苏科版九年级上13一元二次方程的根与系数的关系含答案解析.docx

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苏科版九年级上13一元二次方程的根与系数的关系含答案解析

1.3　一元二次方程的根与系数的关系

当堂检测

1．一元二次方程x2＋4x－3＝0的两根为x1，x2，则x1x2的值是（　　）

A．4B．－4

C．3D．－3

2．一元二次方程x2－2x－3＝0的两根之和为________，两根之积为________．

3．若一元二次方程x2－2x－1＝0的两根分别为x1，x2，则x1＋x2－x1x2的值为________．

4．如果x1，x2是一元二次方程x2－6x－5＝0的两个实数根，那么x1＋x2＝________，x1x2＝________，x12＋x22＝________．

5．已知α，β是方程x2＋2x－3＝0的两个实数根，求下列各式的值．

（1）α2＋β2；

（2）β2－2α.

课后训练

一、选择题

1．若x1，x2是一元二次方程x2＋10x＋16＝0的两个根，则x1＋x2的值是（　　）

A．－10　　B．10　　C．－16　　D．16

2．已知关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根分别为x1＝－2，x2＝4，则m＋n的值是（　　）

A．－10B．10C．－6D．2

3．设x1，x2是方程x2＋5x－3＝0的两个根，则x12＋x22的值是（　　）

A．19B．25C．30D．31

4．设x1，x2是方程x2＋3x－3＝0的两个实数根，则＋的值为（　　）

A．5B．－5C．1D．－1

5．若方程x2＋x－1＝0的两实数根为α，β，则下列说法不正确的是（　　）

A．α＋β＝－1B．αβ＝－1C．α2＋β2＝3D.＋＝－1

6.已知α，β是关于x的一元二次方程x2＋（2m＋3）x＋m2＝0的两个不相等的实数根，且满足＋＝－1，则m的值是（　　）

A．3B．1C．3或－1D．－3或1

7．方程x2－（m＋6）x＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m的值是（　　）

A．－2或3B．3C．－2D．－3或2

8．[2014·包头]若关于x的一元二次方程x2＋2（m－1）x＋m2＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1＋x2>0，x1x2>0，则m的取值范围是（　　）

A．m≤B．m≤且m≠0C．m<1D．m<1且m≠0

二、填空题

9．已知一元二次方程x2－4x－3＝0的两根为m，n，则m2－mn＋n2＝________．

10．若关于x的一元二次方程x2－（a＋5）x＋8a＝0的两个实数根分别为2和b，则ab＝________．

11．若m，n是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，则m2＋2m＋n的值为________．

12．若矩形的长和宽是方程2x2－16x＋m＝0（0＜m≤32）的两根，则矩形的周长为________．

13．已知关于x的方程x2－6x＋k＝0的两根分别是x1，x2，且满足＋＝3，则k的值是________．

14．已知关于x的一元二次方程x2＋（2k＋1）x＋k2－2＝0的两根为x1，x2，且（x1－2）（x1－x2）＝0，则k的值是________．

15．若关于x的方程x2－（2m－1）x＋m2－1＝0的两实数根为x1，x2，且x12＋x22＝3，则m＝________．

16．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2－m＝3，n2－n＝3，那么代数式2n2－mn＋2m＋2015＝________．

三、解答题

17．已知关于x的方程x2＋x＋n＝0的两个实数根分别为－2，m，求m，n的值．

18．已知关于x的方程x2－2mx＝－m2＋2x的两个实数根x1，x2满足|x1|＝x2，求实数m的值．

19．关于x的一元二次方程x2＋（2k＋1）x＋k2＋1＝0有两个不相等的实数根x1，x2.

（1）求实数k的取值范围；

（2）若方程的两个实数根x1，x2满足|x1|＋|x2|＝x1x2，求k的值．

答案及解析

当堂检测

1．D　[解析]x1x2＝－3.故选D.

2．2　－3

3．3　[解析]根据题意，得x1＋x2＝2，x1x2＝－1，所以x1＋x2－x1x2＝2－（－1）＝3.

4．6　－5　46

5．解：

∵α，β是方程x2＋2x－3＝0的两个实数根，∴α＋β＝－2，αβ＝－3.

（1）原式＝（α＋β）2－2αβ＝4＋6＝10.

（2）原式＝3－2β－2α＝3－2（α＋β）＝3－2×（－2）＝7.

课后训练

1．[解析]A　在已知方程中，因为a＝1，b＝10，c＝16，所以x1＋x2＝－＝－＝－10.故选A.

2．[解析]A　∵关于x的一元二次方程x2＋mx＋n＝0的两个实数根分别为x1＝－2，x2＝4，

∴－2＋4＝－m，－2×4＝n，

解得m＝－2，n＝－8，∴m＋n＝－10.故选A.

3．[解析]D　∵x1，x2是方程x2＋5x－3＝0的两个根，

∴x1＋x2＝－5，x1x2＝－3，

∴x12＋x22＝（x1＋x2）2－2x1x2＝25＋6＝31.

故选D.

4．[解析]B　先利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，将所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算，再利用完全平方公式变形，将两根之和与两根之积代入计算即可求出结果．

∵x1，x2是方程x2＋3x－3＝0的两个实数根，

∴x1＋x2＝－3，x1x2＝－3，

∴原式＝＝＝＝－5.

故选B.

[点评]此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．

5．[解析]D　由一元二次方程根与系数的关系，知α＋β＝－1，αβ＝－1，因此，α2＋β2＝（α＋β）2－2αβ＝（－1）2－2×（－1）＝3，显然选项A，B，C均正确．故选D.

6．[解析]A　根据条件，知

α＋β＝－（2m＋3），αβ＝m2，

∴＋＝＝＝－1，

即m2－2m－3＝0，

∴

解得m＝3.

故选A.

[点评]本题考查一元二次方程根与系数的关系与根的判别式及不等式组的综合应用能力．一元二次方程根的情况：

（1）b2－4ac＞0⇔方程有两个不相等的实数根；

（2）b2－4ac＝0⇔方程有两个相等的实数根；

（3）b2－4ac＜0⇔方程没有实数根．

7．[解析]C　∵方程x2－（m＋6）x＋m2＝0有两个相等的实数根，∴b2－4ac＝[－（m＋6）]2－4m2＝0，解得m＝6或m＝－2.又∵x1＋x2＝m＋6，x1x2＝m2，x1＋x2＝x1x2，∴m＋6＝m2，解得m＝3或m＝－2.∵b2－4ac＝0，∴m＝3不符合题意，舍去，即m＝－2.故选C.

8．[解析]B　因为一元二次方程有实数根，所以b2－4ac＝4（m－1）2－4m2＝4－8m≥0，所以m≤.因为x1＋x2＝－2（m－1）>0，所以m<1.因为x1x2＝m2>0，所以m≠0.所以m≤且m≠0.故选B.

9．[答案]25

[解析]∵m，n是一元二次方程x2－4x－3＝0的两个根，

∴m＋n＝4，mn＝－3，

则m2－mn＋n2＝（m＋n）2－3mn＝16＋9＝25.

10．[答案]4

[解析]∵关于x的一元二次方程x2－（a＋5）x＋8a＝0的两个实数根分别为2和b，

∴由根与系数的关系，得2＋b＝a＋5，2b＝8a，解得a＝1，b＝4，∴ab＝1×4＝4.

11．[答案]0

[解析]∵m，n是方程x2＋x－1＝0的两个实数根，∴m＋n＝－1，m2＋m＝1，则原式＝（m2＋m）＋（m＋n）＝1－1＝0.

12．[答案]16

[解析]设矩形的长和宽分别为x，y，根据题意，得x＋y＝8，所以矩形的周长＝2（x＋y）＝16.

13．[答案]2

[解析]∵方程x2－6x＋k＝0的两个根分别为x1，x2，

∴x1＋x2＝6，x1x2＝k，

＋＝＝＝3，

解得k＝2.

14．[答案]－2或－

[解析]∵（x1－2）（x1－x2）＝0，∴x1－2＝0或x1－x2＝0，解得x1＝2或x1＝x2.当x＝2时，原方程可变为22＋（2k＋1）×2＋k2－2＝0，解得k＝－2；当x1＝x2时，此时一元二次方程有两个相等的实数根，∴b2－4ac＝0，即（2k＋1）2－4（k2－2）＝0，解得k＝－.故答案为－2或－.

15．[答案]0

[解析]∵x1＋x2＝2m－1，x1x2＝m2－1，

x12＋x22＝（x1＋x2）2－2x1x2＝3，

∴（2m－1）2－2（m2－1）＝3，

解得m1＝0，m2＝2.

∵方程x2－（2m－1）x＋m2－1＝0有两个实数根，

∴b2－4ac＝（2m－1）2－4（m2－1）≥0，

解得m≤.

∴m＝0.

故答案为0.

16．[答案]2026

[解析]由题意可知：

m，n是两个不相等的实数，且满足m2－m＝3，n2－n＝3，

所以m，n是一元二次方程x2－x－3＝0的两个不相等的实数根，

则根据根与系数的关系可知：

m＋n＝1，mn＝－3.

又因为n2＝n＋3，

则2n2－mn＋2m＋2015

＝2（n＋3）－mn＋2m＋2015

＝2n＋6－mn＋2m＋2015

＝2（m＋n）－mn＋2021

＝2×1－（－3）＋2021

＝2＋3＋2021

＝2026.

17．解：

由题意，得m＋（－2）＝－1，

∴m＝1.

又∵－2m＝n，

∴n＝－2.

18．解：

原方程可变形为x2－2（m＋1）x＋m2＝0.

∵x1，x2是原方程的两个实数根，

∴4（m＋1）2－4m2≥0，

∴8m＋4≥0，

解得m≥－.

又∵x1，x2满足|x1|＝x2，

∴x1＝x2或x1＝－x2，

即b2－4ac＝0或x1＋x2＝0.

由b2－4ac＝0，

即8m＋4＝0，得m＝－；

由x1＋x2＝0，

即2（m＋1）＝0，得m＝－1（不合题意，舍去）．

故当|x1|＝x2时，m的值为－.

19．[解析]

（1）根据方程有两个不相等的实数根可得b2－4ac＝（2k＋1）2－4（k2＋1）＝4k2＋4k＋1－4k2－4＝4k－3＞0，求出k的取值范围；

（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到2k＋1＝k2＋1，结合k的取值范围解方程即可．

解：

（1）∵原方程有两个不相等的实数根，

∴b2－4ac＝（2k＋1）2－4（k2＋1）＝4k2＋4k＋1－4k2－4＝4k－3＞0，

解得k＞.

（2）∵k＞，

∴x1＋x2＝－（2k＋1）＜0.

又∵x1x2＝k2＋1＞0，

∴x1＜0，x2＜0，

∴|x1|＋|x2|＝－x1－x2＝－（x1＋x2）＝2k＋1.

∵|x1|＋|x2|＝x1x2，

∴2k＋1＝k2＋1，

∴k1＝0，k2＝2.

又∵k＞，

∴k＝2.

20．解：

（1）方程整理，得x2－2（k＋1）x＋k2＋2k＝0.

∵b2－4ac＝4（k＋1）2－4（k2＋2k）＝4＞0，

∴实数k的取值范围是任意实数．

（2）根据题意，得x1＋x2＝2（k＋1），x1x2＝k2＋2k，

x12＋x22－x1·x2＋1＝（x1＋x2）2－3x1x2＋1＝4（k＋1）2－3（k2＋2k）＋1＝k2＋2k＋5＝（k＋1）2＋4.

∴当k＝－1时，代数式x12＋x22－x1·x2＋1取得最小值，该最小值为4.

21．解：

（1）b2－4ac＝4＋4k.

∵方程有两个不相等的实数根，

∴b2－4ac＞0，

即4＋4k＞0，

∴k＞－1.

（2）由根与系数的关系可知α＋β＝－2，αβ＝－k，

∴＋＝＝＝＝2.

【数学活动】

[解析]

（1）根据判别式的意义得到b2－4ac＝（2m－1）2－4m2≥0，然后解不等式即可；

（2）把x＝1代入原方程可得到关于m的一元二次方程，然后解此一元二次方程即可；

（3）根据根与系数的关系得