7A文数列的极限典型例题.docx

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7A文数列的极限典型例题

第一讲数列的极限

一、内容提要

1.数列极限的定义

，有.

注1的双重性.一方面,正数具有绝对的任意性,这样才能有

无限趋近于

另一方面,正数又具有相对的固定性,从而使不等式.还表明数列无限趋近于的渐近过程的不同程度,进而能估算趋近于的近似程度.

注2　若存在，则对于每一个正数，总存在一正整数与之对应，但这种不是唯一的，若满足定义中的要求，则取，作为定义中的新的一个也必须满足极限定义中的要求，故若存在一个则必存在无穷多个正整数可作为定义中的．

注3　的几何意义是：

对的预先给定的任意邻域，在中至多除去有限项，其余的无穷多项将全部进入．

注4　，有.

2.　子列的定义

在数列中，保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为的子列，记为，其中表示在原数列中的项数，表示它在子列中的项数．

注1对每一个，有．

注2对任意两个正整数，如果，则．反之，若，则．

注3，有.

注4的任一子列收敛于.

3.数列有界

对数列，若，使得对，有，则称数列为有界数列．

4.无穷大量

对数列，如果，，有，则称为无穷大量，记作．

注1只是一个记号，不是确切的数．当为无穷大量时，数列是发散的，即不存在．

注2若，则无界，反之不真．

注3设与为同号无穷大量，则为无穷大量．

注4设为无穷大量，有界，则为无穷大量．

注5设为无穷大量，对数列，若，使得对，有，则为无穷大量．特别的，若，则为无穷大量．

5.无穷小量

若，则称为无穷小量．

注1若，有界，则．

注2若，则；若，且使得对，，则．

6.收敛数列的性质

（1）若收敛，则必有界，反之不真．

（2）若收敛，则极限必唯一．

（3）若，，且，则，使得当时，有．

注这条性质称为“保号性”，在理论分析论证中应用极普遍．

（4）若，，且，使得当时，有，则．

注这条性质在一些参考书中称为“保不等号（式）性”．

（5）若数列、皆收敛，则它们和、差、积、商所构成的数列，，，（）也收敛，且有

　　　　　　　　　　　　　，

　　　　　　　　　　　　　，

　　　　　　　　　　　　（）．

7.迫敛性（夹逼定理）

若，使得当时，有，且，则．

8.单调有界定理

单调递增有上界数列必收敛，单调递减有下界数列必收敛．

9.Cauchy收敛准则

数列收敛的充要条件是：

，有．

注　Cauchy收敛准则是判断数列敛散性的重要理论依据．尽管没有提供计算极限的方法，但它的长处也在于此――在论证极限问题时不需要事先知道极限值．

10.BolzanoWeierstrass定理

有界数列必有收敛子列．

11.

12.几个重要不等式

（1）

（2）算术－几何－调和平均不等式：

对记

（算术平均值）

（几何平均值）

（调和平均值）

有均值不等式:

等号当且仅当时成立.

（3）Bernoulli不等式:

（在中学已用数学归纳法证明过）

对由二项展开式

（４）Cauchy－Schwarz不等式:

　（）,有

（５），

13.　O.Stolz公式

二、典型例题

1．用“”“”证明数列的极限．（必须掌握）

例１　用定义证明下列各式：

（１）；

（２）设，，则；（97，北大，10分）

（３）

证明：

（１），欲使不等式

成立，只须，于是，，取，当时，有

即．

（２）由，，知，有，则

于是，，有，

即　　　　　　　　　　　　　．

（３）已知，因为

，

所以，，欲使不等式成立，只须．

　　于是，，取，当时，有

　　　　　　，

即　　　　　　　　．

评注１　本例中，我们均将做了适当的变形，使得，从而从解不等式中求出定义中的．将放大时要注意两点：

①应满足当时，．这是因为要使，必须能够任意小；②不等式容易求解．

评注２　用定义证明，对，只要找到一个自然数，使得当时，有即可．关键证明的存在性．

评注３　在第二小题中，用到了数列极限定义的等价命题，即：

（１），有（为任一正常数）.

（２），有.

例２　用定义证明下列各式：

（１）；（92，南开，10分）

（２）

证明：

（１）（方法一）由于（），可令（），则

（）

当时，，有

即　　　　　．

，欲使不等式成立，只须．

于是，，取，当时，有

，

即　　　　　　　　．

（方法二）因为

，

所以，

，欲使不等式成立，只须．

于是，，取，当时，有

，

即　　　　　　　　．

（２）当时，由于，可记（），则

（）

当时，，于是有

．

，欲使不等式成立，只须．

对，取，当时，有

．

当时，（），而．

则由以上证明知，有，即

，

故．

评注１　在本例中，，要从不等式中解得非常困难．根据的特征，利用二项式定理展开较容易．要注意，在这两个小题中，一个是变量，一个是定值．

评注２　从第一小题的方法二可看出算术－几何平均不等式的妙处．

评注３　第二小题的证明用了从特殊到一般的证法．

例　用定义证明：

（）（山东大学）

证明：

当时，结论显然成立．

当时，欲使成立，

只须．于是，取，当时，有

即　　　　　　　　　　　　　　　．

例　设，用“”语言，证明：

．

证明：

当时，结论恒成立．

当时，，欲使

只须．于是，取，当时，有

即　　　　　　　　　　　　　　　．

2.迫敛性（夹逼定理）

项和问题可用夹逼定理、定积分、级数来做，通项有递增或递减趋势时考虑夹逼定理．

，，有界，但不能说明有极限．使用夹逼定理时，要求趋于同一个数．

例求证：

（为常数）．

分析：

，因为固定常数，必存在正整数，使，因此，自开始，，，，且时，．

证明：

对于固定的，必存在正整数，使，当时，有

，

由于，由夹逼定理得，

即．

评注当极限不易直接求出时，可将求极限的变量作适当的放大或缩小，使放大、缩小所得的新变量易于求极限，且二者极限值相同，直接由夹逼定理得出结果．

例若是正数数列，且，则

．

证明：

由，知

即．

于是，，而由已知

及

故

由夹逼定理得．

评注1极限四则运算性质普遍被应用，值得注意的是这些性质成立的条件，即参加运算各变量的极限存在，且在商的运算中，分母极限不为0．

评注2对一些基本结果能够熟练和灵活应用．例如：

（1）（）

（2）（）

（3）（）（4）

（5）（）（6）

例　证明：

若（有限或），则

（有限或）．

证明：

（１）设为有限，因为，则，有.

于是

．

其中为非负数．

因为，故对上述的，有．

取当时，有

即　　　　　　　　　　　　　　　．

（２）设，因为，则，有，且．于是

取，当时，，于是

．

即　　　　　　　　　　　　

（３）时证法与（２）类似．

评注１　这一结论也称Cauchy第一定理，是一个有用的结果，应用它可计算一些极限，例如：

（１）（已知）；

（２）（已知）．

评注２　此结论是充分的，而非必要的，但若条件加强为“为单调数列”，则由可推出．

评注３　证明一个变量能够任意小，将它放大后，分成有限项，然后证明它的每一项都能任意小，这种“拆分方法”是证明某些极限问题的一个常用方法，例如：

若，（为有限数），证明：

．

分析：

令，则

．

只须证　　　　（）

由于，故，有．于是

再利用（）即得．

例　求下列各式的极限：

（１）

（２）

（３）

解：

（１）

∵，

，

由夹逼定理，

∴

（２）

∵，由夹逼定理，

∴．

（３）∵，

∴．

∵，由夹逼定理，

∴．

评注　的极限是１，用此法体现了“１”的好处，可以放前，也可放后．若极限不是１，则不能用此法，例如：

，求．

解：

∵，单调递减，单调递减有下界，故其极限存在．

令，∵

∴，　，

∴，

即　　　　　　　　　　　　　．

（中科院）

评注　拆项：

分母是两项的积，

　　　插项：

分子、分母相差一个常数时总可以插项．

３单调有界必有极限

常用方法：

①；②；③归纳法；④导数法．

　　　　　　　　　　单调递增

　　　　　单调递减

　　　　　不解决决问题．

命题：

，若单调递增，且（），则单调递增（单调递减）．

例求下列数列极限：

（1）设，，；（98，华中科大，10分）

（2）设，；（04，武大）

（3）设，，（）．（20XX,浙大）

解：

（1）首先注意，所以为有下界数列．

另一方面，因为

．

（或）

故为单调递减数列．因而存在，且记为．

由极限的四则运算，在两端同时取极限，得．并注意到，解得．

（2）注意到，于是为有界数列．

另一方面，由

知．

即与保持同号，因此为单调数列，所以存在（记为）．

　　由极限的四则运算，在两端同时取极限，得．并注意到，解得．

（3）由于,

又,

所以．

评注１　求递归数列的极限，主要利用单调有界必有极限的原理，用归纳法或已知的一些基本结果说明数列的单调、有界性．在说明递归数列单调性时，可用函数的单调性．下面给出一个重要的结论：

设（），若在区间上单调递增，且（或），则数列单调递增（或单调递减）．

评注2　第三小题的方法较为典型，根据所给的之间的关系，得到与的等式，再利用错位相减的思想，将数列通项写成级数的表达式．

例　设为任意正数，且，设，（），则，收敛，且极限相同．

证明：

由，知

　　　　　　　　　　　　．

则，即为单调有界数列．

又，且

，

所以亦为单调有界数列．

由单调有界必有极限定理，与存在，且分别记为与．在与两端同时取极限，得与．

考虑到为任意正数且．

即得．

例　

（1）设，，求；

（2）设，，且（），求．

解：

（1）假设存在且等于，由极限的四则运算，在两端同时取极限，得，即．

又，故．

下面只须验证数列趋于零（）．由于

，

而，由夹逼定理得．

（2）由，知

　　　　，

则　　　　　　　　．

假设存在且等于，由极限的四则运算，得．

下面只须验证数列趋于零（）．由于

．

显然，由夹逼定理得．

评注１　两例题中均采用了“先求出结果后验证”的方法，当我们不能直接用单调有界必有极限定理时，可以先假设，由递归方程求出，然后设法证明数列趋于零．

评注２　对数列，若满足（），其中，则必有．这一结论在验证极限存在或求解递归数列的极限时非常有用．

评注３　本例的第二小题还可用Cauchy收敛原理验证它们极限的存在性．

设>0，＝＋，证明＝1（04，上海交大）

证

（1）要证＝1，只要证，

即只要证，即证

（2）因＝＋，故，

因此只要证，即只要证

（3）由知，单调增加，假如有上界，则必有极限，由＝＋知，＝＋，因此，矛盾.

这表明单调增加、没有上界，因此.（证完）

４　利用序列的Cauchy收敛准则

例　

（1）设（），，求；

（2）设，，，求；

解：

（1）由（），得．假设，则．有

由归纳法可得　　　　　　　　　．

于是　　　　　

　　　　　　　　　　　　（）．

由Cauchy收敛准则知：

存在并记为，由极限的四则运算，在两端同时取极限，得．

注意到，故．

（2）设，显然.

由于,则

.

于是

（）.

由Cauchy收敛准则知：

存在并记为.

由极限的四则运算，在两端同时取极限，得．

注意到，故．

评注1Cauchy收敛准则之所以重要就在于它不需要借助数列以外的任何数,只须根据数列各项之间的相互关系就能判断该数列的敛散性.本例两小题都运用了Cauchy收敛准则,但细节上稍有不同.其实第一小题可用第二小题的方法,只是在第一小题中数列有界,因此有.保证了定义中的N仅与有关.

评注2“对有”这种说法与Cauchy收敛准则并