北京市海淀区届高三期末练习二模数学理试题及答案.docx
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北京市海淀区届高三期末练习二模数学理试题及答案
海淀区高三年级第二学期期末练习
数学（理）答案及评分参考2015.5
一、选择题（共8小题，每小题5分，共40分）
（1）C
（2）D（3）D（4）A
（5）B（6）A（7）C（8）C
二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分。
有两空的小题，第一空2分，第二空3分）
（9）2，（10），（11），
（12）（13）14（14）
三、解答题（共6小题，共80分）
（15）（共13分）
解：
（Ⅰ）因为，
所以.………………3分
因为，，
所以.
解得：
，或（舍）.………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：
.
所以.………………9分
因为，，，
所以.………………11分
所以.………………12分
因为，
所以.
因为，
所以.………………13分
另解：
因为，
所以.
由正弦定理得：
.
所以.
所以.………………12分
因为，
所以，.
所以.………………13分
（16）（共13分）
解：
（Ⅰ）20名女生掷实心球得分如下：
5，6，7，7，7，7，7，7，8，8，8，9，9，9，9，9，9，9，10，10．
所以中位数为8，众数为9．………………3分
（Ⅱ）的可能取值为0，1，2．………………4分
；；；
所以抽取的2名男生中优秀人数的分布列为：
0
1
2
………………10分
（Ⅲ）略.………………13分
评分建议：
从平均数、方差、极差、中位数、众数等角度对整个年级学生掷实心球项目的情况进行合理的说明即可；也可以对整个年级男、女生该项目情况进行对比；或根据目前情况对学生今后在该项目的训练提出合理建议.
（17）（共14分）
（Ⅰ）证明：
连结交于点，连结.
因为，，
所以.
因为，
所以.
所以.
所以.………………2分
因为平面，平面，
所以平面.………………4分
（Ⅱ）证明：
因为平面平面，，平面平面，平面，
所以平面.………………6分
因为平面，
所以.………………7分
同理可证：
.
因为平面，平面，，
所以平面.………………9分
（Ⅲ）解：
分别以边所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.由得，，，，，则，.
由（Ⅱ）得：
平面.
所以平面的一个法向量为.………………10分
设，即.所以.
设平面的法向量为，则
即
令，则，.
所以.………………12分
因为二面角的余弦值为，
所以，解得.
所以的值为.………………14分
（18）（共13分）
解：
（Ⅰ）令，得.
故的零点为.………………1分
（）.………………3分
令，解得.
当变化时，，的变化情况如下表：
↘
↗
所以的单调递减区间为，单调递增区间为.………………6分
（Ⅱ）令.则.………………7分
因为，，且由（Ⅰ）得，在内是减函数，
所以存在唯一的，使得.
当时，.
所以曲线存在以为切点，斜率为6的切线.………………10分
由得：
.
所以.
因为,
所以，.
所以.………………13分
（19）（共14分）
解：
（Ⅰ）依题意得解得：
，.………………3分
所以圆的方程为，椭圆的方程为.………………5分
（Ⅱ）解法一：
如图所示，设（），，则
即
………………7分
又由得.
由得.
………………10分
所以,
.
所以.
所以，即.………………14分
（Ⅱ）解法二：
如图所示，设，（）.
由得.
所以，即.
所以，即.
所以直线的斜率为.
所以.
令得:
，.………………10分
设，则，.
所以.
因为，
所以.
所以，即.………………14分
（20）（共13分）
解：
（Ⅰ）或.………………2分
.
（Ⅱ）；………………4分
.………………6分
（Ⅲ）考虑数列，满足的数对的个数，我们称之为“顺序数”．则等差数列：
的顺序数为，等差数列：
的顺序数为．
首先，证明对于一个数列，经过变换，数列的顺序数至多增加2．实际上，考虑对数列，交换其相邻两段和的位置，变换为数列.
显然至多有三个数对位置变化．假设三个数对的元素都改变顺序，使得相应的顺序数增加，即由变为．
分别将三个不等式相加得与，矛盾．
所以经过变换，数列的顺序数至多增加2．
其次，第一次和最后一次变换，顺序数均改变1．设的最小值为，则
，即．………………10分
最后，说明可以按下列步骤，使得数列为．
对数列，
第1次交换和位置上的两段，得到数列：
；
第2次交换和位置上的两段，得到数列：
；
第3次交换和位置上的两段，得到数列：
；
，以此类推
第次交换和位置上的两段，得到数列：
；
最终再交换和位置上的两段，即得：
．
所以的最小值为1008.………………13分
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