三角恒等变换-最全的总结-学生版.doc

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三角恒等变换---完整版

三角函数------三角恒等变换公式：

两角和与差的三角函数关系

sin（）=sin·coscos·sin

cos（）=cos·cossin·sin

倍角公式

sin2=2sin·cos

cos2=cos2-sin2

=2cos2-1=1-2sin2

平方关系

sin2+cos2=1，

半角公式

，

=

商数关系

=tan

升幂公式

1+cos=1-cos=1±sin=（）2

1=sin2+cos2sin=

降幂公式

sin2cos2sin2+cos2=1sin·cos=

考点分析：

（1）基本识别公式，能结合诱导公式中两个常用的小结论快速进行逻辑判断。

“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。

互余两角的正余弦相等。

”

（2）二倍角公式的灵活应用，特别是降幂、和升幂公式的应用。

（3）结合同角三角函数，化为二次函数求最值（4）角的整体代换（5）弦切互化（6）知一求二（7）辅助角公式逆向应用

（1）熟悉公式特征：

能结合诱导公式中两个常用的小结论“互补两角正弦相等，余弦互为相反数。

互余两角的正余弦相等。

”快速进行逻辑判断。

注意构造两角和差因子

1、（二倍角公式）（2007重庆文）下列各式中，值为的是（）

A． B．C． D．

2、（二倍角公式+平方差公式）（2008六校联考）的值是

A. B. C. D.

3、（两角和差公式+诱导公式）（2009四校联考）等于

A．－ B． C．－ D．

4.（两角和差公式）下列各式中值为的是（）.

A． sin45°cos15°+cos45°sin15° B． sin45°cos15°﹣cos45°sin15°

C． cos75°cos30°+sin75°sin30° D．

5、（拆角+两角和差公式）（佛山一中2014届高三10月段考数学（理）试题）化简三角式（）

A． B．1 C．2 D．

6、（补全公式）（2013六校联考回归课本题）cos20°·cos40°·cos60°·cos80°＝（）

A． B． C． D．常见变式：

计算sin10°sin30°sin50°sin70°的＝__.

7、（构造两角和差因子+两式平方后相加）若sinα－sinβ＝，cosα－cosβ＝，则cos（α－β）的值为（）A.B.C.D．1

8．（诱导公式）【2015广东东莞高一期末】sin163°sin223°＋sin253°sin313°等于B

A．－B.C．－D.

9、（构造两角和差因子+两边平方）【2015高考四川，理12】..

10、（逆向套用公式）tan23°＋tan37°＋tan23°tan37°的值是________．

11．（特殊值化特殊角处理）化简的值为________

12.（特殊值化特殊角处理）＝_______

13、（tan45°＝tan（20°＋25°）+多项式展开）若α＝20°，β＝25°，则（1＋tanα）（1＋tanβ）的值为_______

14、（合理组合，多项式乘法展开）（1＋tan21°）（1＋tan22°）（1＋tan23°）（1＋tan24°）的值为_______

15、（逆向套用公式）tan10°tan20°＋tan20°tan60°＋tan60°tan10°＝____.

答案：

BDBCBCAB9、10、11、－12、－13、214、315、1

（2）角的整体变换题：

主要方法是拿题目给出的整体角加一加，或者减一减，观察是否互补、互余、或者是两角和差、倍角关系等，从而运用诱导公式、和差公式化简求值。

例如：

，，

1、（角的整体相减）（2011汕头期末）已知等于（）

A． B． C． D．

2、（两角互补）.【山西大学附中2014-2015年高三月考】若，则的值为（）

A．B．C．D．

3.（诱导公式）【湛江一中14年期末考试】如果，那么的值为（）.

4.（两角相减）【江西省九江外国语学校2013-2014学年高一下学期第一次月考数学试题】已知，则（）

A.B.C.D.

5、（两角相加）.【2013-2014学年陕西省咸阳市高一（下）期末数学试卷】若，，则=（　　）

A．

B.

C.

[来源:

学*科*网Z*X*X*K]

D.

6.（特殊角三角函数值）【浙江省桐乡一中学等四校2015届高三上学期期中联考，理14】已知，，则..

7、（两角整体相减）【江苏省泰兴市2015届高三（上）期中，理2】若，则．

8、（互余两角正余弦互换）【四川雅安中学2014－2015学年上期9月试题，理11】若_______.

9、（互补两角余弦互为相反数），则___________

10.（两角整体相减）若，则．

11、（两角整体相减）【2015重庆高一期末】若且，则；

12.（两角整体相减）【2015江苏高考，8】已知，，则的值为______

13、（两角整体相减）（中山市2014届高三上学期期末考试）已知,,则

14、（两角相减）【2015湖南浏阳高一期末】已知，则β=。

答案：

BDACB6、7、8、9、-10、11、12、313、14、

（3）弦切互化：

1）、分子分母同时除以cos2）注意分母还原sin2+cos2=1，然后分子分母同时除以cos2，即可化为正切3）注意期间学会使用解方程的思想4）遇到部分Asinα+Bcosα之类求正切的，注意先两边平方后再进行相切互化

1.（诱导公式+同时除以cos）（2007韶关一模文）已知，

（A）2 （B）－2 （C）0 （D）

2、（同角三角函数弦化切）（2013肇庆统考）已知α为锐角，sinα＝，则tan（α－）等于

A、 B、7 C、－ D、－7

3、（简单弦化切）（2011福建文3）若tan=3，则的值等于

A．2 B．3 C．4 D．6

4.（分子分母同时除以cos）（2012高考江西文4）若，则tan2α=

A.-B.C.-D.

5、（分母还原1+同时除以cos2）（2009辽宁卷文）已知，则

（A） （B） （C） （D）

6.（分母还原1+同时除以cos2）【淄博实验中学2015届高三，理5】已知，则的值是（）

A．B．C．D．

7.（移项后两边平方在弦切互化）（唐山市2014-2015学年度高三年级第一次模拟考试7）.已知，则（）

A．B．C．或0D．或0

8、（两边平方在弦切互化）【成都七中2015届数学阶段性测试，理8】已知，则（）

A．B．C．D．

9、（解方程组+同角三角函数的快速弦切互化）【2015安徽滁州高一期末】已知=（）

A．1 B．2 C．－2 D．

10、（两边平方在弦切互化）（洛阳市2014届高三12月统考）已知2sinα＋cosα＝，则tan2α＝ A

A．B．C．－D．－

11、（两边平方在弦切互化）（省实验中学2014届高三上学期期中考试）已知，则等于（）

A． B． C． D．1

12、（解方程组再弦切互化）【2015福建晋江高一期末】若，则为

A、5B、-1C、6D、

13、（分母还原1+同时除以cos2）已知，则的值为

14、（二倍角+分母还原1+同时除以cos2）若，是第三象限的角,则=_________．

答案：

BCDBDADBCACA13、14、-2

（4）：

结合完全平方公式和平方差公式的作用。

最经典的莫过于，，三者知一求二：

在不同的范围三角函数值大小的比较（如下图），往往用于更加精确象限，常见于“知一求二”的符号问题。

本类题型要三个常见处理思想，1）是两边平方。

2）是是根据上图进行逻辑判断。

3）对于两大公式和的顺向和逆向快速转换，要形成解题敏感点。

1.（两边平方）【2012高考辽宁文6】已知，（0，π），则=

（A）1（B）（C）（D）1

2.（两边平方+象限定号）（2012全国卷）已知α为第二象限角，，则cos2α=

（A）（B）（C）（D）

3、（公式的快速展开+两边平方）（开滦二中2014届高三12月月考，文）已知，则的值为（）

A．－ B． C． D．

4、（公式的快速展开）（2013年高考课标Ⅱ卷（文6））已知，则

（A）（B）（C）（D）

5.（公式的快速展开+两边平方）（2011辽宁文7）设sin，则

（A） （B） （C） （D）

6、（公式的快速展开+二倍角展开平方差因子）（2013六校联考）已知等于（）

A． B． C． D．

7、（公式的快速展开+二倍角展开平方差因子）（2007海南宁夏理）若，则的值为（　）

Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．

8、（两边平方）【河南省名校2015届高三上学期期中数学，理3】已知sin2α＝－，α∈（－，0），则sinα＋cosα＝（）

A．－B．C．－D．

9.（两边平方）【江西省六校2015届高三上学期第一次联考，理5】已知＝，则sin2θ的值为（）

A．B．C．D.

10.（两边平方+象限定号）【浙江省桐乡第一中学等四校2015届高三上学期期中联考，理6】已知为第二象限角，，则（）

A. B.C.D.

11、（公式的快速展开+二倍角展开平方差因子）【2015广东汕头高一期末】若，且，则的值为（）

A