届海南省全国大联考高三下学期第二次联考数学试题.docx
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届海南省全国大联考高三下学期第二次联考数学试题
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2020届海南省全国大联考高三下学期第二次联考数学试题
学校：
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
注意事项：
1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2、请将答案正确填写在答题卡上
一、单选题
1．已知集合，则集合（）
A．B．C．D．
答案：
D
先求解,再利用交集的定义求解即可.
解：
由题,因为,解得,即,故,
所以,
故选:
D
点评：
本题考查集合的交集运算,考查已知三角函数值求角,属于基础题.
2．设，那么是的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
答案：
A
先求解不等式可得,再由范围的关系即可得到结果.
解：
由,解得,
再根据小范围可以推出大范围,而大范围推不出小范围,可知是的充分不必要条件,
故选:
A
点评：
本题考查充分不必要条件的判定,考查解一元二次不等式.
3．已知向量满足，则（）
A．4B．3C．D．
答案：
A
由题,进而代入求解即可.
解：
由题,则,
故选:
A
点评：
本题考查向量模的性质和向量的数量积,属于基础题.
4．已知锐角的外接圆的圆心为，半径为2，且，则等于（）
A．B．C．D．
答案：
A
由题可分析,再利用数量积求得,进而由三角形性质求解即可.
解：
由题,因为,
所以,所以,
所以,
故选:
A
点评：
本题考查利用数量积求向量夹角,考查三角形的性质的应用.
5．已知偶函数满足对，且当时，，则（）
A．B．C．D．
答案：
D
由可知的周期为,再利用偶函数的性质可得,即可求解.
解：
由题意,函数是周期为的偶函数,
所以,
故选:
D
点评：
本题考查周期性和奇偶性的应用,考查求三角函数值.
6．将函数的图象向左平移个长度单位后得函数的图象，则函数的图象的一条对称轴方程为（）
A．B．C．D．
答案：
C
由三角函数的平移变换原则可得,进而求解对称轴即可.
解：
由题意,,
令,则的对称轴方程为,
当时,可得对称轴方程为,
故选:
C
点评：
本题考查三角函数图象的平移变换,考查余弦型函数的对称性.
7．已知的三个内角的对边分别为，且满足，则等于（）
A．B．C．D．
答案：
D
利用正弦定理化边为角可得,则,进而求解.
解：
由题,根据正弦定理可得,
所以,
因为在中,,所以,
因为,所以,
故选:
D
点评：
本题考查利用正弦定理化边为角,考查解三角形.
8．已知向量，且函数的图象是一条直线，则（）
A．B．C．D．
答案：
A
整理可得,由于的图象是一条直线,所以,可得,进而求解即可.
解：
由题,,
因为函数的图象是一条直线,所以,即,
解得,所以,
故选:
A
点评：
本题考查坐标法求向量的模,考查数量积的应用.
9．在中，设，点为对角线上靠近点的一个五等分点，的延长线交于点，则（）
A．B．C．D．
答案：
B
由且为对角线上靠近点的一个五等分点可得,则,进而可得,,即可求解.
解：
如图,
由题,则,
可得,所以,
所以,,
所以,
故选:
B
点评：
本题考查平面向量分解定理的应用,考查向量的线性运算.
10．已知命题：
“若为锐角三角形，则”；命题：
“，使得成立”若命题与命题的真假相同，则实数的取值范围是（）
A．B．
C．D．
答案：
C
先判断命题的真假,由锐角可得,则可推得,即命题为假命题,则命题也为假命题,可知:
“恒成立”为真命题,进而求解即可.
解：
先判断命题的真假,若为锐角三角形,则,则,由此,所以,即,所以命题为假命题,
因为命题与命题的真假相同,故命题也为假命题,即命题“,使得成立”是假命题,所以命题:
“恒成立”为真命题,
因为,所以,解得,即实数的取值范围是.
故选:
C
点评：
本题考查已知命题真假求参数范围,考查诱导公式的应用,考查不等式恒成立问题.
11．设函数是上的偶函数，且在上单调递减，则实数的最小值为（）
A．B．1C．D．4
答案：
D
由是偶函数可求得,则,由于在上单调递减,则,进而求解即可.
解：
因为为偶函数,所以,故,
又因为,所以当时,,
所以,即,
由得,
因为函数在上单调递减,所以,解得,所以的最小值为4.
故选:
D
点评：
本题考查三角函数奇偶性的应用,考查已知单调区间求参数.
12．设点是的重心，且满足，则（）
A．B．C．D．
答案：
B
由点是的重心可得,利用正弦定理可得,则,即,可得,进而利用余弦定理求解即可.
解：
因为点是的重心,
所以,
因为,
由正弦定理可得,
所以,
即,故,则,
则由余弦定理可得.
故选:
B
点评：
本题考查向量在几何中的应用,考查利用余弦定理求角,考查利用正弦定理化角为边.
二、填空题
13．已知函数，若，则_______.
答案：
.
将代入中求解即可.
解：
由题,,所以,所以,所以.
故答案为:
点评：
本题考查已知函数值求自变量,属于基础题.
14．已知函数的部分图象如图所示，其中，则______.
答案：
.
由图,,为相邻对称中心,则,则,将点代入函数解析式,进而求解即可.
解：
由图可知,,则,所以,
所以,将点代入函数解析式可得,
所以,所以,因为,所以.
故答案为:
点评：
本题考查由函数图象求解析式,考查正弦型函数的图象与性质的应用.
15．已知函数，若函数至少有两个不同的零点，则实数的取值范围是______.
答案：
.
函数至少有两个零点等价于方程至少有两个不同的实数根,即函数的图象与直线至少有两个不同的交点,画出函数的图象,利用导函数求出相切时的切线斜率,进而根据图象得到结果.
解：
函数至少有两个零点等价于方程至少有两个不同的实数根,即函数的图象与直线至少有两个不同的交点,画出函数的图象,如图所示,
设直线与相切于点,且,则,解得,
由图可知,实数的取值范围是.
故答案为:
点评：
本题考查已知零点个数求参问题,考查导函数的几何意义的应用,考查数形结合思想.
16．设的外接圆的圆心为，半径为2，且满足，则的最小值为________.
答案：
.
由外接圆可得向量的模都等于2,又可得向量两两间的夹角为120°,则的最小值转化为直线上的点到两点间的距离之和的最小值,即当三点共线时满足,进而求解即可.
解：
由题意可知,向量的模都等于2,
因为,所以向量两两间的夹角为120°,
由几何意义可知,要求的最小值,即求直线上的点到两点间的距离之和的最小值,显然当三点共线时,点到两点的距离的和最小,设,
由余弦定理可得.
故答案为:
点评：
本题考查向量的模的应用,考查向量在几何中的应用.
三、解答题
17．在平面直角坐标系中，点.
（1）若，求实数的值；
（2）若，求的面积.
答案：
（1）；
（2）4.
（1）由题可得,进而由求解即可；
（2）由可得,则,利用数量积可得,进而利用三角形面积公式求解即可.
解：
（1）由题,,
若,
则,所以.
（2）若,则,所以,
则,
所以,则,
所以的面积为.
点评：
本题考查数量积的坐标表示,考查三角形面积公式的应用,考查数量积的应用.
18．已知函数的图象关于直线对称，且图象上相邻两个对称中心的距离为.
（1）求函数的解析式；
（2）设，且，若，求的值.
答案：
（1）；
（2）.
（1）由图象上相邻两个对称中心的距离为可得,则,又图象关于直线对称,即,则可求得,进而求解即可；
（2）由可得,又,则关于对称,所以,进而代入求解即可.
解：
（1）因为函数的图象上相邻两个对称中心的距离为,所以,即,所以,所以,
又因为的图象关于直线对称,所以,
所以,由得,
所以.
（2）因为,所以,
因为,所以,所以,
所以.
点评：
本题考查由三角函数的性质求函数解析式,考查三角函数对称性的应用,考查运算能力.
19．已知向量，其中，设函数的最小正周期为.
（1）求函数的解析式；
（2）求函数在区间上的单调递增区间.
答案：
（1）；
（2）.
（1）化简,由最小正周期为可得,即可求解；
（2）令,可得,由,对赋值求解即可.
解：
（1）由题意,
因为最小正周期为,所以,解得,
所以.
（2）令,解得,
所以函数的单调递增区间为,
因为,则当时,函数的增区间为；当时,函数的增区间为；当时,函数的增区间为,
故可得函数在区间上的单调递增区间为.
点评：
本题考查三角函数的化简,考查正弦型函数周期性的应用,考查正弦型函数的单调区间.
20．设函数.
（1）若实数满足，求实数的取值范围；
（2）记函数的最小值为，若不等式对恒成立，求实数的取值范围.
答案：
（1）；
（2）.
（1）由,则不等式为,求解即可；
（2）由
（1）,则,整理,令可得,则对恒成立,进而求解即可.
解：
（1）因为,且,
所以,解得,即实数的取值范围是.
（2）由
（1）可知,,
由题意,则不等式对恒成立,
因为,
令,则不等式对恒成立,等价于对恒成立,即对恒成立,
令,则,解得,
即实数的取值范围是.
点评：
本题考查解一元二次不等式,考查不等式恒成立问题,考查三角函数的化简,考查二次函数的性质的应用.
21．已知的内角的对边分别为，且满足.
（1）设为的中点，，求.
（2）设的外接圆的半径为，求的面积.
答案：
（1）；
（2）.
（1）先利用正弦定理化边为角可得,整理可得,即,由为的中点可得,进而平方处理求解即可；
（2）由正弦定理可得,,再求得,进而由三角形面积公式求解即可.
解：
（1）由题,因为,所以,
即,所以,
因为,所以,所以,
因为为的中点,
所以,所以,
则有,可解得.
（2）由正弦定理可得,则,,
所以,
所以,
所以.
点评：
本题考查利用正弦定理化边为角,考查向量在几何中的应用,考查三角形面积公式的应用,考查运算能力.
22．已知函数.
（1）讨论函数的极值；
（2）当时，记函数的最小值为，求的最大值.
答案：
（1）见解析；
（2）.
（1）由题可知定义域为,求导可得,令,则,分别讨论时与时的函数单调性,进而求解极值；
（2）由
（1）可知,对求导可得,令,则,进而判断的单调性,即可求解.
解：
（1）函数的定义域为,又,
令,则,
当时,在时,；在时,,则函数在上单调递减,在上单调递增,故函数的极小值,无极大值；
当时,因为,所以,则函数在上单调递增,此时函数无极值.
综上所述,当时,函数的极小值,无极大值；当时,函数无极值.
（2）由
（1）,当时,,则；
令,则,且当时,有；
当时,,则在处取得极大值,同时也是最大值,
则.
点评：
本题考查利用导函数求函数的极值,考查利用导函数求最值,考查分类讨论思想.
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