高等数学第二章 一元函数微分学Word文档格式.docx
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存在，则在几何上f?
表示曲线y?
在点?
x0,f?
处的切线的斜率。
切线方程：
法线方程：
1?
设物体作直线运动时，路程S与时间t的函数关系为S?
t?
，如果f?
t0?
存在，则f?
表示物体在时刻t0时的瞬时速度。
3．函数的可导性与连续性之间的关系 如果函数y?
在点x0处可导，则f?
在点x0处一定连续，反之不然，即函数y?
在点x0处连续，却不一定在点x0处可导。
例如，y?
x，在x0?
0处连续，却不可导。
4．微分的定义 设函数y?
在点x0处有增量?
x时，如果函数的增量?
有下面的表达式 ?
A?
其中A?
为与?
x无关，0?
是?
0时比?
x高阶的无穷小。
则称f?
在x0处可微，并把?
y中的主要线性部分A?
x称为f?
在x0处的微分， 记以dy或df?
x0x?
x0 我们定义自变量的微分dx就是?
x。
5．微分的几何意义 ?
是曲线y?
在点x0处相应于自变量增量?
x的纵坐标f?
的增量，微分 dyx?
x0是曲线y?
在点M0?
处切线的纵坐标相应的增量。
6．可微与可导的关系 f?
在x0处可微?
在x0处可导。
且dyx?
dx 一般地，y?
则dy?
dx 所以导数f?
dy也称为微商，就是微分之商的含义。
dx 7．高阶导数的概念 如果函数y?
的导数y?
在点x0处仍是可导的， 则把y?
在点x0处的导数称为y?
在点x0处的二阶导数， d2y 记以y?
，或f?
，或等，2x?
xdxx?
x00 也称f?
在点x0处二阶可导。
如果y?
的n?
1阶导数的导数，称为y?
的n阶导数记以y是n阶可导。
二．导数与微分计算 ?
n?
，f?
dny?
，n等，这时也称y?
dx 1．导数与微分表 2．四则运算法则 ?
g?
?
?
2g?
d?
df?
dg?
3．复合函数运算法则 设y?
u?
，u?
，如果?
在x处可导，f?
在对应点u处可导，则复合函数y?
在x处可导，且有 dydydu?
dxdudx 对应地dy?
du?
dx 于公式dy?
du不管u是自变量或中间变量都成立。
因此称为一阶微分形式不变性。
4．参数方程确定函数的运算法则 设x?
，y?
确定函数y?
，其中?
，?
存在，且?
0，则 dy?
dx?
dy?
d?
dx?
dxdt?
3dt?
d2y?
二阶导数 dxdx2 5．反函数求导法则 设y?
的反函数x?
，两者皆可导，且f?
0 则 g?
11?
f?
二阶导数g?
dydydx?
3?
3dx 6．隐函数运算法则 设y?
是方程F?
x,y?
0所确定，求y?
的方法如下：
把F?
0两边的各项对x求导，把y看作中间变量，用复合函数求导公式计算，然后再解出y?
的表达式 例：
x2?
y2?
1，2x?
2y?
0，y?
7．对数求导法则 先对所给函数式的两边取对数，然后再用隐函数求导方法得出导数y?
对数求导法主要用于：
①幂指函数求导数②多个函数连乘除或开方求导数 关于幂指函数y?
x?
y常用的一种方法y?
eg?
lnf?
这样就可以直接用复合函数运算法则进行。
关于分段函数求分段点处的导数，常常要先讨论它的左、右两侧的导数。
§
微分中值定理 本节专门讨论考研数学中经常考的四大定理：
罗尔定理，拉格朗日中值定理，柯西中值定理和泰勒定理 这部分有关考题主要是证明题，其中技巧性比较高，因此典型例题比较多，讨论比较详细。
甲内容要点 一．罗尔定理 设函数f?
满足 在闭区间?
a,b?
上连续；
在开区间?
内可导；
a?
b?
则存在?
，使得f?
0 几何意义：
条件说明曲线y?
在A?
a,f?
和B?
b,f?
之间是连续曲线；
[包括点A和点B] 条件说明曲线y?
在A,B之间是光滑曲线，也即每一点都有不垂直于x轴的切线[不包括点A和点B] 条件说明曲线y?
在端点A和B处纵坐标相等。
结论说明曲线y?
在A点和B点之间[不包括点A和点B]至少有一点，它的切线平行于x轴。
二．拉格朗日中值定理 设函数f?
在开区间?
则存在?
，使得 f?
或写成f?
b?
a 有时也写成f?
x ?
这里x0相当a或b都可以，?
x可正可负。
几何意义：
在点A?
和点B?
之间[包括点A和点B]是连续曲线；
条件说明曲线y?
[不包括点A和点B]是光滑曲线。
在A,B之间[不包括点A和点B]至少有一点，它的切线与割线AB是平行的。
推论1．若f?
在?
内可导，且f?
0，则f?
内为常数。
推论2．若f?
，g?
内皆可导，且f?
，则在?
内f?
c，其中c为一个常数。
三．柯西中值定理 设函数f?
和g?
满足：
在闭区间[a,b]上皆连续；
内皆可导；
且g?
0 则存在?
使得 f?
g?
几何意义：
考虑曲线AB的参数方程?
t?
点A?
f?
，点B?
曲线在AB上是连续 ?
曲线，除端点外是光滑曲线，那么在曲线上至少有一点，它的切线平行于割线AB。
值得注意：
在数学理论上，拉格朗日中值定理最重要，有时也称为微分学基本定理。
罗尔定理看作拉格朗日中值定理的预备定理，柯西中值定理虽然更广，但用得不太多。
在考研数学命题中，用罗尔定理最多，其次是用拉格朗日中值定理，而用柯西中值定理也是较少。
四．泰勒定理 定理1．设f?
在x0处有n阶导数，则有公式
f?
2?
Rn?
f?
1!
2!
n!
其中Rn?
称为皮亚诺余项。
lim?
0?
前面求极限方法中用泰勒公式就是这种情形，根据不同情形取适当的n，所以对常用的初等函数如 ?
ex,sinx,cosx,ln?
和?
等的n阶泰勒公式都要熟记。
定理2 设f?
在包含x0的区间?
内有n?
1阶导数，在?
上有n阶连续导数，则对x?
，有公式 f?
其中Rn?
1，?
!
称为拉格朗日余项。
上面展开式称为以x0为中心的n阶泰勒公式。
当x0?
0时，也称为n阶麦克劳林公式。
如果limRn?
0，那么泰勒公式就转化为泰勒级数，这在后面无穷级数中再讨论。
n?
§
导数的应用 甲内容要点 一．判断函数的单调性 定理：
设函数f?
内可导，如果恒有f?
则f?
内单调增加；
如果恒有。
，则f?
内单调不减 基本应用模型：
设f?
a,?
内连续，在?
，又f?
0，则当x?
a时，恒有f?
二．函数的极值 1．定义 设函数f?
内有定义，x0是?
内的某一点，则 如果点x0存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点x?
，总有f?
，则称f?
为函数f?
的一个极大值，称x0为函数f?
的一个极大值点；
如果点x0存在一个邻域，使得对此邻域内的任一点x?
的一个极小值，称x0为函数f?
的一个极小值点。
函数的极大值与极小值统称极值。
极大值点与极小值点统称极值点。
2．必要条件 设函数f?
在x0处可导，且x0为f?
的一个极值点，则f?
0。
我们称x满足f?
0的x0为f?
的驻点可导函数的极值点一定是驻点，反之不然。
极值点只能是驻点或不可导点，所以只要从这两种点中进一步去判断。
3．第一充分条件 设f?
在x0处连续，在0?
内可导，f?
不存在，或f?
1?
如果在?
x0?
内的任一点x处，有f?
0，而在?
x0,x0?
为极大值，x0为极大值点；
2?
为极小值，x0为极小值点；
3?
内与?
内的任一点x处，f?
的符号相同，那么f?
不是极值，x0不是极值点。
4．第二充分条件 设函数f?
在x0处有二阶导数，且f?
0，f?
0，则 当f?
0时，f?
为极大值，x0为极大值点。
当f?
为极小值，x0为极小值点。
三．函数的最大值和最小值 1．求函数f?
上的最大值和最小值的方法 首先，求出f?
内所有驻点和不可导点x1,?
xk，其次计算f?
x1?
?
xk?
最后，比较f?
， 其中最大者就是f?
上的最大值M；
其中最小者就是f?
上的最小值m。
2．最大值的应用问题 首先要列出应用问题中的目标函数及其考虑的区间，然后再求出目标函数在区间内的最大值。
四．凹凸性与拐点 1．凹凸的定义 设f?
在区间I上连续，若对任意不同的两点x1,x2，恒有 f?
fx?
fx或f?
1212?
则称f?
在I上是凸的。
在几何上，曲线y?
上任意两点的割线在曲线下面，则y?
是凸的。
如果曲线y?
有切线的话，每一点的切线都在曲线之上则y?
2．拐点的定义 曲线上凹与凸的分界点，称为曲线的拐点。
3．凹凸性的判别和拐点的求法 设函数f?
内具有二阶导数f?
， 如果在?
内的每一点x，恒有f?
0，则曲线y?
内是凹的；
如果在?
内是凸的。
求曲线y?
的拐点的方法步骤是：
第一步：
求出二阶导数f?
；
第二步：
求出使二阶导数等于零或二阶导数不存在的点x1、x2、?
、xk；
第三步：
对于以上的连续点，检验各点两边二阶导数的符号，如果符号不同，该点就是拐点的横坐标；
第四步：
求出拐点的纵坐标。
五．渐近线的求法 1．垂直渐近线 f?
或lim?
则x?
a为曲线y?
的一条垂直渐近线。
若lim?
ax?
a 2．水平渐近线 若limf?
b，或limf?
b则y?
b是曲线y?
的一条水平渐近线。
3．斜渐近线 若limx?
0，lim?
b或lim?
b x?
xx则y?
的一条斜渐近线。
六．函数作图的一般步骤 求出y?
的定义域，判定函数的奇偶性和周期性。
求出f?
，令f?
0求出驻点，确定导数不存在的点，再根据f?
的符号找出函数的单调区间与极值。
求出f?
，确定f?
的全部零点及f?
不存在的点，再根据f?
的符号找出曲线的凹凸区间及拐点。
求出曲线的渐近线。
将上述“增减、极值、凹凸、拐”等特性综合列表，必要时可用补充曲线上某些特殊点，依据表中性态作出函数y?
的图形。
七．曲率 设曲线y?
，它在点M?
处的曲率k?
3，若k?
0，则称R?
21为点M?
处的曲率半径，k在M点的法线上，凹向这一边取一点D，使MD?
R，则称D为曲率中心，以D为圆心，R为半径的圆周称为曲率圆。
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