新人教A版数学必修4导学案解析版第一章三角函数16三角函数模型的简单应用导学案.docx

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新人教A版数学必修4导学案解析版第一章三角函数16三角函数模型的简单应用导学案

1.6三角函数模型的简单应用

知识点　利用三角函数模型解释自然现象

在客观世界中，周期现象广泛存在，潮起潮落、星月运转、昼夜更替、四季轮换，甚至连人的情绪、体力、智力等心理、生理状况都呈现周期性变化.

思考　现实世界中的周期现象可以用哪种数学模型描述？

答案　三角函数模型.

梳理　

（1）利用三角函数模型解决实际问题的一般步骤：

第一步：

阅读理解，审清题意.

读题要做到逐字逐句，读懂题中的文字，理解题目所反映的实际背景，在此基础上分析出已知什么、求什么，从中提炼出相应的数学问题.

第二步：

收集、整理数据，建立数学模型.

根据收集到的数据找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及相关知识建立关系式，将实际问题转化为一个与三角函数有关的数学问题，即建立三角函数模型，从而实现实际问题的数学化.

第三步：

利用所学的三角函数知识对得到的三角函数模型予以解答.

第四步：

将所得结论转译成实际问题的答案.

（2）三角函数模型的建立程序

如图所示：

类型一　三角函数模型在物理中的应用

例1　已知电流I与时间t的关系为I＝Asin（ωt＋φ）.

（1）如图所示的是I＝Asin（ωt＋φ）（ω>0，|φ|<）在一个周期内的图象，根据图中数据求I＝Asin（ωt＋φ）的解析式；

（2）如果t在任意一段的时间内，电流I＝Asin（ωt＋φ）都能取得最大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？

解　

（1）由图可知A＝300，设t1＝－，t2＝，

则周期T＝2（t2－t1）＝2＝.

∴ω＝＝150π.

又当t＝时，I＝0，即sin＝0，

而|φ|<，∴φ＝.

故所求的解析式为I＝300sin.

（2）依题意知，周期T≤，即≤（ω>0），

∴ω≥300π>942，又ω∈N*，

故所求最小正整数ω＝943.

反思与感悟　此类问题的解决关键是将图形语言转化为符号语言，其中，读图、识图、用图是数形结合的有效途径.

跟踪训练1　一根细线的一端固定，另一端悬挂一个小球，当小球来回摆动时，离开平衡位置的位移S（单位：

cm）与时间t（单位：

s）的函数关系是S＝6sin（2πt＋）.

（1）画出它的图象；

（2）回答以下问题：

①小球开始摆动（即t＝0），离开平衡位置是多少？

②小球摆动时，离开平衡位置的最大距离是多少？

③小球来回摆动一次需要多少时间？

解　

（1）周期T＝＝1（s）.

列表：

t

0

1

2πt＋

π

2π

2π＋

6sin（2πt＋）

3

6

0

－6

0

3

描点画图：

（2）①小球开始摆动（即t＝0），离开平衡位置为3cm.

②小球摆动时离开平衡位置的最大距离是6cm.

③小球来回摆动一次需要1s（即周期）.

类型二　三角函数模型在生活中的应用

例2　某游乐园的摩天轮最高点距离地面108米，直径长是98米，匀速旋转一圈需要18分钟.如果某人从摩天轮的最低处登上摩天轮并开始计时，那么：

（1）当此人第四次距离地面米时用了多少分钟？

（2）当此人距离地面不低于（59＋）米时可以看到游乐园的全貌，求摩天轮旋转一圈中有多少分钟可以看到游乐园的全貌？

解　

（1）如图，建立平面直角坐标系，设此人登上摩天轮t分钟时距地面y米，则α＝t＝t.

由y＝108－－cost

＝－49cost＋59（t≥0）.

令－49cost＋59＝，得cost＝，

∴t＝2kπ±，

故t＝18k±3，k∈Z，故t＝3，15，21，33.

故当此人第四次距离地面米时用了33分钟.

（2）由题意得－49cost＋59≥59＋，

即cost≤－.

故不妨在第一个周期内求即可，

所以≤t≤，解得≤t≤，

故－＝3.

因此摩天轮旋转一圈中有3分钟可以看到游乐园的全貌.

反思与感悟　解决三角函数的实际应用问题必须按照一般应用题的解题步骤执行：

（1）认真审题，理清问题中的已知条件与所求结论；

（2）建立三角函数模型，将实际问题数学化；（3）利用三角函数的有关知识解决关于三角函数的问题，求得数学模型的解；（4）根据实际问题的意义，得出实际问题的解；（5）将所得结论返回、转译成实际问题的答案.

跟踪训练2　如图所示，一个摩天轮半径为10m，轮子的底部在距离地面2m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每30s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处（点P与摩天轮中心高度相同）时开始计时.

（1）求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；

（2）在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17m.

解　

（1）设在ts时，摩天轮上某人在高hm处.这时此人所转过的角为t＝t，故在ts时，此人相对于地面的高度为h＝10sint＋12（t≥0）.

（2）由10sint＋12≥17，得sint≥，

则≤t≤.

故此人有10s相对于地面的高度不小于17m.

1.一根长lcm的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移s（cm）与时间t（s）的函数关系式为s＝3cos，其中g是重力加速度，当小球摆动的周期是1s时，线长l＝________cm.

答案　

解析　∵T＝＝1，∴＝2π，∴l＝.

2.某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos（x＝1，2，3，…，12）来表示，已知6月份的月平均气温最高，为28℃，12月份的月平均气温最低，为18℃，则10月份的平均气温为________℃.

答案　20.5

解析　由题意可知A＝＝5，a＝＝23，从而y＝5cos＋23.故10月份的平均气温值为

y＝5cos＋23＝20.5.

3.一个单摆的平面图如图.设小球偏离铅锤方向的角为α（rad），并规定当小球在铅锤方向右侧时α为正角，左侧时α为负角.α作为时间t（s）的函数，近似满足关系式α＝Asin（ωt＋），其中ω>0.已知小球在初始位置（即t＝0）时，α＝，且每经过πs小球回到初始位置，那么A＝________；α关于t的函数解析式是____________________.

答案　　α＝sin（2t＋），t∈[0，＋∞）

解析　∵当t＝0时，α＝，

∴＝Asin，∴A＝.

又∵周期T＝π，∴＝π，解得ω＝2.

故所求的函数解析式是α＝sin（2t＋），t∈[0，＋∞）.

4.某实验室一天的温度（单位：

℃）随时间t（单位：

h）的变化近似满足函数关系：

f（t）＝10－2sin（t＋），t∈[0，24）.

（1）求实验室这一天的最大温差；

（2）若要求实验室温度不高于11℃，则在哪段时间实验室需要降温？

解　

（1）因为f（t）＝10－2sin（t＋），

又0≤t<24，

所以≤t＋<，－1≤sin（t＋）≤1.

当t＝2时，sin（t＋）＝1；

当t＝14时，sin（t＋）＝－1.

于是f（t）在[0，24）上的最大值为12，最小值为8.

故实验室这一天的最高温度为12℃，最低温度为8℃，最大温差为4℃.

（2）依题意，当f（t）>11时实验室需要降温.

由

（1）得f（t）＝10－2sin（t＋），

故有10－2sin（t＋）>11，

即sin（t＋）<－.

又0≤t<24，因此

即10

故在10时至18时实验室需要降温.

1.三角函数模型是研究周期现象最重要的数学模型.三角函数模型在研究物理、生物、自然界中的周期现象（运动）有着广泛的应用.

2.三角函数模型构建的步骤

（1）收集数据，观察数据，发现是否具有周期性的重复现象.

（2）制作散点图，选择函数模型进行拟合.

（3）利用三角函数模型解决实际问题.

（4）根据问题的实际意义，对答案的合理性进行检验.

课时作业

一、选择题

1.如图所示为一简谐运动的图象，则下列判断正确的是（　　）

A.该质点的振动周期为0.7s

B.该质点的振幅为－5cm

C.该质点在0.1s和0.5s时的振动速度最大

D.该质点在0.3s和0.7s时的加速度为零

答案　D

解析　该质点的振动周期为T＝2×（0.7－0.3）＝0.8（s），故A是错误的；该质点的振幅为5cm，故B是错误的；该质点在0.1s和0.5s时的振动速度是零，故C是错误的.故选D.

2.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f（x）＝Asin（ωx＋φ）＋b的模型波动（x为月份），已知3月份达到最高价9千元，7月份价格最低为5千元，根据以上条件可确定f（x）的解析式为（　　）

A.f（x）＝2sin＋7（1≤x≤12，x∈N*）

B.f（x）＝9sin（1≤x≤12，x∈N*）

C.f（x）＝2sinx＋7（1≤x≤12，x∈N*）

D.f（x）＝2sin＋7（1≤x≤12，x∈N*）

答案　A

解析　令x＝3可排除D，令x＝7可排除B，由A＝＝2可排除C.

或由题意，可得A＝＝2，b＝7，周期T＝＝2×（7－3）＝8，∴ω＝.

∴f（x）＝2sin＋7.

∵当x＝3时，y＝9，

∴2sin＋7＝9，即sin＝1.

∵|φ|＜，∴φ＝－.

∴f（x）＝2sin＋7（1≤x≤12，x∈N*）.

3.商场人流量被定义为每分钟通过入口的人数，五一某商场的人流量满足函数F（t）＝50＋4sin（t≥0），则人流量是增加的时间段为（　　）

A.[0，5]B.[5，10]

C.[10，15]D.[15，20]

答案　C

解析　由2kπ－≤≤2kπ＋，k∈Z知，函数F（t）的增区间为[4kπ－π，4kπ＋π]，k∈Z.当k＝1时，t∈[3π，5π]，而[10，15]⊆[3π，5π]，故选C.

4.如图为一半径为3m的水轮，水轮圆心O距离水面2m，已知水轮自点A开始1min旋转4圈，水轮上的点P到水面距离y（m）与时间x（s）满足函数关系y＝Asin（ωx＋φ）＋2，则有（　　）

A.ω＝，A＝3.ω＝，A＝3

C.ω＝，A＝5.ω＝，A＝5

答案　A

解析　由题目可知最大值为5，所以5＝A×1＋2⇒A＝3.

T＝15s，则ω＝.故选A.

5.如图，某港口一天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数关系式y＝3sin＋k，据此函数可知，这段时间水深（单位：

m）的最大值为（　　）

A.5B.6C.8D.10

答案　C

解析　由题干图易得ymin＝k－3＝2，则k＝5.

∴ymax＝k＋3＝8.

6.一观览车的主架示意图如图所示，其中O为轮轴的中心，距地面32m（即OM长），巨轮的半径长为30m，AM＝BP＝2m，巨轮逆时针旋转且每12分钟转动一圈.若点M为吊舱P的初始位置，经过t分钟，该吊舱P距离地面的高度为h（t）m，则h（t）等于（　　）

A.30sin（t－）＋30.30sin（t－）＋30

C.30sin（t－）＋32.30sin（t－）

答案　B

解析　过点O作地面的平行线作为x轴，过点O作x轴的垂线，作为y轴，过点B作x轴的垂线BN交x轴于N点，如图，点A在圆O上逆时针运动的角速度是＝，所以t分钟转过的弧度数为t.设θ＝t，当θ>时，∠BON＝θ－，h＝OA＋BN＝30＋30sin（θ－），当0<θ<时，上述关系式也适合.故h＝30＋30sin（θ－）＝30sin（t－）＋30.

7.如图所示，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置O的距离scm和时间ts的函数关系式为s＝6sin（100πt＋），那么单摆来回摆一次所需的时间为（　　）

A.sB.sC.50sD.100s

答案