高考数学真题分类汇编专题06数列文科及答案.docx

高考数学真题分类汇编专题06数列文科及答案.docx

《高考数学真题分类汇编专题06数列文科及答案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学真题分类汇编专题06数列文科及答案.docx（20页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高考数学真题分类汇编专题06数列文科及答案

2015年高考数学真题分类汇编专题06数列文

1.【2015高考新课标1、文7】已知是公差为1的等差数列、为的前项和、若、则（）

（A）（B）（C）（D）

【答案】B

【解析】∵公差、、∴、解得=、∴、故选B.

【考点定位】等差数列通项公式及前n项和公式

【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等差数列定义、性质、通项公式、前n项和公式、利用方程思想和公式列出关于首项与公差的方程、解出首项与公差、利用等差数列性质可以简化计算.

2.【2015高考陕西、文13】中位数为1010的一组数构成等差数列、其末项为2015、则该数列的首项为________

【答案】5

【解析】若这组数有个、则、、又、所以；

若这组数有个、则、、又、所以；

故答案为5

【考点定位】等差数列的性质.

【名师点睛】1.本题考查等差数列的性质、这组数字有可能是偶数个、也有可能是奇数个.然后利用等差数列性质.2.本题属于基础题、注意运算的准确性.

3.【2015高考广东、文13】若三个正数、、成等比数列、其中、、则．

【答案】

【解析】因为三个正数、、成等比数列、所以、因为、所以、所以答案应填：

．

【考点定位】等比中项．

【名师点晴】本题主要考查的是等比中项、属于容易题．解题时要抓住关键字眼“正数”、否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等比中项的概念、即若、、成等比数列、则称为与的等比中项、即．

4.【2015高考福建、文16】若是函数的两个不同的零点、且这三个数可适当排序后成等差数列、也可适当排序后成等比数列、则的值等于________．

【答案】9

【解析】由韦达定理得、、则、当适当排序后成等比数列时、必为等比中项、故、．当适当排序后成等差数列时、必不是等差中项、当是等差中项时、、解得、；当是等差中项时、、解得、、综上所述、、所以．

【考点定位】等差中项和等比中项．

【名师点睛】本题以零点为载体考查等比中项和等差中项、其中分类讨论和逻辑推理是解题核心．三个数成等差数列或等比数列、项与项之间是有顺序的、但是等差中项或等比中项是唯一的、故可以利用中项进行讨论、属于难题．

5.【2015高考浙江、文10】已知是等差数列、公差不为零．若、、成等比数列、且、则、．

【答案】

【解析】由题可得、、故有、又因为、即、所以.

【考点定位】1.等差数列的定义和通项公式；2.等比中项.

【名师点睛】本题主要考查等差数列的定义和通项公式.主要考查学生利用等差数列的定义以及等比中项的性质、建立方程组求解数列的首项与公差.本题属于容易题、主要考查学生正确运算的能力.

6.【2015高考新课标1、文13】数列中为的前n项和、若、则.

【答案】6

【解析】∵、∴数列是首项为2、公比为2的等比数列、

∴、∴、∴n=6.

考点：

等比数列定义与前n项和公式

【名师点睛】解等差数列问题关键在于熟记等比数列定义、性质、通项公式、前n项和公式、利用方程思想和公式列出关于首项与公比的方程、解出首项与公比、利用等比数列性质可以简化计算.

7.【2015高考安徽、文13】已知数列中、、（）、则数列的前9项和等于.

【答案】27

【解析】∵时、

∴为首项、为公差的等差数列

∴

【考点定位】本题主要考查等差数列的定义、通项公式和前n项和公式的应用.

【名师点睛】能够从递推公式判断数列的类型或采用和种方法是解决本题的关键、这需要考生平时多加积累、同时本题还考查了等差数列的基本公式的应用、考查了考生的基本运算能力.

8.【2015高考福建、文17】等差数列中、、．

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设、求的值．

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．

【解析】（I）设等差数列的公差为．

由已知得、

解得．

所以．

（II）由（I）可得．

所以

．

【考点定位】1、等差数列通项公式；2、分组求和法．

【名师点睛】确定等差数列的基本量是．所以确定等差数列需要两个独立条件、求数列前n项和常用的方法有四种：

（1）裂项相消法（通过将通项公式裂成两项的差或和、在前n项相加的过程中相互抵消）；

（2）错位相减法（适合于等差数列乘以等比数列型）；（3）分组求和法（根据数列通项公式的特点、将其分解为等差数列求和以及等比数列求和）；（4）奇偶项分析法（适合于整个数列特征不明显、但是奇数项之间以及偶数项之间有明显的等差数列特征或等比数列特征）．

9.【2015高考北京、文16】（本小题满分13分）已知等差数列满足、．

（I）求的通项公式；

（II）设等比数列满足、、问：

与数列的第几项相等？

【答案】（I）；（II）与数列的第项相等.

【解析】

试题分析：

本题主要考查等差数列、等比数列的通项公式等基础知识、考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.（I）利用等差数列的通项公式、将转化成和、解方程得到和的值、直接写出等差数列的通项公式即可；（II）先利用第一问的结论得到和的值、再利用等比数列的通项公式、将和转化为和、解出和的值、得到的值、再代入到上一问等差数列的通项公式中、解出的值、即项数.

试题解析：

（Ⅰ）设等差数列的公差为.

因为、所以.

又因为、所以、故.

所以.

（Ⅱ）设等比数列的公比为.

因为、、

所以、.

所以.

由、得.

所以与数列的第项相等.

考点：

等差数列、等比数列的通项公式.

【名师点晴】本题主要考查的是等差数列的通项公式和等比数列的通项公式、属于中档题．本题通过求等差数列和等比数列的基本量、利用通项公式求解．解本题需要掌握的知识点是等差数列的通项公式和等比数列的通项公式、即等差数列的通项公式：

、等比数列的通项公式：

．

10.【2015高考安徽、文18】已知数列是递增的等比数列、且

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）设为数列的前n项和、、求数列的前n项和.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由题设可知、

又、可解的或（舍去）

由得公比、故.

（Ⅱ）

又

所以

.

【考点定位】本题主要考查等比数列的通项公式、性质、等比数列的前n项和、以及利用裂项相消法求和.

【名师点睛】本题利用“若、则”、是解决本题的关键、同时考生发现是解决本题求和的关键,本题考查了考生的基础运算能力.

11.【2015高考广东、文19】（本小题满分14分）设数列的前项和为、．已知、、、且当

时、．

（1）求的值；

（2）证明：

为等比数列；

（3）求数列的通项公式．

【答案】

（1）；

（2）证明见解析；（3）．

【解析】

试题分析：

（1）令可得的值；

（2）先将（）转化为、再利用等比数列的定义可证是等比数列；（3）先由

（2）可得数列的通项公式、再将数列的通项公式转化为数列是等差数列、进而可得数列的通项公式．

试题解析：

（1）当时、、即、解得：

（2）因为（）、所以（）、即（）、因为、所以、因为、所以数列是以为首项、公比为的等比数列

（3）由

（2）知：

数列是以为首项、公比为的等比数列、所以

即、所以数列是以为首项、公差为的等差数列、所以、即、所以数列的通项公式是

考点：

1、等比数列的定义；2、等比数列的通项公式；3、等差数列的通项公式.

【名师点晴】本题主要考查的是等比数列的定义、等比数列的通项公式和等差数列的通项公式、属于难题．

本题通过将的递推关系式转化为的递推关系式、利用等比数列的定义进行证明、进而可得通项公式、根据通项公式的特点构造成等差数列进行求解．解题时一定要注意关键条件“”、否则很容易出现错误．解本题需要掌握的知识点是等比数列的定义、等比数列的通项公式和等差数列的通项公式、即等比数列的定义：

（常数）、等比数列的通项公式：

、等差数列的通项公式：

．

12.【2015高考湖北、文19】设等差数列的公差为d、前n项和为、等比数列的公比为q．已知、、、．

（Ⅰ）求数列、的通项公式；

（Ⅱ）当时、记、求数列的前n项和．

【答案】（Ⅰ）或；（Ⅱ）.

【考点定位】本题综合考查等差数列、等比数列和错位相减法求和、属中档题.

【名师点睛】这是一道简单综合试题、其解题思路：

第一问直接借助等差、等比数列的通项公式列出方程进行求解、第二问运用错位相减法直接对其进行求和.体现高考坚持以基础为主、以教材为蓝本、注重计算能力培养的基本方向.

13.【2015高考湖南、文19】（本小题满分13分）设数列的前项和为、已知、且、

（I）证明：

；

（II）求。

【答案】（I）略；（II）

【解析】

试题分析：

（I）当时、由题可得、、两式子相减可得、即、然后验证当n=1时、命题成立即可；（II）通过求解数列的奇数项与偶数项的和即可得到其对应前n项和的通项公式.

试题解析：

（I）由条件、对任意、有、

因而对任意、有、

两式相减、得、即、

又、所以、

故对一切、。

（II）由（I）知、、所以、于是数列是首项、公比为3的等比数列、数列是首项、公比为3的等比数列、所以、

于是

从而、

综上所述、。

【考点定位】数列递推关系、数列求和

【名师点睛】已知数列{an}的前n项和Sn、求数列的通项公式、其求解过程分为三步：

（1）先利用a1＝S1求出a1；

（2）用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系、利用an＝Sn－Sn－1（n≥2）便可求出当n≥2时an的表达式；（3）对n＝1时的结果进行检验、看是否符合n≥2时an的表达式、如果符合、则可以把数列的通项公式合写；如果不符合、则应该分n＝1与n≥2两段来写．数列求和的常用方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法、分组求和法、并项求和法等、可根据通项特点进行选用.

14。

【2015高考湖南、文21】（本小题满分13分）函数、记为的从小到大的第个极值点。

（I）证明：

数列是等比数列；

（II）若对一切恒成立、求的取值范围。

【答案】（I）略；（II）

【解析】

试题分析：

（I）由题、令、求出函数的极值点、根据等比数列定义即可得到结果；（II）由题意问题等价于恒成立问题、设、然后运用导数知识得到、所以、求得、得到的取值范围；

试题解析：

（I）

令、由、得、即、

而对于、当时、

若、即、则；

若、即、则；

因此、在区间与上、的符号总相反、于是当时、取得极值、所以、此时、

、易知、而

是常数、

故数列是首项为、公比为的等比数列。

（II）对一切恒成立、即恒成立、亦即

恒成立、

设、则、令得、

当时、、所以在区间上单调递减；

当时、、所以在区间上单调递增；

因为、且当时、所以

因此、恒成立、当且仅当、解得、

故实数的取值范围是。

【考点定位】恒成立问题；等比数列的性质

【名师点睛】解决数列与函数的综合问题时、如果是证明题要根据等比数列的定义明确证明的方向、如果是不等式恒成立问题、要使用不等式恒成立的各种不同解法、如变量分离法、最值法、因式分解法等、总之解决这类问题把数列看做特殊函数、并把它和不等式的知识巧妙结合起来综合处理就行了．

15.【2015高考山东、文19】已知数列是首项为正数的等差数列、数列的前项和为.

（I）求数列的通项公式；

（II）设、求数列的前项和.

【答案】（I）（II）

【解析】

（I）设数列的公差为、

令得、所以.

令得、所以.

解得、所以

（II）由（I）知所以

所以

两式相减、得

所以

【考点定位】1.等差数列的通项公式；2.数列的求和、“错位相减法”.

【名师点睛】本题考查了等差数列的通项公式、等比数列的求和、“错位相减法”等、解答本题的关键、首先是注意运用从一般到特殊的处理方法、准确确定等差数列的通项公式；其次就是能对所得数学式子准确地变形、本题易错点在于错位相减后求和时、弄错数列的项数、或忘记从化简到.

本题是一道能力题、属于中等题.在考查等差数列