微积分期末复习指导1011年下.docx
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微积分期末复习指导1011年下
2010-2011学年（下）微积分（高数（三））期末复习指导
第五章不定积分
一.本章重点
原函数与不定积分的概念,不定积分的计算.
二.复习要求
1.理解原函数与不定积分的概念,掌握不定积分的基本性质.
2.熟记并正确理解基本积分公式,熟练掌握不定积分的直接积分法.
3.熟练掌握不定积分的第一换元法（凑微分法）.凑微分法的关键是要凑出适当的换元因子的微分.使其在换元后可直接利用基本积分公式计算结果.
4.掌握不定积分第二换元法的原理.当被积函数
含有根式而不能用直接积分法及凑微分法积分时,一般要用第二换元法有理化根式,熟练掌握含时的有理化变换.
5熟练掌握不定积分的分部积分法.熟悉常见的几类用分部积分法求积分的类型及其中,的选择.
6.掌握简单有理分式的不定积分
三.例题选解
例1.已知的一个原函数为,求
.
解:
由已知,
∴
（凑微分）
例2求下列不定积分
（1）
（2）
解:
（1）本题被积函数为且的情形,属于适用分部积分的类型，
令,,则,
原式=
=
=
=
（思考:
若,积分又如何处理?
）
（2）.求不能用直接积分法,也不能用凑微分法,适用第二类换元法.
令,则,dx=tdt
四.练习题及答案
1.填空
（1）设是的一个原函数,则
;
（2）=
2.求不定积分
（1）
（2）
（3）
答案:
1.
（1）;
（2）
2.
（1）
（2）
（3）
自我复习:
习题五（A）
7.⑶⑻,8.⑶,⑸,⑹,⑺,（14）,
9.⑴,⑵,⑺..10.⑴,⑶,⑸.
习题五（B）1.4.17.
第六章定积分
一．本章重点
定积分的基本性质，定积分的计算；变上限定积分的求导法；定积分在几何上的应用。
二．复习要求
1.理解定积分的概念，知道定积分与不定积分的区别。
函数的不定积分是求导和求微分运算的逆运算。
函数在上的定积分是一个和式的极限，是一个确定的数，这个数只与被积函数及积分区间有关。
2.理解并记住定积分的基本性质。
3.理解变上限定积分的概念，熟练掌握求变上、下限定积分的导数的方法：
4.熟练掌握用牛顿—莱布尼兹公式求定积分的方法。
牛—莱公式将定积分与不定积分这两个
截然不同的概念联系起来，求定积分的值，只需求出被积函数的一个原函数，再应用牛—莱公式即可。
因而计算定积分也与求不定积分类似，有直接积分法，换元积分法，分部积分法。
5.熟练掌握定积分的换元积分法，分部积分法。
注意：
⑴.用换元法求定积分时，换元必换限，无需还元；若是用凑微分而不显示“换元”，则积分限不作变换。
⑵.定积分适用分部积分的类型及、的选择都与不定积分类似，唯一的区别是定积分的分部积分公式中每一项都带着积分上、下限，而且为了减少出错，要及时计算出的值。
6.熟记奇偶函数在对称区间上的积分的性质。
7．熟练掌握用定积分求平面图形的面积及平面图形绕坐标轴旋转而成的旋转体的体积。
三．例题选解
例1.，求.
解：
例2.求定积分：
解:
此积分适用第二类换元法，
令，则，
当时，；时，.
原式＝（换元就换限）
＝.
积分是奇函数在对称区间上的积分，所以有：
=0.
例3.求、、围成的平面图形的面积以及该平面图形绕X轴旋转一周形成的旋转体的体积。
解：
⑴由所给曲线方程解得交点：
（1，1），
（2，），（2，2）.画出平面图形如下:
视平面图形为形区域，得平面图形面积为：
＝
（2）求上述平面图形绕X轴旋转所成旋转体的体积，应视平面图形为形区域，有：
（注意求的公式与求面积的公式的区别）
四．练习题及参考答案
1.填空
，则
=_____________
=___________
2、求积分
3、求由曲线，直线以及
围成的平面区域D的面积，及区域D绕X轴旋转一周而成的旋转体的体积。
答案：
1、
2、；.
3、.
自我复习
习题六（A）4.⑶，⑷，⑸；5.（10）、（11）；
6.
（1）、⑶；12.
（1）、
（2）；.
21.
（1）、⑶.（并求平面图形绕X轴旋转而成的旋转体体积）。
第七章无穷级数
一．本章重点
数项级数收敛性的判定（包括正项级数的收敛性判定；交错级数的绝对收敛与条件收敛的判定）。
幂级数的收敛域的确定。
利用幂级数的性质求幂级数的和函数。
二．复习要求
1.理解级数的基本概念；记住级数的基本性质，特别是：
若级数收敛，则必有，但时，级数未必收敛。
2.熟记等比级数的敛散性：
当|q|<1时，等比级数收敛到；
当|q|≥1时，等比级数发散。
3.熟记p级数的敛散性：
当p>1时，p级数收敛；
当p≤1时，p级数发散。
4.熟练掌握正项级数收敛性的判定。
（1）首先考察是否有，若有则必发散；
（2）通常可先考虑用比值判别法判定正项级数的收敛性，特别是中含或的情形。
（3）考虑用比较判别法时，应先对通项作初步估计，再用适合的p级数的通项作出判定。
5.熟练掌握交错级数绝对收敛还是条件收敛的判定。
（1）先考查是否收敛，若收敛，则是绝对收敛；
（2）若发散，则用莱布尼兹判别法判定是否收敛，若收敛，则为条件收敛。
6.会求不缺项幂级数的收敛域（注：
允许缺有限项）。
（1）首先考查，确定收敛半径R及收敛区间。
（2）讨论（-R,R）的端点x=-R及x=R处级数的收敛性，并写出收敛域（收敛区间加收敛的端点）。
7.熟记幂级数的性质，特别是幂级数在收敛区间内可以逐项微分、逐项积分的性质，并能应用它们及如下公式求幂级数的和函数。
（1）
（2）
三.例题选讲
例1．判定下列级数的敛散性，对交错级数需说明是绝对收敛还是条件收敛
（1）.
（2）
（3）
⑷
解：
（1）令，则
是公比的等比级数，
故绝对收敛。
（2）记，显然时,与为同阶无穷小,事实上
由发散，得发散；但有:
，
，
所以交错级数条件收敛。
（3）记.
∴正项级数收敛。
⑷.记，
则
∴发散。
例2求幂级数的收敛半径、收敛区间及和函数。
解：
令，则
所以幂级数的收敛半径R=1，收敛区间为
.当x=-1或时，原级数为
其通项
原级数发散
∴级数收敛域也为（-1,1）。
设
若,显然有
当时,
综上,原级数和函数为
四．练习题及参考答案
1.单项选择题
（1）下面说法正确的是（）
A.收敛;
B.不绝对收敛;
C.发散;
D.发散.
（2）.下面级数绝对收敛的是（）
A.;B.
C.D..
2.判定下列级数的敛散性，对交错级数,需说明是绝对收敛还是条件收敛
（1）;
（2）
（3）
3.求的收敛半径，收敛域及和函数。
4.求的收敛半径,收敛区间及和函数,
答案：
1.B;D.
2.
（1）.绝对收敛；
（2）.收敛；（3）发散。
3.；；
4.
自我复习：
习题七（A）
4.（7）；
5.
（1）,（3）,（4）,⑹；
6.
（1）—（4）,（6）7.⑴，（3）；8.⑵；
9.⑴，⑶，⑸．
习题七（B）:
10,12.
第八章多元函数
一．本章重点
多元函数的偏导数的计算；多元函数的极值与条件极值；二重积分的计算。
二．复习要求
1.理解多元函数的概念，会求二元函数的定义域；
2.熟练掌握二元函数一阶及二阶偏导数的计算，会求二元函数的全微分；
3.熟练掌握多元复合函数的链式求导法，特别是抽象复合函数的偏导数求导法；
4.熟练掌握利用多元复合函数求导法导出的隐函数求导公式：
若可确定隐函数
则
求时，均视为地位平等的自变量。
即求时，视为常数，其余类似。
5.熟练掌握二元函数极值的概念及判断法,能熟练用拉格朗日乘数法求多元（二,三元）函数的条件极值；
6..理解二重积分的概念及几何意义，知道并理解二重积分的基本性质；
7.熟练掌握二重积分在直角坐标系下化为二次积分进行计算的方法，并能熟练把一种次序的二次积分交换为另一种次序的二次积分。
8.掌握二重积分在极坐标系下的计算法；
9..会用二重积分求平面区域D的面积:
.
三．例题选解：
例1.求下列函数的全微分或偏导数.
（1）.,求其全微分;
（2）.确定是的函数,
求，
解:
（1）,
∴
（2）.本题函数为隐函数.令
则有
∴
例2.设，其中f为可微函数，
1.证明；
2.求
分析：
本题为简单的抽象函数的偏导数，可令，则
⑴.由复合函数链式求导法，
∴
2.由两边对求导，
注意到仍是以为中间变量，
为自变量的抽象复合函数，
.
例3计算,其中区域D由曲线,直线及所围成.
解：
画出区域D略图如下：
视区域D为X型,则:
.
例4将二次积分交换积分次序.
解：
由已知,原积分区域为Y型区域：
，
画出积分区域D的略图如下所示：
视D为X型区域：
，得
原式
例5求,其中D为所包围的区域。
分析与解：
解：
画出积分区域如下所示：
由于积分区域为圆域，且
被积函数含项，
运用极坐标计算较简便。
令
由于极点（原点）在积分区域内，
∴
例6.求在约束条件
下的极值。
（这里，为常数）
解:
由可知,必有.且可解出,代人目标函数得:
于于是本题求条件极值的问题可转化为求上面得到的
二二元函数的无条件极值.
先求一阶导数并解方程组:
得,即为唯一驻点.
再求二阶导数:
∴点处的二阶导数值为:
,.
其判别式
且.
∴点为极小值点,
即当
时,
取得极小值.
（请同学们自己用拉格朗日乘数法求解本题）
四．练习题及参考答案
1.填空题
⑴..设,则
=_____________;
⑵.=_____________
其中D由及X轴,Y轴围成.
⑶.交换积分次序:
=_____________;
⑷.已知确定是
的函数,那么=_____________,
=_____________.
2.设，其中有连续导函数，
⑴.证明;
⑵.求.
3.求的极值。
4.计算二重积分,其中D
由即围成.
5.计算，其中D是由
围成的区域在四象限的部分..
参考答案：
1.⑴.;
⑵.;⑶.;
⑷..
2.⑵..
3.在点有极小值:
4.88.5..
自我复习：
习题八（A）4,⑴,⑶;8.（3）,（4）;13.⑴;14.⑵;15.⑴;16.⑶,⑸;19.⑴,⑶;28.29.⑷,⑸,⑹;30.⑶.
第九章常微分方程简介
一．本章重点
求解一阶线性微分方程。
二．复习要求
1.知道微分方程的阶、通解、特解等概念；
2.熟练掌握可分离变量的微分方程的解法；
3.掌握一阶线性微分方程的特点（齐次、非齐次），熟练掌握用公式法或常数变易法求解一阶线性非齐次微分方程。
三．例题选解
例.求微分方程的通解。
解法一.用常数变易法
①.由对应的齐次方程
分离变量
两边积分
∴齐次方程通解为
②.设，则
将代入原非齐次方程
得：
上式两边积分
∴原方程通解为
解法二.公式法
将原方程整理为：
即，
利用非齐次方程通解公式：
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