专题04 导数与函数的单调性三年高考数学文真题分项版解析解析版.docx

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专题04导数与函数的单调性三年高考数学文真题分项版解析解析版

1.【2017浙江，7】函数y=f（x）的导函数的图像如图所示，则函数y=f（x）的图像可能是

【答案】D

【考点】导函数的图象

【名师点睛】本题主要考查导数图象与原函数图象的关系：

若导函数图象与轴的交点为，且图象在两侧附近连续分布于轴上下方，则为原函数单调性的拐点，运用导数知识来讨论函数单调性时，由导函数的正负，得出原函数的单调区间．

2【2015高考湖南，文8】设函数，则是（）

A、奇函数，且在（0,1）上是增函数B、奇函数，且在（0,1）上是减函数

C、偶函数，且在（0,1）上是增函数D、偶函数，且在（0,1）上是减函数

【答案】A

【解析】

函数，函数的定义域为（-1，1），函数所以函数是奇函数．，在（0,1）上，所以在（0,1）上单调递增，故选A.

【考点定位】利用导数研究函数的性质

【名师点睛】利用导数研究函数在（a，b）内的单调性的步骤：

（1）求；

（2）确认在（a，b）内的符号；（3）作出结论：

时为增函数；时为减函数．研究函数性质时，首先要明确函数定义域.

3.【2014全国2，文11】若函数在区间单调递增，则的取值范围是（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】D

【考点定位】函数的单调性.

【名师点睛】本题考查了利用函数的导数研究函数的单调性，不等式的恒成立，属于中档题，深入理解函数的单调性与函数导数之间的关系是解题的关键，注意不等式的恒成立的处理时端点值能否取到认真判断．

4.【2016高考新课标1文数】若函数在单调递增,则a的取值范围是（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】C

【解析】

试题分析：

对恒成立,

故,即恒成立,

即对恒成立,构造,开口向下的二次函数的最小值的可能值为端点值,故只需保证,解得．故选C．

考点：

三角变换及导数的应用

【名师点睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查,有所创新,求解关键是把函数单调性转化为不等式恒成立,再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题,注意与三角函数值域或最值有关的问题,要注意弦函数的有界性.

5.【2014湖南文9】若，则（）

A.B.

C.D.

【答案】C

【考点定位】导数单调性

【名师点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的性质，解决问题的关键是根据所给选项构造对应的函数，利用函数的性质分析其单调性，对选项作出判断.

6.【2017课标1，文21】已知函数=ex（ex﹣a）﹣a2x．

（1）讨论的单调性；

（2）若，求a的取值范围．

【答案】

（1）当，在单调递增；当，在单调递减，在单调递增；当，在单调递减，在单调递增；

（2）．

【解析】

试题分析：

（1）分，，分别讨论函数的单调性；

（2）分，，分别解，从而确定a的取值范围．

试题解析：

（1）函数的定义域为，，

①若，则，在单调递增．

②若，则由得．

当时，；当时，，所以在单调递减，在单调递增．

③若，则由得．

当时，；当时，，故在单调递减，在单调递增．

（2）①若，则，所以．

②若，则由

（1）得，当时，取得最小值，最小值为．从而当且仅当，即时，．

③若，则由

（1）得，当时，取得最小值，最小值为．从而当且仅当，即时．

综上，的取值范围为．

【考点】导数应用

【名师点睛】本题主要考查导数的两大方面的应用：

（一）函数单调性的讨论：

运用导数知识来讨论函数单调性时，首先考虑函数的定义域，再求出，有的正负，得出函数的单调区间；

（二）函数的最值（极值）的求法：

由确认的单调区间，结合极值点的定义及自变量的取值范围，得出函数极值或最值．

7.【2017课标，文21】设函数.

（1）讨论的单调性；

（2）当时，，求的取值范围.

【答案】（Ⅰ）在和单调递减，在单调递增（Ⅱ）

.

试题解析：

（1）

令得

当时，；当时，；当时，

所以在和单调递减，在单调递增

（2）

当a≥1时，设函数h（x）=（1-x）ex，h’（x）=-xex＜0（x＞0），因此h（x）在[0，+∞）单调递减，而h（0）=1，

故h（x）≤1，所以

f（x）=（x+1）h（x）≤x+1≤ax+1

当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex-x-1，g’（x）=ex-1＞0（x＞0），所以g（x）在在[0，+∞）单调递增，而g（0）=0，故ex≥x+1

当0＜x＜1，，，取

则

当时，取

综上，a的取值范围[1，+∞）

【考点】利用导数求函数单调区间，利用导数研究不等式恒成立

【名师点睛】利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.

8.【2017课标3，文21】已知函数=lnx+ax2+（2a+1）x．

（1）讨论的单调性；

（2）当a﹤0时，证明．

【答案】

（1）当时，在单调递增；当时，则在单调递增，在单调递减；

（2）详见解析

试题解析：

（1），

当时，，则在单调递增，

当时，则在单调递增，在单调递减.

（2）由

（1）知，当时，，

，令（），

则，解得，

∴在单调递增，在单调递减，

∴，∴，即，∴.

【考点】利用导数求单调性，利用导数证不等式

【名师点睛】利用导数证明不等式常见类型及解题策略

（1）构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.

（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.

9.【2017天津，文19】设，.已知函数，.

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）已知函数和的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，

（i）求证：

在处的导数等于0；

（ii）若关于x的不等式在区间上恒成立，求b的取值范围.

【答案】（Ⅰ）递增区间为，，递减区间为.

（2）（ⅰ）在处的导数等于0.（ⅱ）的取值范围是.

【解析】

在上恒成立，得，，再根据导数求函数的取值范围.

试题解析：

（I）由，可得

，

令，解得，或.由，得.

当变化时，，的变化情况如下表：

所以，的单调递增区间为，，单调递减区间为.

（II）（i）因为，由题意知，

所以，解得.

所以，在处的导数等于0.

（ii）因为，，由，可得.

又因为，，故为的极大值点，由（I）知.

另一方面，由于，故，

由（I）知在内单调递增，在内单调递减，

故当时，在上恒成立，从而在上恒成立.

由，得，.

令，，所以，

令，解得（舍去），或.

因为，，，故的值域为.

所以，的取值范围是.

【考点】1.导数的几何意义；2.导数求函数的单调区间；3.导数的综合应用.

【名师点睛】本题本题考点为导数的应用，本题属于中等问题，第一问求导后要会分解因式，并且根据条件能判断两个极值点的大小关系，避免讨论，第二问导数的几何意义，要注意切点是公共点，切点处的导数相等的条件，前两问比较容易入手，但第三问，需分析出，同时根据单调性判断函数的最值，涉及造函数解题较难，这一问思维巧妙，有选拔优秀学生的功能.

10.【2014山东.文20】（本题满分13分）

设函数

（1）若，求曲线处的切线方程；

（2）讨论函数的单调性.

【答案】

（1）.

（2）当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递减；

当时，在，上单调递减，

在上单调递增.

【解析】

性.其中时，情况较为单一，，函数在上单调递增，

当时，令，

由于，再分，，等情况加以讨论.

试题解析：

（1）由题意知时，，

此时，

可得，又，

所以曲线在处的切线方程为.

（2）函数的定义域为，

，

当时，，函数在上单调递增，

当时，令，

由于，

1当时，，

，函数在上单调递减，

2当时，，

，函数在上单调递减，

3当时，，

设是函数的两个零点，

则，，

由，

所以时，，函数单调递减，

时，，函数单调递增，

时，，函数单调递减，

综上可知，当时，函数在上单调递增；

当时，函数在上单调递减；

当时，在，上单调递减，

在上单调递增.

考点：

导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性，分类讨论思想.

【名师点睛】本题考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性等.解答本题的主要困难是（II）利用分类讨论思想，结合函数零点，确定函数的单调性.

本题是一道能力题，属于难题.在考查导数的几何意义、应用导数研究函数的单调性等基础知识、基本方法的同时，考查考生的计算能力、应用数学知识分析问题解决问题的能力，考查转化与化归思想及分类讨论思想.

11.[2016高考新课标Ⅲ文数]设函数．

（I）讨论的单调性；

（）证明当时，；

（）设，证明当时，.

【答案】（Ⅰ）当时，单调递增；当时，单调递减；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）见解析．

试题解析：

（Ⅰ）由题设，的定义域为，，令，解得.

当时，，单调递增；当时，，单调递减.………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，在处取得最大值，最大值为，

所以当时，，

故当时，，，即.………………7分

（Ⅲ）由题设，设，则．

令，解得.

当时，，单调递增；当时，，单调递减.……………9分

由（Ⅱ）知，，故．又，故当时，，

所以当时，.………………12分

考点：

1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式的证明与解法．

【思路点拨】求解导数中的不等式证明问题可考虑：

（1）首先通过利用研究函数的单调性，再利用单调性进行证明；

（2）根据不等式结构构造新函数，通过求导研究新函数的单调性或最值来证明．

12.【2016高考天津文数】（（本小题满分14分）

设函数，，其中

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）若存在极值点，且，其中，求证：

；

（Ⅲ）设，函数，求证：

在区间上的最大值不小于.

【答案】（Ⅰ）递减区间为，递增区间为，.（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）详见解析

【解析】

，当时，，③当时，.

试题解析：

（1）解：

由，可得，下面分两种情况讨论：

当时，有恒成立，所以的单调增区间为.

当时，令，解得或.

当变化时，、的变化情况如下表：

0

单调递增

极大值

单调递减

极小值

单调递增

所以的单调递减区间为，单调递增区间为，.

（2）证明：

因为存在极值点，所以由

（1）知且.

由题意得，即，

进而，

又，且，

由题意及

（1）知，存在唯一实数满足，且，因此，

所以.

（3）证明：

设在区间上的最大值为，表示，两数的最大值，下面分三种情况讨论：

当时，，由

（1）知在区间上单调递减，

所以在区间上的取值范围为，因此，

所以.

当时，，

由

（1）和

（2）知，，

所以在区间上的取值范围为，

所以

.

③当时，，由

（1）和

（2）知，

，，

所以在区间上的取值范围为，因此，

.

综上所述，当时，在区间上的最大值不小于.

考点：

导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式

【名师点睛】

1.求可导函数单调区间的一般步骤

（1）确定函数f（x）的定义域（定义域优先）；

（2）求导函数f′（x）；

（3）在函数f（x）的定义域内求不等式f′（x）＞0或f′（x）＜0的解集．

（4）由f′（x）＞0（f′（x）＜0）的解集确定函数f（x）的单调增（减）区间．若遇不等式中带有参数时，可分类讨论求得单调区间．

2．由函数f（x）在（a，b）上的单调性，求参数范围问题，可转化为f′（x）≥0（或f′（x）≤0）恒成立问题，要注