高三总复习直线与圆的方程知识点总结及典型例题docxWord文档下载推荐.docx
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5过原点：
y=kX
两个重要结论：
①平面内任何一条直线的方程都是关于x、y的二元一次方程。
②任何一个关于X、y的二元一次方程都表示一条直线。
5、直线系：
（1）共点直线系方程：
p0（X0,y0）为定值，k为参数y-y0=k（x-x0）特别：
y=kx+b,表示过（0、b）的直线系（不含y轴）
（2）平行直线系：
①y=kx+b,k为定值，b为参数。
2AX+BY+入=0表示与Ax+By+C=0平行的直线系
3BX-AY+入=0表示与AX+BY+C垂直的直线系
（3）过L1,L2父点的直线系A1X+B1y+C1+入（A2X+B2Y+C2）=0（不含l2）
6、三点共线的判定：
①AB∙BC=AC,②KAB=KBC,
③写出过其中两点的方程，再验证第三点在直线上。
、两直线的位置关系
1、
L1:
y=k1χ+b1
L2:
y=k2x+b2
L1：
A1X+B1Y+C1=0
L2：
A2X+B2Y+C2=0
Li与L2组成的方程组
平行=
K1=k2且S≠b2
AIB1亠C1
A2B2C2
无解
重合=
K1=k2且b1=b2
AjB1C1
有无数多解
相交U
K1≠k2
AIJBI
A2B2
有唯一解
垂直U
K1∙k2=-1
A1A2+BiB2=0
（说明：
当直线平行于坐标轴时，要单独考虑）
k一k
_k2-∙kι
^1k2k1
2、Ll到L2的角为。
，则ta»
#1（k1k2—1）
4、点到直线距离：
^lAXIBy^C（已知点（P0（χ0,y°
）,L:
ax+by+c=0）IA2+B2
3、夹角:
①两行平线间距离：
Ci—C2
Li=AX+BY+C1=0L2：
AX+BY+C2=0=d=』=
√A^B2
②与AX+BY+C=O平行且距离为d的直线方程为Ax+By+C±
d.A2B2=0
③与AX+BY+C1=0和AX+BY+C2=0平行且距离相等的直线方程是
AXBYC—CI=0
5、对称：
（1）点关于点对称：
p（x1,y1）关于M（xo,yo）的对称P（2X0—■X1,2Y）-■Y∣）
（2）点关于线的对称：
设p（a、b）
对称轴
对称点PH
X轴
P（a、-b）
Y=-X
pCb、-a）
Y轴
p（-a、b）
X=m（m≠0）
p"
（2m-a、b）
y=x
P（b、a）
y=n（n≠0）
PH（a、2n-b）
般方法:
如图：
（思路1）设P点关于L的对称点为Po（χo,yo）贝V.Kppo*Kl=-1
TP,Po中点满足L方程
解出Po（xo,yo）
（思路2）写出过P⊥L的垂线方程，先求垂足，然后用中点坐标公式求出
Po（xo,yo）的坐标。
（3）直线关于点对称
L:
AX+BY+C=0关于点P（Xo、Yo）的对称直线∣：
A（2X°
-X）+B（2Yo-Y）+C=O
（4）直线关于直线对称
1
几种特殊位置的对称：
已知曲线f（x、y）=0
般位置的对称、结合平几知识找出相关特征，逐步求解。
三、简单的线性规划
约束条件、线性约束条件、目标函数、线性目标函数、线性规划，可行解，最优解。
要点：
①作图必须准确（建议稍画大一点）。
②线性约束条件必须考虑完整。
③先找可行域再找最优解。
四、圆的方程
22
1、圆的方程：
①标准方程（x—a）+（y—b）=r，C（a、b）为圆心，r为半径。
②一般方程：
x2y2DXEYF=O，
Cr]r「D2+E—F
I22丿2
当D2*E2-4F=0时，表示一个点。
当DE-4F：
0时，不表示任何图形。
y=b+rsin日日为参数
以A（Xi,Yι）,B（X2,Y2）为直径的两端点的圆的方程是
（X-Xi）（X-X2）+（Y-Yi）（丫-丫2）=0
2、点与圆的位置关系：
考察点到圆心距离d然后与r比较大小。
3、直线和圆的位置关系：
相交、相切、相离
判定：
①联立方程组，消去一个未知量，得到一个一元二次方程：
△>
O=相交、△=O=
相切、△<
0=相离
2利用圆心C（a、b）到直线AX+BY+C=0的距离d来确定：
dvr：
=相交、d=r：
=相切d>
r=相离
（直线与圆相交，注意半径、弦心距、半弦长所组成的kt△）
4、圆的切线：
（1）过圆上一点的切线方程
2222
与圆Xy=r相切于点（x1、y1）的切线方程是XiXy1r
与圆（x-a）2∙（y-b）2=r2相切于点（xi、yi）的切成方程
为：
（Xi-a）（x-a）（%-b）（y-b）=r2
与圆x2y2DXEYF=0相切于点（xi、yi）的切线是
χ+χiy+yi
XiXyiyD（i）E（i）F=0
（x-a）2（y-b）2=r2外一点
（Xi-a）2（yi-b）2
①设切点是Pi（Xi、yi）解方程组
先求出Pi的坐标，再写切线的方程
②设切线是y-y0=k（x-x0）即kx-y-kx0∙y0=0
∣ka—b-kx0+y0
再由,=r,求出k,再写出方程。
Jk2+i
（当k值唯一时，应结合图形、考察是否有垂直于X轴的切线）
3已知斜率的切线方程：
设y=kx∙b（b待定），利用圆心到L距离为r,确定b。
5、圆与圆的位置关系
、相切（外切、内切）
由圆心距进行判断、相交、相离（外离、内含）
6、圆系
1同心圆系：
（x_a）2∙（y-b）2=r2,（a、b为常数，r为参数）
或：
x2y2DXEY0（D、E为常数，F为参数）
2圆心在X轴：
（x「a）2∙y2=r2
222
3圆心在y轴：
X（^b）^r
4过原点的圆系方程（χ_a）2亠（y_b）2=a2亠b2
5过两圆C1:
X2y2D1XE1Y-FI=O和
C2:
X2y2D2X■E2Y■F2=0的交点的圆系方程为
X2+y2+D1X+E1Y+F1+入（x2+y2+D2X+E2Y+F2=0（不含C2），其中
入为参数
若C1与C2相交，则两方程相减所得一次方程就是公共弦所在直线方程。
类型一：
圆的方程
例1求过两点A（1,4）、B（3,2）且圆心在直线y=0上的圆的标准方程并判断点P（2,4）与
圆的关系.
分析：
欲求圆的标准方程，需求出圆心坐标的圆的半径的大小，而要判断点P与圆的
位置关系，只须看点P与圆心的距离和圆的半径的大小关系，若距离大于半径，则点在圆外；
若距离等于半径，则点在圆上；
若距离小于半径，则点在圆内•
解法一：
（待定系数法）
设圆的标准方程为（x「a）2∙（y「b）2=r2.
∙.∙圆心在y=0上，故b=0.
圆的方程为（x-a）2∙y2=r2.
又•••该圆过A（1,4）、B（3,2）两点.
."
（1—a）2+16=r2
.∙.J
（3-a）24=r2
解之得：
a=-1,r2=20.
所以所求圆的方程为（χ∙1）2∙y2=20.
解法二：
（直接求出圆心坐标和半径）
因为圆过A（1,4）、B（3,2）两点，所以圆心C必在线段AB的垂直平分线I上，又因为
4—2
kAB1,故I的斜率为1,又AB的中点为（2,3）,故AB的垂直平分线I的方程
1-3
y「3=x-2即x-y1=0.
又知圆心在直线y=0上，故圆心坐标为C（―1,0）
•••半径r=AC=J（I+I）2十42=√20.
故所求圆的方程为（χ∙1）2y2=20.
又点P（2,4）到圆心C（-1,0）的距离为
d=∣PC=讥2+1）2+42=^25>
r.
•点P在圆外.
说明：
本题利用两种方法求解了圆的方程，都围绕着求圆的圆心和半径这两个关键的量，然
后根据圆心与定点之间的距离和半径的大小关系来判定点与圆的位置关系，若将点换成直线
又该如何来判定直线与圆的位置关系呢？
例2求半径为4,与圆X2∙y2一4χ-2y-4=0相切，且和直线y=0相切的圆的方程.
根据问题的特征，宜用圆的标准方程求解.
解：
则题意，设所求圆的方程为圆C:
（x-a）2∙（y-b）2=r2.
圆C与直线y=0相切，且半径为4,则圆心C的坐标为C1（a,4）或C2（a,-4）.
又已知圆Xy-4x-2y-4=0的圆心A的坐标为（2,1）,半径为3.
若两圆相切，则CA=4■3=7或CA=4-3=1.
（1）当G（a,4）时，（a-2）2（4-1）2=72,或（a-2）2（4_1）2=12（无解），故可得
a=2一210.
•所求圆方程为（x-2-2.10）2（y-4）2=42,或（x_22,10）2（y_4）2=42.
⑵当C2（a,-4）时，（a-2）2（-4-1）2=72,或（a-2）2（-4-1）2=12（无解），故
a=2一26
•所求圆的方程为（x-2-2∙.6）2∙（y•4）2=42,或（x-2•26）2（y4）^42.
对本题，易发生以下误解：
由题意，所求圆与直线y=0相切且半径为4,则圆心坐标为C（a,4）,且方程形如
（x—a）2（y—4）2=42∙又圆X2y2—4x—2y一4=0,即（x-2）2（y_1）2=32,其圆
心为A（2,1）,半径为3•若两圆相切，则CA=4•3•故（a_2）2•（4_1）2=72,解之得222
a=2_2...10•所以欲求圆的方程为（χ-2-2∖10）∙（y-4）=4,或
（X-2210）2（y-4）2=42•
上述误解只考虑了圆心在直线y=0上方的情形，而疏漏了圆心在直线y=0下方的情形.另
外，误解中没有考虑两圆内切的情况•也是不全面的.
例3求经过点A（0,5）,且与直线x-2y=0和2x-y=0都相切的圆的方程.
欲确定圆的方程.需确定圆心坐标与半径，由于所求圆过定点A,故只需确定
圆心坐标.又圆与两已知直线相切，故圆心必在它们的交角的平分线上.
•••圆和直线x-2y=0与2x^0相切，
•••圆心C在这两条直线的交角平分线上，
又圆心到两直线x-2y=0和2χ∙y=0的距离相等.
•x-2y∣_|x+2y|
…、5「•
•两直线交角的平分线方程是X∙3y=0或3x-y=0•
又•••圆过点A（0,5）,
•圆心C只能在直线3x-y=0上.
设圆心C（t,3t）
∙∙∙C到直线2x+y=0的距离等于AC
化简整理得t2-6t•5=0.
解得：
t=1或t=5
•圆心是（1,3）,半径为,5或圆心是（5,15）,半径为55.
•所求圆的方程为（x-1）2（y_3）2=5或（x_5）2（y-15）2=125.
从而确定圆心坐标得
本题解决的关键是分析得到圆心在已知两直线的交角平分线上,到圆的方程，这是过定点且与两已知直线相切的圆的方程的常规求法.
例4、设圆满足：
（1）截y轴所得弦长为2;
（2）被X轴分成两段弧，其弧长的比为3:
1,在
满足条件
（1）
（2）的所有圆中，求圆心到直线l:
x-2y=0的距离最小的圆的方程.
只须利用条件求出圆心坐标和半径，便可求得圆的标准方程•满
的半径，求出圆的方程.
设圆心为P（a,b）,半径为r•
则P到X轴、y轴的距离分别为b和a•
由题设知：
圆截X轴所得劣弧所对的圆心角为90,故圆截X轴所得弦长为..2r•
∙∙∙r2=2b2
又圆截y轴所得弦长为2•
又∙∙∙P（a,b）到直线x-2y=O的距离为
a-2b
.5
=a4b-4ab
-a24b-2（a2b2）
=2b-a=1
..5
a=b
这时有JOO
Zb2_a2=1∙』a=1或；
a=T••丿或」
A=1b=—1
又r2=2b2=2
故所求圆的方程为（χ_1）2∙（y一1）2=2或（X■1）2（y1）2=2
同解法一，得
a—2b∣
√5
∙∙∙a-2b=、5d.
∙∙∙a2=4b2_4一5bd5d2.
将a2=2b2-1代入上式得：
2b2_45bd5d21=O.
上述方程有实根，故
.-8（5d2-1）-0,
∙d二.
5
J5将d'
代入方程得bhV.
又2b2=a21∙a=一1.
由a—2b=1知a、b同号.
故所求圆的方程为（x-1）2∙（y-1）2=2或（X1）2（y1）^2.
本题是求点到直线距离最小时的圆的方程，若变换为求面积最小呢？
类型二：
切线方程、切点弦方程、公共弦方程
例5已知圆O:
X2y^4,求过点P2,4与圆O相切的切线.
-2k42
1k2^
•••点P2,4不在圆O上，∙切线PT的直线方程可设为y=kx-24
根据d=r
解得
3
所以yx_2∙4
4
即3x_4y10=O
因为过圆外一点作圆得切线应该有两条，可见另一条直线的斜率不存在.易求另一条切
线为X=2.
上述解题过程容易漏解斜率不存在的情况，要注意补回漏掉的解.
本题还有其他解法，例如把所设的切线方程代入圆方程，用判别式等于0解决（也要注意漏
解）.还可以运用X0Xy0y=r2,求出切点坐标x0、y0的值来解决，此时没有漏解.
例6两圆C1:
XyD1xE1yF1=0与C2:
Xy■D2X■E2y∙F2=0相交于
A、B两点，求它们的公共弦AB所在直线的方程.
首先求A、B两点的坐标，再用两点式求直线AB的方程，但是求两圆交点坐
标的过程太繁•为了避免求交点，可以采用“设而不求”的技巧.
设两圆G、C2的任一交点坐标为（X0,y°
）,则有：
X乂D1×
0E1y0F1=0①
X0y0D2X0E2y0F2=O②
①—②得：
（D1-D2）X0（E^E2）y0F1-F2=0.
∙∙∙A、B的坐标满足方程（D1-D2）x∙（E1-E2）y∙F1-F2=0.
••方程（D1-D2）x（E1-E2）yFI-F^-O是过A、B两点的直线方程.
又过A、B两点的直线是唯一的.
•两圆G、C2的公共弦AB所在直线的方程为（U-D2）x*（E^E2）yF1-F2=0.
上述解法中，巧妙地避开了求A、B两点的坐标，虽然设出了它们的坐标，但并没
有去求它，而是利用曲线与方程的概念达到了目标.从解题的角度上说，这是一种“设而不求”的技巧，从知识内容的角度上说，还体现了对曲线与方程的关系的深刻理解以及对直线方程是一次方程的本质认识.它的应用很广泛.
例7、过圆Xy=1外一点M（2,3）,作这个圆的两条切线MA、MB,切点分别是A、B,求直线AB的方程。
练习：
1.求过点M（3,1）,且与圆（X-1）2∙y2=4相切的直线丨的方程.
设切线方程为y-1=k（x-3）,即kx-y-3k*1=0,
•••圆心（1,0）到切线丨的距离等于半径2,
∙∙∙Z3k11=2,解得k「3,
Jk2+（—1）24
•••切线方程为y—1（x—3）,即3χ∙4y-13=0,
当过点M的直线的斜率不存在时，其方程为X=3,圆心（1,0）到此直线的距离等于半径2,
故直线X=3也适合题意。
所以，所求的直线l的方程是3x∙4y一13=0或x=3.
,225
2、过坐标原点且与圆Xy-4x2y0相切的直线的方程为
设直线方程为y=kx,即kx—y=0.∙.∙圆方程可化为（x-2）2∙（y∙1）2二5,•圆心
√r10∣2k+1√i0I
为（2,-1）,半径为•依题意有S1=,解得k=-3或k=-,•••直线方程
2Jk2+123
1为y=-3x或yx.
3、已知直线5x12y∙a=0与圆X-2xy=0相切，则a的值为.
解:
•••圆（x—1）2+y2=1的圆心为（1,0）,半径为1,•∣5+al=1,解得a=8或a=-18.
λ⅛2+122
类型三：
弦长、弧问题
例8、求直线l:
3x-y-6=0被圆C：
x2∙y2-2x-4y=0截得的弦AB的长.
例9、直线3x20截圆X2∙y2=4得的劣弧所对的圆心角为
依题意得，弦心距d=J3,故弦长AB=2^r2-d2=2,从而△OAB是等边三角形,故截得的劣弧所对的圆心角为.AOB.
例10、求两圆χ2∙y2-X∙y-2=0和x2y2=5的公共弦长
类型四：
直线与圆的位置关系
例11、已知直线3x0和圆X2y^4,判断此直线与已知圆的位置关系.
例12、若直线y=x∙m与曲线y=•..4-X2有且只有一个公共点，求实数m的取值范围.
•••曲线y=∙,4-x2表示半圆X2∙y2=4（y-0）,•利用数形结合法，可得实数m的
取值范围是-∙2一m：
2或m=2•一2.
例13圆（x一3）2∙（y-3）2=9上到直线3χ∙4y-11=0的距离为1的点有几个？
借助图形直观求解•或先求出直线I1、I2的方程，从代数计算中寻找解答.
圆（x_3）2∙（y一3）2=9的圆心为Oι（3,3）,半径r=3.3疋3十4汉3—11|
设圆心O1到直线3x+4y—11=0的距离为d,贝Ud=._1=2c3.
J32+42
如图，在圆心Ol同侧，与直线3x4y-11=0平行且距离为1的直线h与圆有两个交点，这两个交点符合题意.
又r—d=3-2=1.
•••与直线3x4y-1^0平行的圆的切线的两个切点中有一个切点也符合题意.
•••符合题意的点共有3个.
符合题意的点是平行于直线3x∙4y-11=0,且与之距离为1的直线和圆的
m11
交点.设所求直线为3χ∙4y∙m=0,则d1,
v'
3^42
•m11=5,即m--6,或m--16,也即
h：
3X4y-6=0,或∣2i3X4y-16=0.
设圆O：
x-3）2∙（y-3）2=9的圆心到直线∣1、∣2的距离为4、d?
则
•∣1与O1相切，与圆O1有一个公共点；
∣2与圆O］相交，与圆O1有两个公共点.即符
合题意的点共3个.
对于本题，若不留心，则易发生以下误解:
3242
设圆心O1到直线3x∙4y-11=0的距离为d,则d-
•圆O1到3x4y-11=0距离为1的点有两个.
显然，上述误解中的d是圆心到直线3x4y_1^0的距离，d<
r,只能说明此直
线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1.
到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中
所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点.求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线
的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断.
练习1：
直线x^1与圆X2∙y2-2ay=O（a■0）没有公共点，贝Ua的取值范围是
a_iB_B_
依题意有Aa,解得—J2—1<
acI.：
a>
0,∙'
∙0ca<
√2—1∙
√2
练习2：
若直线y=kx■2与圆（x—2）2∙（y-3）2=1有两个不同的交点，则k的取值范围
是.
∣2k-1||44
依题意有1,解得0:
:
k,∙∙∙k的取值范围是（0,）.
√k2+133
练习3、圆χ2y22x4y-=0上到直线X∙y•1=0的距离为2的点共有（）•
（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个
把X2+y2+2x+4y_3=0化为（x+1（+（y+2『=8,圆心为（_1厂2）,半径
为r=22,圆心到直线的距离为,2,所以在圆上共有三个点到直线的距离等于、2,所
以选C.
练习4、过点P-3,-4作直线丨，当斜率为何值时，直线丨与圆C:
x-12∙y•22=4
有公共点，如图所示.
观察动画演示，分析思路.解：
设直线丨的方程为
y4=kX3
即
kx-y3k-4=0
根据d-r有
k+2+3k—4
∏匚厂兰2
整理得
3k2-
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