第8讲 曲线与方程 优化方案高考总复习数学文新课标.docx

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第8讲曲线与方程优化方案高考总复习数学文新课标

第8讲　曲线与方程

1．曲线与方程

在平面直角坐标系中，如果某曲线C（看作满足某种条件的点的集合或轨迹）上的点与一个二元方程的实数解建立了如下的关系：

（1）曲线上点的坐标都是这个方程的解．

（2）以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．

那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．

2．曲线的交点

设曲线C1的方程为F1（x，y）＝0，曲线C2的方程为F2（x，y）＝0，则C1，C2的交点坐标即为方程组的实数解，若此方程组无解，则两曲线无交点．

3．求动点的轨迹方程的一般步骤

（1）建系——建立适当的坐标系．

（2）设点——设轨迹上的任一点P（x，y）．

（3）列式——列出动点P所满足的关系式．

（4）代换——依条件式的特点，选用距离公式、斜率公式等将其转化为关于x，y的方程式，并化简．

（5）证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程．

导师提醒

1．注意区分两个条件

（1）如果曲线C的方程是f（x，y）＝0，那么点P0（x0，y0）在曲线上的充要条件是f（x0，y0）＝0.

（2）“曲线C是方程f（x，y）＝0的曲线”是“曲线C上的点的坐标都是方程f（x，y）＝0的解”的充分不必要条件．

2．会用三种数学思想

（1）函数与方程思想：

求平面曲线的轨迹方程就是将几何条件（性质）表示为动点坐标x，y的方程及函数关系．

（2）数形结合思想：

由曲线的几何性质求曲线方程是“数”与“形”的有机结合．

（3）等价转化思想：

通过坐标系使“数”与“形”相互结合，在解决问题时又需要相互转化．

判断正误（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）f（x0，y0）＝0是点P（x0，y0）在曲线f（x，y）＝0上的充要条件．（　　）

（2）方程x2＋xy＝x的曲线是一个点和一条直线．（　　）

（3）动点的轨迹方程和动点的轨迹是一样的．（　　）

（4）方程y＝与x＝y2表示同一曲线．（　　）

（5）y＝kx与x＝y表示同一直线．（　　）

答案：

（1）√　

（2）×　（3）×　（4）×　（5）×

若M，N为两个定点，且|MN|＝6，动点P满足·＝0，则P点的轨迹是（　　）

A．圆B．椭圆

C．双曲线D．抛物线

解析：

选A.因为·＝0，所以PM⊥PN.

所以点P的轨迹是以线段MN为直径的圆．

已知点O（0，0），A（1，－2），动点P满足|PA|＝3|PO|，则P点的轨迹方程是（　　）

A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0

B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0

C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0

D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0

解析：

选A.设P点的坐标为（x，y），

则＝3，

整理得8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0.

平面上有三个不同点A（－2，y），B，C（x，y），若⊥，则动点C的轨迹方程为________．

解析：

＝，＝，

由⊥，得·＝0，

即2x＋·＝0，

所以动点C的轨迹方程为y2＝8x（x≠0）．

答案：

y2＝8x（x≠0）

已知F是抛物线y＝x2的焦点，P是该抛物线上的动点，则线段PF中点的轨迹方程是________．

解析：

因为抛物线x2＝4y的焦点F（0，1），设线段PF的中点坐标是（x，y），则P（2x，2y－1）在抛物线x2＝4y上，所以（2x）2＝4（2y－1），化简得x2＝2y－1.

答案：

x2＝2y－1

　　　　　　定义法求轨迹方程（典例迁移）

已知A（－5，0），B（5，0），动点P满足||，||，8成等差数列，则点P的轨迹方程为________．

【解析】　由已知得||－||＝8，

所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的右支，

且a＝4，b＝3，c＝5，

所以点P的轨迹方程为－＝1（x≥4）．

【答案】　－＝1（x≥4）

[迁移探究]　（变条件）若将本例中的条件“||，||，8”改为“||，||，8”，求点P的轨迹方程．

解：

由已知得||－||＝8，

所以点P的轨迹是以A，B为焦点的双曲线的左支，且a＝4，b＝3，c＝5，

所以点P的轨迹方程为－＝1（x≤－4）．

定义法求轨迹方程

（1）在利用圆锥曲线的定义求轨迹方程时，若所求的轨迹符合某种圆锥曲线的定义，则根据曲线的方程，写出所求的轨迹方程．

（2）利用定义法求轨迹方程时，还要看轨迹是否是完整的圆、椭圆、双曲线、抛物线，如果不是完整的曲线，则应对其中的变量x或y进行限制．　

1．（2019·豫北名校联考）已知△ABC的顶点B（0，0），C（5，0），AB边上的中线长|CD|＝3，则顶点A的轨迹方程为__________________．

解析：

设A（x，y），由题意可知D.又因为|CD|＝3，所以＋＝9，即（x－10）2＋y2＝36，由于A、B、C三点不共线，所以点A不能落在x轴上，即y≠0，所以点A的轨迹方程为（x－10）2＋y2＝36（y≠0）．

答案：

（x－10）2＋y2＝36（y≠0）

2.如图，已知△ABC的两顶点坐标A（－1，0），B（1，0），圆E是△ABC的内切圆，在边AC，BC，AB上的切点分别为P，Q，R，|CP|＝1（从圆外一点到圆的两条切线段长相等），动点C的轨迹为曲线M，求曲线M的方程．

解：

由题知|CA|＋|CB|＝|CP|＋|CQ|＋|AP|＋|BQ|＝2|CP|＋|AB|＝4＞|AB|，

所以曲线M是以A，B为焦点，长轴长为4的椭圆（挖去与x轴的交点）．

设曲线M：

＋＝1（a＞b＞0，y≠0），

则a2＝4，b2＝a2－＝3，

所以曲线M的方程为＋＝1（y≠0）．

　　　　　　直接法求轨迹方程（多维探究）

角度一　已知动点满足的关系式求轨迹方程（或

判断轨迹）

已知点F（0，1），直线l：

y＝－1，P为平面上的动点，过点P作直线l的垂线，垂足为Q，且·＝·，则动点P的轨迹C的方程为（　　）

A．x2＝4y　　　　　　　B．y2＝3x

C．x2＝2yD．y2＝4x

【解析】　设点P（x，y），则Q（x，－1）．

因为·＝·，

所以（0，y＋1）·（－x，2）＝（x，y－1）·（x，－2），

即2（y＋1）＝x2－2（y－1），

整理得x2＝4y，

所以动点P的轨迹C的方程为x2＝4y.

【答案】　A

角度二　无明确等量关系求轨迹方程

（一题多解）已知直角三角形ABC的斜边为AB，且A（－1，0），B（3，0）．求：

直角顶点C的轨迹方程．

【解】　法一：

设C（x，y），因为A，B，C三点不共线，所以y≠0.

因为AC⊥BC，所以kAC·kBC＝－1，又kAC＝，kBC＝，所以·＝－1，化简得x2＋y2－2x－3＝0.

因此，直角顶点C的轨迹方程为x2＋y2－2x－3＝0（y≠0）．

法二：

设AB的中点为D，由中点坐标公式得D（1，0），由直角三角形的性质知|CD|＝|AB|＝2.由圆的定义知，动点C的轨迹是以D（1，0）为圆心，2为半径的圆（由于A，B，C三点不共线，所以应除去与x轴的交点）．

所以直角顶点C的轨迹方程为（x－1）2＋y2＝4（y≠0）．

直接法求曲线方程的一般步骤

（1）建立合理的直角坐标系．

（2）设出所求曲线上点的坐标，把几何条件或等量关系用坐标表示为代数方程．

（3）化简整理这个方程，检验并说明所求的方程就是曲线的方程．

直接法求曲线方程时最关键的就是把几何条件或等量关系“翻译”为代数方程，要注意“翻译”的等价性．

[提醒]　对方程化简时，只要前后方程解集相同，证明一步可以省略，必要时可说明x，y的取值范围．　

1．已知|AB|＝2，动点P满足|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹方程为________．

解析：

如图所示，以AB的中点O为原点，直线AB为x轴建立如图所示的平面直角坐标系，则A（－1，0），B（1，0）．

设P（x，y），因为|PA|＝2|PB|，

所以＝2，

整理得x2＋y2－x＋1＝0，

即＋y2＝.

所以动点P的轨迹方程为＋y2＝.

答案：

＋y2＝

2．如图，过点P（2，4）作两条互相垂直的直线l1，l2，若l1交x轴非负半轴于A点，l2交y轴非负半轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程．

解：

设点M坐标为（x，y）．

因为M（x，y）为线段AB中点，

所以点A，B的坐标分别为A（2x，0），B（0，2y）．

当x≠1时，因为l1⊥l2，且l1，l2过点P（2，4），

所以kPA·kPB＝－1，

即·＝－1（x≠1），

化简得x＋2y－5＝0（x≠1）．

当x＝1时，A，B分别为（2，0），（0，4），

所以线段AB的中点为（1，2），

满足方程x＋2y－5＝0（x≥0，y≥0）．

综上，M的轨迹方程为x＋2y－5＝0（x≥0，y≥0）．

　　　　　　相关点法（代入法）求轨迹方程（师生共研）

如图所示，抛物线E：

y2＝2px（p＞0）与圆O：

x2＋y2＝8相交于A，B两点，且点A的横坐标为2.过劣弧AB上动点P（x0，y0）作圆O的切线交抛物线E于C，D两点，分别以C，D为切点作抛物线E的切线l1，l2，l1与l2相交于点M.

（1）求p的值；

（2）求动点M的轨迹方程．

【解】　

（1）由点A的横坐标为2，可得点A的坐标为（2，2），

代入y2＝2px，解得p＝1.

（2）由

（1）知抛物线E：

y2＝2x.

设C，D，y1≠0，y2≠0，切线l1的斜率为k，则切线l1：

y－y1＝k，代入y2＝2x，

得ky2－2y＋2y1－ky＝0，由Δ＝0，解得k＝，

所以l1的方程为y＝x＋，

同理l2的方程为y＝x＋.

联立解得

易知CD的方程为x0x＋y0y＝8，

其中x0，y0满足x＋y＝8，x0∈[2，2]，

由得x0y2＋2y0y－16＝0，

则

代入

可得M（x，y）满足可得

代入x＋y＝8，并化简，得－y2＝1，

考虑到x0∈[2，2]，知x∈[－4，－2]，

所以动点M的轨迹方程为－y2＝1，x∈[－4，－2]．

1.如图，已知P是椭圆＋y2＝1上一点，PM⊥x轴于M.若＝λ.

（1）求N点的轨迹方程；

（2）当N点的轨迹为圆时，求λ的值．

解：

（1）设点P，点N的坐标分别为P（x1，y1），N（x，y），

则M的坐标为（x1，0），且x＝x1，

所以＝（x－x1，y－y1）＝（0，y－y1），

＝（x1－x，－y）＝（0，－y），

由＝λ得（0，y－y1）＝λ（0，－y）．

所以y－y1＝－λy，即y1＝（1＋λ）y.

因为P（x1，y1）在椭圆＋y2＝1上，

则＋y＝1，所以＋（1＋λ）2y2＝1，

故＋（1＋λ）2y2＝1为所求的N点的轨迹方程．

（2）要使点N的轨迹为圆，则（1＋λ）2＝，

解得λ＝－或λ＝－.

故当λ＝－或λ＝－时，N点的轨迹是圆．

2．已知曲线E：

ax2＋by2＝1（a＞0，b＞0），经过点M的直线l与曲线E交于点A，B，且＝－2.若点B的坐标为（0，2），求曲线E的方程．

解：

设A（x0，y0），因为B（0，2），M，

故＝，＝.

由于＝－2，

所以＝－2.

所以x0＝，y0＝－1，即A.

因为A，B都在曲线E上，

所以解得

所以曲线E的方程为x2＋＝1.

　分类讨论思想在曲线方程中的应用

　已知抛物线y2＝2px经过点M（2，－2），椭圆＋＝1的右焦点恰为抛物线的焦点，且椭圆的离心率为.

（1）求抛物线与椭圆的方程；

（2）若P为椭圆上一个动点，Q为过点P且垂直于x轴的直线上的一点，＝λ（λ≠0），试求Q的轨迹．

【解】　

（1）因为抛物线y2＝2px经过点M（2，－2），

所以（－2）2＝4p，解得p＝2.

所以抛物线的