学年福建省三明市永安第十二中学永安三中高中部高三数学上期中考试文试题附答案.docx
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学年福建省三明市永安第十二中学永安三中高中部高三数学上期中考试文试题附答案
永安三中（高中部）2017-2018学年第一学期期中考试卷高三文科数学
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
第Ⅰ卷（选择题共60分）
一、选择题：
本大题共12题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设全集U=R，集合A={x|x≤-2或x≥3}，B={x|x＞1}，则（ ）
A.{x|x≥-2}
B.{x|x＞-2}
C.{x|1＜x＜3}
D.{x|1＜x≤3}
2.设i是虚数单位，若复数，则复数z的实部为（ ）
A.1
B.-1
C.2
D.-3
3.“”是“=”的（ ）
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也不必要条件
4.已知a=21..3，b=40.7，c=log38，则a，b，c的大小关系为（ ）
A.a＜c＜b
B.b＜c＜a
C.c＜b＜a
D.c＜a＜b
5.函数的零点所在的大致区间是（ ）
A.（0，1）
B.（1，2）
C.（2，3）
D.（3，4）
6.等差数列{an}中，若S9=9，则a4+a6=（ ）
A.0
B.1
C.2
D.3
7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）
A.π
B.2π
C.4π
D.8π
8.已知，则的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
9.如图，已知，，，AD=2DB，用表示为（ ）
A.
B.
C.
D.
10.函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图所示，则下列有关f（x）性质的描述正确的是（ ）
A.B.，k∈Z为其所有对称轴
C.，k∈Z为其减区间D.f（x）向左移可变为偶函数
11.函数y=x+cosx的大致图象是（ ）
A.
B.
C.
D.
12.已知函数的图象关于轴对称，则f（x）在区间上的最大值为（ ）
A.1
B.
C.
D.2
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
二、填空题：
本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡的相应位置．
13.已知向量，且，则实数k等于______．
14.曲线在处的切线的斜率等于______．
15.已知，且x＞0，y＞0，则x+y的最小值是______．
16.若方程有两个实数根，则k取值范围是______．
三、解答题：
本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知数列{an}是公比为2的等比数列，且a2，a3+1，a4成等差数列．
（I）求数列{an}的通项公式；
（II）记，求数列{bn}的前n项和Tn．
18.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，△ABC的面积为S，．
（1）求角A的大小；
（2）若，求b+c的值．
19.2015年12月，华中地区数城市空气污染指数“爆表”，此轮污染为2015年以来最严重的污染过程，为了探究车流量与PM2.5的浓度是否相关，现采集到华中某城市2015年12月份某星期星期一到星期日某一时间段车流量与PM2.5的数据如表：
时间
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
车流量x（万辆）
1
2
3
4
5
6
7
PM2.5的浓度y（微克/立方米）
28
30
35
41
49
56
62
（1）由散点图知y与x具有线性相关关系，求y关于x的线性回归方程；（提示数据：
）
（2）（I）利用
（1）所求的回归方程，预测该市车流量为12万辆时PM2.5的浓度；（II）规定：
当一天内PM2.5的浓度平均值在（0，50]内，空气质量等级为优；当一天内PM2.5的浓度平均值在（50，100]内，空气质量等级为良，为使该市某日空气质量为优或者为良，则应控制当天车流量不超过多少万辆？
（结果以万辆为单位，保留整数）参考公式：
回归直线的方程是，其中b＝，a＝－b.
20.如图，四棱锥P-ABCD的底面是矩形，PA⊥平面ABCD，E，F分别是AB，PD的中点，且PA=AD．
（Ⅰ）求证：
AF∥平面PEC；
（Ⅱ）求证：
平面PEC⊥平面PCD．
21.已知函数（a∈R，且a≠0）．
（1）讨论f（x）的单调区间；
（2）若直线y=ax的图象恒在函数y=f（x）图象的上方，求a的取值范围．
22.请考生在第A、B两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的A题记分.解答时请写清题号.
22（A）在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系．已知曲线C的极坐标方程为：
，直线l的参数方程为：
（t为参数），直线l与C交于P1，P2两点．
（1）求曲线C的直角坐标方程及直线l的普通方程；
（2）已知Q（3，0），求的值．
22（B）已知函数f（x）=|x+3|+|2x-4|．
（1）当x∈[-3，3]时，解关于x的不等式f（x）＜6；
（2）求证：
t∈R，f（x）≥4-2t-t2．
永安三中（高中部）2017-2018学年第一学期期中考试卷高三文科数学参考答案
【答案】
1.B 2.C 3.A 4.D 5.C 6. C 7. A 8. D 9.C 10.D 11.B 12.A
13.
14.2
15.25
16.（0，）
17.解：
（Ⅰ）由题意可得2（a3+1）=a2+a4，
即2（2a2+1）=a2+4a2，解得：
a2=2．
∴a1==1．
∴数列{an}的通项公式为an=2n-1．………………………（6分）
（Ⅱ）bn=an+log2an+1=2n-1+n，
Tn=b1+b2+b3+…+bn=（1+2+3+…+n）+（20+21+22+…+2n-1）
=
=．………………………（12分）
18.解：
（1）asinB=bcosA，由正弦定理可得sinAsinB=sinBcosA，
∵B是三角形内角，∴sinB≠0，
∴tanA=，A是三角形内角，
∴A=．………………………（6分）
（2）∵S=bcsinA=，
∴bc=2，
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA，可得3=b2+c2-bc=（b+c）2-3bc=（b+c）2-6，
∴b+c=3．………………………（12分）
19.解：
（1）由数据可得：
，，，，，
故y关于x的线性回归方程为．
（2）（ⅰ）当车流量为12万辆时，即x=12时，．
故车流量为12万辆时，PM2.5的浓度为91微克/立方米．
（II）根据题意信息得：
6x+19≤100，即x≤13.5，
故要使该市某日空气质量为优或为良，则应控制当天车流量在13万辆以内．…（12分）
20.证明：
（Ⅰ）取PC的中点G，连结FG、EG，
∴FG为△CDP的中位线，FG∥CD，FG=CD．
∵四边形ABCD为矩形，E为AB的中点，∴AE∥CD，AE=CD．
∴FG=AE，FG∥AE，∴四边形AEGF是平行四边形，
∴AF∥EG又EG⊂平面PCE，AF⊄平面PCE，
∴AF∥平面PCE；………………………（6分）
（Ⅱ）∵PA=AD．∴AF⊥PD
PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD，
又因为CD⊥AB，AP∩AB=A，∴CD⊥面APD
∴CD⊥AF，且PD∩CD=D，∴AF⊥面PDC
由（Ⅰ）得EG∥AF，∴EG⊥面PDC
又EG⊂平面PCE，∴平面PEC⊥平面PCD．………………………（12分）
21.解：
（1）f（x）的定义域为，且．
①当a＜0时，∵，∴ax＜-1，∴f'（x）＞0，函数在是增函数；
②当a＞0时，ax+1＞0，在区间上，f'（x）＞0；在区间（0，+∞）上，f'（x）＜0．
所以f（x）在区间上是增函数；在区间（0，+∞）上是减函数．…………（4分）
（2）令h（x）=ax-f（x），则．
问题转化为h（x）＞0恒成立时a的取值范围．
当a＜0时，取，则h（x）=2ae-3＜0，不合题意．
当a＞0时，h（x）=ax-f（x），则．
由于，
所以在区间上，h'（x）＜0；在区间上，h'（x）＞0．
所以h（x）的最小值为，
所以只需，即，
所以，
所以．………………………（12分）
22（A）.解：
（1）∵曲线C的极坐标方程为：
ρ=4cosθ，∴ρ2=4ρcosθ，
由得x2+y2=4x，
即C的直角坐标方程为：
（x-2）2+y2=4，
∵直线l的参数方程为：
（t为参数），
∴直线l消去参数t得直线l的普通方程为：
．………………………（5分）
（2）将直线l的参数方程代入x2+y2=4x，得：
，
设P1，P2的对应参数分别为t1，t2，∴，
而（3-2）2+02＜4，即点Q（3，0）在圆C的内部，
∴．………………………（10分）
（B）.解：
（1）当-3≤x≤2时，f（x）=x+3-（2x-4）=-x+7，
故原不等式可化为-x+7＜6，
解得：
x＞1，故1＜x≤2；
当2＜x≤3时，f（x）=x+3+（2x-4）=3x-1，
故原不等式可化为3x-1＜6，解得；
综上，可得原不等式的解集为．………………………（5分）
（2）证明：
，
由图象，可知f（x）≥5，又因为4-2t-t2=-（t+1）2+5≤5，
所以f（x）≥4-2t-t2．………………………（10分）
【解析】
1.解：
A={x|x≤-2或x≥3}，
故∁UA={x|-2＜x＜3}，又B={x|x＞1}，
则（∁UA）∪B={x|x＞-2}，
故选：
B．
求出A的补集，从而求出其和B的并集即可．
本题考查了集合的运算，考查补集，并集的定义，是一道基础题．
2.解：
复数===2-i，
则复数z的实部为2．
故选：
C．
利用复数的运算法则、共轭复数的定义、实部的定义即可得出．
本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、实部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
3.解：
cosα=⇔α=2kπ±（k∈Z），
∴“α=2kπ-（k∈Z）”是“cosα=”的充分不必要条件．
故选：
A．
cosα=⇔α=2kπ±（k∈Z），即可判断出结论．
本题考查了三角函数求值、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
4.解：
∵c=log38＜2＜a=21.3＜b=40.7=21.4，
∴c＜a＜b．
故选：
D．
利用c=log38＜2＜a=21.3＜b=40.7=21.4，即可得出．
本题考查了指数函数与对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
5.解：
函数，函数是连续减函数，
f
（2）=ln2-1＜0，
f（3）=ln2＞0．
因为f
（2）f（3）＜0，
所以函数的零点所在的大致区间是（2，3）．
故选：
C．
利用函数的零点判定定理推出结果即可．
本题考查函数的零点判定定理的应用，考查计算能力．
6.解：
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