

【解析】试题分析：

（1）利用零点分段法把含绝对值不等式问题转化为不含绝对值符号的不等式组问题来求解．将代入，不等式等价于，对按，，讨论得解；

（2）当时，．若的解集包含，等价于当时．则在的最小值必为与之一，所以且，得．所以的取值范围为．

试题解析：

（1）当时，不等式．①

当时，①式化为，无解；

当时，①式化为，从而；

当时，①式化为，从而．

所以的解集为．

（2）当时，．

所以的解集包含，等价于当时．又在的最小值必为与之一，所以且，得．所以的取值范围为．

【例4】【2017全国3文23】已知函数．

（1）求不等式的解集；

（2）若不等式的解集非空，求的取值范围．

【答案】

（1）；

（2）．

【解析】试题分析：

（1）将函数零点分段然后求解不等式即可；

（2）利用题意结合绝对值不等式的性质有，则m的取值范围是．

试题解析：

（1）．

当时，无解；

当时，由得，，解得；

当时，由解得．

所以的解集为．

（2）由得，而

且当时，．故的取值范围为．

【命题意图】这类题主要考查一元二次不等式、简单的分式不等式以及绝对值不等式的解法．

【考试方向】这类试题若以选择题或填空题的形式出现，属于容易题；也可以是解答题，与不等式选讲结合考查，难度中等．

【难点中心】

1．解答此类问题，关键在于熟记常见不等式的解法．

2．解绝对值不等式关键是去掉绝对值符号，绝对值不等式的解法有三种：

法一：

利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；

法二：

利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；

法三：

通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想．

本题也可利用平方法去绝对值符号．

III．理论基础·解题原理

考点一一元二次不等式

我们把只含有一个未知数并且未知数的最高次项的次数是2的不等式叫做一元二次不等式．当时，

（1）若方程的两实根分别为，则不等式的解集为或，不等式的解集为；

（2）若方程的两实根分别为，则不等式的解集为且，不等式的解集为；

（3）若方程无实数根，则不等式的解集为，不等式的解集为．

考点二分式不等式

（1）；

（2）；

（3）（4）

考点三简单的含绝对值不等式

（1）；

（2）或；

（3）；

（4）或或．

IV．题型攻略·深度挖掘

【考试方向】

这类试题在考查题型上，可以是选择题、填空题或解答题，一般难度中等或偏易，考查一元二次不等式、简单的分式不等式、简单的绝对值不等式的解法．

【技能方法】

（1）利用一元二次方程和二次函数的图像是解一元二次不等式的根；

（2）分式不等式的解法——化为整式不等式求解；

（3）解含绝对值的不等式，去绝对值符号有下列三种常用方法：

①定义法（又称零点分段法）：

②公式法：

；或．

③平方法：

；．

解形如的不等式，只需将“”看成一个整体，即可化成型不等式求解．

【易错指导】

（1）对一些表现形式上是一元二次不等式的问题，不要忽视其中的二次项的系数有可能为零的情况，这时可能是一元一次不等式，可能一次项系数也是零，要充分考虑这些可能性．

（2）分式不等式化为整式不等式时，应注意原不等式中的分母不为零这一条件．

（3）含绝对值的不等式去绝对值符号时易犯未判断绝对值里面式子的正负而直接去绝对值符号的错误．在解含绝对值的不等式的变形过程中，应当保证是“同解”变形．

V．举一反三·触类旁通

考向1一元二次不等式的解法

【例1】【2018湖北重点高中联考协作体高一下学期期中考试】已知不等式的解集是，则不等式的解集是（）

A．B．C．D．

【答案】D

【名师点睛】

（1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．

（2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：

首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的大小进行分类．

【例2】【2018安徽淮南高三一模】若，则的取值范围是________．

【答案】

【解析】当时，显然成立；当时，，得．

综上，的取值范围是．

【例3】【2018高三第三次联考全国名校大联考】不等式的解集为__________．

【答案】

【解析】，因为，，不等式的解集为，故答案为．

【名师点睛】

（1）若方程的两实根分别为，则不等式的解集为或，不等式的解集为；

（2）若方程的两实根分别为，则不等式的解集为且，不等式的解集为；

（3）若方程无实数根，则不等式的解集为，不等式的解集为．

【跟踪练习】

1．【2018四川省绵阳高三三诊】已知集合，，集合，则集合的子集个数是（）

A．1B．2C．3D．4

【答案】B

【名师点睛】本题为集合与集合的交集运算，它们往往和一元二次不等式结合在一起考查，注意如果一个有限集中元素的个数为，那么其子集的个数为．

2．【2018四川省雅安市高三下学期三诊】已知集合，，则（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】由题得={x|-2≤x≤0}，所以∩{x|-2≤x≤0}=，故选D．

3．【2018湖南张家界市高三三模】已知集合，，若，则的值为（）

A．1B．-1C．D．2

【答案】A

【解析】由，，且，得，又由，则必有，且，所以．故选A．

考向2简单分式不等式的解法

【例4】【2018河南省平顶山高二第一学期期末调研】解不等式．

【答案】．

【例5】【2018衡水金卷高三信息卷（四）】设：

，：

，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围为（）

A．B．C．D．

【答案】D

【解析】设：

的解集为A，所以A={x|-2≤x＜0或0＜x≤2}，设：

的解集为B，所以B={x|m≤x≤m+1}，由题知p是q的必要不充分条件，即得B是A的真子集，所以有

综合得m∈，故选D．

【例6】【2018湖南省（长郡中学、衡阳八中）、江西省（南昌二中）等十四校高三第二次联考】已知不等式的解集为，则二项式展开式的常数项是（）

A．B．C．D．

【答案】B

【名师点睛】先将分式不等式右边化零，化为以下四种类型之一再等价转化为整式不等式求解：

（1）；

（2）；

（3）；（4）

【跟踪练习】

1．【2018江西新余市第四中学高二下学期第一次月考】若不等式成立的充分不必要条件是，则的取值范围是．

【答案】

【解析】由，根据分手不等式的解法解得或，若不等式成立的充分不必要条件是，则，故答案为．

2．【2018江西新余市第四中学高二下学期开学考试】设关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为________．

【答案】

【解析】不等式的解集为，是方程的解，且，，，由标根法得或原不等式的解集为，故答案为．

3．【2018江西南昌第二中学高一下学期第一次月考】求下列不等式的解集：

（1）；

（2）．

【答案】

（1）；

（2）．

（1）原不等式等价于≤0≤0

由数轴穿根法可知原不等式解集为．

（2）不等式即，注意到奇穿偶不穿，利用数轴穿根法可知不等式解集为．

考向3简单的绝对值不等式的解法

【例7】解下列不等式：

（1）；

（2）．

【解】

（1）解法一：

原不等式可化为，两边平方得，解得，所以原不等式的解集为．

解法二：

原不等式或或，

解得，所以原不等式的解集为．

（2）①当时，原不等式化为，解得，

②当时，原不等式化为，解得．

③当时，原不等式化为，解得．

综上可知，原不等式的解集为．

【名师点睛】

1．去绝对值符号的常用方法

（1）基本性质法：

或；

（2）平方法：

两边平方去掉绝对值符号；

（3）零点分段法：

含有两个或两个以上绝对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式（组）求解．

2．形如（或）绝对值不等式的三种解法

3．六类绝对值不等式的解法

（1）（a∈R）型：

或（等价命题法）；

（2）型：

；

（3）型：

或；

（4）型：

或；

（5）型：

无解；；

（6）型：

；

或．

【例8】【2018陕西省高三教学质量检测

（二）】已知不等式．

（1）当，解该不等式；

（2）取何值时，该不等式成立．

【答案】

（1）；

（2）．

试题解析：

（1）当时，原不等式为，，，

，．该不等式的解集为．

（2）令，依题意，得．

．当且仅当时，上述不等式等号同时成立．．当时，该不等式成立．

【例9】【2018四川资阳高三4月模拟考试（三诊）】已知函数．

（1）解不等式；

（2）若正实数a，b满足，试比较与的大小，并说明理由．

【答案】

（1）｛x|x＜－3或x＞1｝；

（2）见解析．

【解析】试题分析：

（1）根据绝对值定义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，

（2）先根据绝对值三角不等式得最大值，再根据基本不等式可得最小值，最后根据两者关系确定大小关系．

试题解析：

（1）由题知，

①当时，－2x－2＞4，解得x＜－3；

②当时，2＞4，矛盾，无解；

③当时，2x＋2＞4，x＞1；

所以该不等式的解集为｛x|x＜－3或x＞1｝．

（2）因为，当且仅当时，取“=”，

所以，即．

又．当且仅当时取等号．

所以．

【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．

【跟踪练习】

1．解不等式：

．

2．已知函数．

（1）证明：

；

（2）求不等式的解集．

【解】

（1）证明：

当时，．

（2）由

（1）可知，

当时，即为，解集为空集；

当时，即为，解集为；

当时，即为，解集为．

综上，不等式的解集为．

3．【2018贵州凯里市第一中学高三下学期《黄金卷》第三套】设函数，，其中．

（Ⅰ）求不等式的解集；

（Ⅱ）若对任意，都存在，使得，求实数的取值范围．

【答案】

（1）；

（2）．

试题解析：

（I）不等式，则

，解得：

或，即，所以不等式的解集为．

（II）设的值域为，的值域为．对任意，都存在，使得等价于：

，而．

①当时，不满足题意；

②当时，，由得，得，不满足题意；

③当时，，由得，得，满足题意；

综上所述，实数的取值范围是：

．

考向4简单的指数不等式、对数不等式的解法

【例10】【2018北京海淀模拟】函数的定义域为_________．

【答案】

【解析】要使原式有意义需满足，即，故函数的定义域为．

【方法点拨】通常根据表达式中含有的分式、对数式、根式建立不等式组后，再利用指数函数的单调性解不等式即可．

【例11】求满足的的取值集合是_