届高考数学理二轮复习讲学案考前专题3 三角函数解三角形与平面向量 第3讲 平面向量.docx

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届高考数学理二轮复习讲学案考前专题3三角函数解三角形与平面向量第3讲平面向量

第3讲　平面向量

1.考查平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，多为选择题、填空题，难度为中低档．

2．考查平面向量的数量积，以选择题、填空题为主，难度为低档；向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何结合，以解答题形式出现．

热点一　平面向量的线性运算

1．在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理选好基底，变形要有方向不能盲目转化．

2．在用三角形加法法则时，要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所得的向量；在用三角形减法法则时，要保证“同起点”，结果向量的方向是指向被减向量．

例1　

（1）（2017届河南息县第一高级中学检测）已知平行四边形ABCD的对角线分别为AC，BD，且＝2，点F是BD上靠近D的四等分点，则（　　）

A.＝－－B.＝－

C.＝－D.＝－－

答案　C

解析　＝2，点F是BD上靠近D的四等分点，

∴＝，＝，

∴＝＋＝＋，

∵＋＝，－＝，

∴＝（－）＋（＋）

＝－.故选C.

（2）（2017届湖南师大附中月考）O为△ABC内一点，且2＋＋＝0，＝t，若B，O，D三点共线，则t的值为（　　）

A.B.C.D.

答案　A

解析　由＝t，得－＝t（－），

所以＝t＋（1－t），

因为B，O，D三点共线，所以＝λ，

则2＋＝λt＋（1－t）λ，

故有t＝，故选A.

思维升华　

（1）对于平面向量的线性运算，要先选择一组基底，同时注意平面向量基本定理的灵活运用．

（2）运算过程中重视数形结合，结合图形分析向量间的关系．

跟踪演练1　

（1）（2017·河北省衡水中学三调）在△ABC中，＝，P是直线BN上的一点，若＝m＋，则实数m的值为（　　）

A．－4B．－1C．1D．4

答案　B

解析　因为＝＋＝＋k

＝＋k＝（1－k）＋，

且＝m＋，所以

解得k＝2，m＝－1，故选B.

（2）（2017届福建连城县二中期中）已知平面向量a＝（1,2），b＝（－2，m），且a∥b，则2a＋3b等于（　　）

A．（－5，－10）B．（－4，－8）

C．（－3，－6）D．（－2，－4）

答案　B

解析　因为a＝（1,2），b＝（－2，m），且a∥b，

所以m＋4＝0，m＝－4,2a＋3b＝2（1,2）＋3（－2，－4）＝（－4，－8），故选B.

热点二　平面向量的数量积

1．数量积的定义：

a·b＝|a||b|cosθ.

2．三个结论

（1）若a＝（x，y），则|a|＝＝.

（2）若A（x1，y1），B（x2，y2），则||＝.

（3）若非零向量a＝（x1，y1），非零向量b＝（x2，y2），θ为a与b的夹角，

则cosθ＝＝.

例2　

（1）（2017届湖北省部分重点中学联考）若等边△ABC的边长为3，平面内一点M满足＝＋，则·的值为（　　）

A．2B．－

C.D.－2

答案　A

解析　因为＝－，＝－，则·＝，

即·＝2－·＋2＝2－＋＝2，故选A.

（2）（2017届河北省衡水中学六调）已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝（，），则|a＋2b|等于（　　）

A．2B.

C.D．2

答案　B

解析　向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2，a－b＝（，），

可得|a－b|2＝5，即|a|2＋|b|2－2a·b＝5，解得a·b＝0.

|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝1＋16＝17，

所以|a＋2b|＝.故选B.

思维升华　

（1）数量积的计算通常有三种方法：

数量积的定义，坐标运算，数量积的几何意义．

（2）可以利用数量积求向量的模和夹角，向量要分解成题中模和夹角已知的向量进行计算．

跟踪演练2　

（1）（2017·全国Ⅱ）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则·（＋）的最小值是（　　）

A．－2B．－C．－D．－1

答案　B

解析　方法一　（解析法）

建立平面直角坐标系如图①所示，则A，B，C三点的坐标分别为A（0,），B（－1,0），C（1,0）．

图①

设P点的坐标为（x，y），

则＝（－x，－y），

＝（－1－x，－y），

＝（1－x，－y），

∴·（＋）＝（－x，－y）·（－2x，－2y）

＝2（x2＋y2－y）＝2≥2×＝－.

当且仅当x＝0，y＝时，·（＋）取得最小值，最小值为－.故选B.

方法二　（几何法）

如图②所示，＋＝2（D为BC的中点），则·（＋）＝2·.

图②

要使·最小，则与方向相反，即点P在线段AD上，则（2·）min＝－2||||，问题转化为求||·||的最大值．

又||＋||＝||＝2×＝，

∴||||≤2＝2＝，

当且仅当||＝||时取等号，

∴[·（＋）]min＝（2·）min＝－2×＝－.故选B.

（2）（2017届湖北重点中学联考）已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为，则|a＋2b|＝________.

答案　2

解析　因为|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝，

故a·b＝2cos〈a，b〉＝－1，则（a＋2b）2＝a2＋4a·b＋4b2＝4－4＋4＝4，即|a＋2b|＝2.

热点三　平面向量与三角函数

平面向量作为解决问题的工具，具有代数形式和几何形式的“双重型”，高考常在平面向量与三角函数的交汇处命题，通过向量运算作为题目条件．

例3　（2017·江苏）已知向量a＝（cosx，sinx），b＝（3，－），x∈[0，π]．

（1）若a∥b，求x的值；

（2）记f（x）＝a·b，求f（x）的最大值和最小值以及对应的x的值．

解　

（1）因为a＝（cosx，sinx），b＝（3，－），a∥b，

所以－cosx＝3sinx.

若cosx＝0，则sinx＝0，与sin2x＋cos2x＝1矛盾，

故cosx≠0.

于是tanx＝－.

又x∈[0，π]，所以x＝.

（2）f（x）＝a·b＝（cosx，sinx）·（3，－）

＝3cosx－sinx＝2cos.

因为x∈[0，π]，所以x＋∈，

从而－1≤cos≤，

于是，当x＋＝，即x＝0时，f（x）取得最大值3；

当x＋＝π，即x＝时，f（x）取得最小值－2.

思维升华　在平面向量与三角函数的综合问题中，一方面用平面向量的语言表述三角函数中的问题，如利用向量平行、垂直的条件表述三角函数式之间的关系，利用向量模表述三角函数之间的关系等；另一方面可以利用三角函数的知识解决平面向量问题，在解决此类问题的过程中，只要根据题目的具体要求，在向量和三角函数之间建立起联系，就可以根据向量或者三角函数的知识解决问题．

跟踪演练3　已知平面向量a＝（sinx，cosx），b＝（sinx，－cosx），c＝（－cosx，－sinx），x∈R，函数f（x）＝a·（b－c）．

（1）求函数f（x）的单调递减区间；

（2）若f ＝，求sinα的值．

解　

（1）因为a＝（sinx，cosx），b＝（sinx，－cosx），

c＝（－cosx，－sinx），

所以b－c＝（sinx＋cosx，sinx－cosx），

f（x）＝a·（b－c）＝sinx（sinx＋cosx）＋cosx（sinx－cosx）

＝sin2x＋2sinxcosx－cos2x

＝sin2x－cos2x＝sin.

当2kπ＋≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，

即kπ＋≤x≤kπ＋，k∈Z时，函数f（x）为减函数．

所以函数f（x）的单调递减区间是，k∈Z.

（2）由

（1）知，f（x）＝sin，

又f ＝，

则sin＝，sin＝.

因为sin2＋cos2＝1，

所以cos＝±.

又sinα＝sin＝sincos＋cossin，

所以当cos＝时，

sinα＝×＋×＝；

当cos＝－时，

sinα＝×－×＝.

综上，sinα＝.

真题体验

1．（2017·北京改编）设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的___________条件．（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”）

答案　充分不必要

解析　方法一　由题意知|m|≠0，|n|≠0.

设m与n的夹角为θ.

若存在负数λ，使得m＝λn，

则m与n反向共线，θ＝180°，

∴m·n＝|m||n|cosθ＝－|m||n|＜0.

当90°＜θ＜180°时，m·n＜0，此时不存在负数λ，使得m＝λn.

故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n＜0”的充分不必要条件．

方法二　∵m＝λn，∴m·n＝λn·n＝λ|n|2.

∴当λ＜0，n≠0时，m·n＜0.

反之，由m·n＝|m||n|cos〈m，n〉<0⇔cos〈m，n〉＜0⇔〈m，n〉∈，当〈m，n〉∈时，m，n不共线．

故“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n＜0”的充分不必要条件．

2．（2017·山东）已知e1，e2是互相垂直的单位向量，若e1－e2与e1＋λe2的夹角为60°，则实数λ的值是________．

答案　

解析　由题意知|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，

|e1－e2|＝＝＝＝2.

同理|e1＋λe2|＝.

所以cos60°＝＝＝＝，

解得λ＝.

3．（2017·天津）在△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝2.若＝2，＝λ－（λ∈R），且·＝－4，则λ的值为________．

答案　

解析　由题意知||＝3，||＝2，

·＝3×2×cos60°＝3，

＝＋＝＋＝＋（－）＝＋，

∴·＝·（λ－）＝·－2＋2

＝×3－×32＋×22＝λ－5＝－4，解得λ＝.

4．（2017·北京）已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为（－2,0），O为原点，则·的最大值为________．

答案　6

解析　方法一　根据题意作出图象，如图所示，A（－2,0），P（x，y）．

由点P向x轴作垂线交x轴于点Q，则点Q的坐标为（x,0）．

·＝||||cosθ，

||＝2，||＝，

cosθ＝＝，

所以·＝2（x＋2）＝2x＋4.

点P在圆x2＋y2＝1上，所以x∈[－1,1]．

所以·的最大值为2＋4＝6.

方法二　如图所示，因为点P在圆x2＋y2＝1上，

所以可设P（cosα，sinα）（0≤α＜2π），

所以＝（2,0），＝（cosα＋2，sinα），

·＝2cosα＋4≤2＋4＝6，

当且仅当cosα＝1，即α＝0，P（1,0）时“＝”号成立．

押题预测

1．如图，在△ABC中，＝，DE∥BC交AC于E，BC边上的中线AM交DE于N，设＝a，＝b，用a，b表示向量，则等于（　　）

A.（a＋b）B.（a＋b）

C.（a＋b）D.（a＋b）

押题依据　平面向量基本定理是向量表示的基本依据，而向量表示（用基底或坐标）是向量应用的基础．

答案　C

解析　因为DE∥BC，所以DN∥BM，

则△AND∽△AMB，所以＝.

因为＝，

所以＝.

因为M为BC的中点，

所以＝（＋）＝（a＋b），

所以＝＝（a＋b）．

故选C.

2．如图，BC，DE是半径为1的圆O的两条直径，＝2，则·等于（　　）

A．－B．－C．－D．－

押题依据　数量积是平面向量最重要的概念，平面向量数量积的运算是高考的必考内容，和平面几何知识的结合是向量考查的常见形式．

答案　B

解析　∵＝2，圆O的半径为1，∴||＝，

∴·＝（＋）·（＋）＝2＋·（＋）＋·＝2＋0－1＝－.

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