届高考数学一轮复习 第3章 第15课 基本不等式及其应用.docx

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届高考数学一轮复习第3章第15课基本不等式及其应用

第15课基本不等式及其应用

[最新考纲]

内容

要求

A

B

C

基本不等式及其应用

√

1．基本不等式≤

（1）基本不等式成立的条件：

a>0，b>0.

（2）等号成立的条件：

当且仅当a＝b.

2．几个重要的不等式

（1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R）；

（2）＋≥2（a，b同号且不为零）；

（3）ab≤2（a，b∈R）；

（4）2≤（a，b∈R）．

3．算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：

两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

4．利用基本不等式求最值问题

已知x>0，y>0，则

（1）如果xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值是2（简记：

积定和最小）．

（2）如果x＋y是定值q，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值是（简记：

和定积最大）．

1．（思考辨析）判断下列结论的正误．（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）函数y＝x＋的最小值是2.（　　）

（2）函数f（x）＝cosx＋，x∈的最小值等于4.（　　）

（3）x>0，y>0是＋≥2的充要条件．（　　）

（4）若a>0，则a3＋的最小值为2.（　　）

[答案]　

（1）×　

（2）×　（3）×　（4）×

2．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是________．（填序号）

①a2＋b2>2ab；

②a＋b≥2；

③＋>；

④＋≥2.

④　[∵a2＋b2－2ab＝（a－b）2≥0，∴①错误；对于②，③，当a<0，b<0时，明显错误．

对于④，∵ab>0，∴＋≥2＝2.]

3．若a，b都是正数，则的最小值为________．

9　[∵a，b都是正数，∴＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b＝2a>0时取等号．]

4．若函数f（x）＝x＋（x>2）在x＝a处取最小值，则a等于________．

3　[当x>2时，x－2>0，f（x）＝（x－2）＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝（x>2），即x＝3时取等号，即当f（x）取得最小值时，x＝3，即a＝3.]

5．（教材改编）若把总长为20m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__________m2.

25　[设矩形的一边为xm，矩形场地的面积为y，

则另一边为×（20－2x）＝（10－x）m，

则y＝x（10－x）≤2＝25，

当且仅当x＝10－x，即x＝5时，ymax＝25.]

利用基本不等式求最值

角度1　配凑法求最值

（1）已知x<，则f（x）＝4x－2＋的最大值为________.

【导学号：

62172084】

（2）（2017·无锡模拟）若实数x，y满足x>y>0，且log2x＋log2y＝1，则的最小值为________．

（1）1　

（2）4　[

（1）因为x<，所以5－4x>0，

则f（x）＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.

当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立．

故f（x）＝4x－2＋的最大值为1.

（2）由log2x＋log2y＝1得xy＝2.

∴＝＝（x－y）＋.

又x>y，∴x－y>0.

∴（x－y）＋≥2＝4，

当且仅当x－y＝，即x－y＝2时等号成立．

故的最小值为4.]

角度2　常数代换或消元法求最值

（1）若正数x，y满足x＋3y＝5xy，则3x＋4y的最小值是________．

（2）设a＋b＝2，b>0，则＋取最小值时，a的值为________．

（1）5　

（2）－2　[

（1）法一：

由x＋3y＝5xy可得＋＝1，

∴3x＋4y＝（3x＋4y）

＝＋＋＋≥＋＝5.

（当且仅当＝，即x＝1，y＝时，等号成立），

∴3x＋4y的最小值是5.

法二：

由x＋3y＝5xy，得x＝，

∵x>0，y>0，∴y>.

∴3x＋4y＝＋4y

＝＋4y

＝＋·＋4≥＋2＝5，

当且仅当y＝时等号成立，

∴（3x＋4y）min＝5.

（2）∵a＋b＝2，

∴＋＝＋

＝＋

＝＋＋

≥＋2＝＋1，

当且仅当＝时等号成立．

又a＋b＝2，b>0，

∴当b＝－2a，a＝－2时，＋取得最小值．]

角度3　不等式的综合应用

（1）设正实数x，y，z满足x2－3xy＋4y2－z＝0，则当取得最大值时，＋－的最大值为________．

（2）设f（x）＝lnx,0

①q＝r

③q＝r>p;④p＝r>q.

（1）1　

（2）②　[＝＝≤＝1，当且仅当x＝2y时等号成立，因此z＝4y2－6y2＋4y2＝2y2，所以＋－＝－＝－2＋1≤1.

（2）因为b>a>0，故>.又f（x）＝lnx（x>0）为增函数，所以f>f（），即q>p.又r＝（f（a）＋f（b））＝（lna＋lnb）＝ln＝p，∴p＝r

[规律方法]　1.利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．

2．在求最值过程中若不能直接使用基本不等式，可以考虑利用拆项、配凑、常数代换、平方等技巧进行变形，使之能够使用基本不等式．

利用基本不等式证明不等式

　已知a>0，b>0，a＋b＝1，求证：

（1）＋＋≥8；

（2）≥9.【导学号：

62172085】

[证明]　

（1）＋＋＝2.

∵a＋b＝1，a>0，b>0，

∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，

∴＋＋≥8（当且仅当a＝b＝时等号成立）．

（2）法一：

∵a>0，b>0，a＋b＝1，

∴1＋＝1＋＝2＋，同理1＋＝2＋，

∴＝

＝5＋2≥5＋4＝9，

∴≥9（当且仅当a＝b＝时等号成立）．

法二：

＝1＋＋＋，

由

（1）知，＋＋≥8，

故＝1＋＋＋≥9.

[规律方法]　1.“1”的代换是解决问题的关键，代换变形后能使用基本不等式是代换的前提，不能盲目变形．

2．利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式必须是有“和”式或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，达到放缩的效果，必要时，也需要运用“拆、拼、凑”的技巧，同时应注意多次运用基本不等式时等号能否取到．

[变式训练1]　设a，b均为正实数，求证：

＋＋ab≥2.

[证明]　由于a，b均为正实数，

所以＋≥2＝，

当且仅当＝，即a＝b时等号成立，

又因为＋ab≥2＝2，

当且仅当＝ab时等号成立，

所以＋＋ab≥＋ab≥2，

当且仅当即a＝b＝时取等号.

基本不等式的实际应用

　运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米，按交通法规限制50≤x≤100（单位：

千米/时）．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油升，司机的工资是每小时14元．

（1）求这次行车总费用y关于x的表达式；

（2）当x为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．

[解]　

（1）设所用时间为t＝（h），

y＝×2×＋14×，x∈[50,100]．

所以这次行车总费用y关于x的表达式是

y＝＋x，x∈.

（或y＝＋x，x∈）．

（2）y＝＋x≥26，

当且仅当＝x，

即x＝18，等号成立．

故当x＝18千米/时，这次行车的总费用最低，最低费用的值为26元．

[规律方法]　1.设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数．

2．根据实际问题抽象出函数的解析式后，只需利用基本不等式求得函数的最值．

3．在求函数的最值时，一定要在定义域（使实际问题有意义的自变量的取值范围）内求解．

[变式训练2]　某化工企业2016年年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．设该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用为y（单位：

万元）．

（1）用x表示y；

（2）当该企业的年平均污水处理费用最低时，企业需重新更换新的污水处理设备．则该企业几年后需要重新更换新的污水处理设备．

[解]　

（1）由题意得，

y＝，

即y＝x＋＋1.5（x∈N＋）．

（2）由基本不等式得：

y＝x＋＋1.5≥2＋1.5＝21.5，

当且仅当x＝，即x＝10时取等号．

故该企业10年后需要重新更换新的污水处理设备．

[思想与方法]

1．基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．

2．基本不等式的两个变形：

（1）≥2≥ab（a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号）．

（2）≥≥≥（a>0，b>0，当且仅当a＝b时取等号）．

[易错与防范]

1．使用基本不等式求最值，“一正”“二定”“三相等”三个条件缺一不可．

2．“当且仅当a＝b时等号成立”的含义是“a＝b”是等号成立的充要条件，这一点至关重要，忽视它往往会导致解题错误．

3．连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件一致．

课时分层训练（十五）

A组　基础达标

（建议用时：

30分钟）

一、填空题

1．下列命题中正确的是________．（填序号）

①y＝x＋的最小值是2；

②y＝2－3x－（x＞0）的最大值是2－4；

③y＝sin2x＋的最小值是4；

④y＝2－3x－（x＜0）的最小值是2－4.

②　[①不正确，如取x＝－1，则y＝－2.

②正确，因为y＝2－3x－＝2－≤2－2＝2－4.

当且仅当3x＝，即x＝时等号成立．

③不正确，令sin2x＝t，则0＜t≤1，所以g（t）＝t＋，显然g（t）在（0,1]上单调递减，故g（t）min＝g

（1）＝1＋4＝5.

④不正确，∵x＜0，∴－x＞0，

∴y＝2－3x－＝2＋≥2＋4.

当且仅当－3x＝－，即x＝－时等号成立．]

2．关于x的不等式x2－4ax＋3a2＜0（a＞0）的解集为（x1，x2），则x1＋x2＋的最小值是________．

　[依题意可得x1＋x2＝4a，x1·x2＝3a2，∴x1＋x2＋＝4a＋＝4a＋≥2＝，故x1＋x2＋的最小值为.]

3．已知a＞0，b＞0，若不等式－－≤0恒成立，则m的最大值为________.【导学号：

62172086】

16　[因为a＞0，b＞0，所以由－－≤0恒成立得m≤（3a＋b）＝10＋＋恒成立．因为＋≥2＝6，当且仅当a＝b时等号成立，所以10＋＋≥16，所以m≤16，即m的最大值为16.]

4．（2017·盐城模拟）若x>0，y>0，且2x＋y＝2，则＋的最小值是________．

＋　[由2x＋y＝2得x＋＝1.

∴＋＝＝1＋＋＋

＝＋＋≥＋2＝＋.]

5．要制作一个容积为4m3，高为1m的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________．

160元　[由题意知，体积V＝4m3，高h＝1m，

所以底面积S＝4m2，设底面矩形的一条边长是xm，则另一条边长是m．又设总造价是y元，则

y＝20×4＋10×≥80＋20＝160.

当且仅当2x＝，即x＝2时取得等号．]

6．已知x，y∈（0，＋∞），2x－3＝y，若＋（m＞0）的最小值为3，则m的值为________．

4　[由2x－3＝y得x＋y＝3，则

＋＝（x＋y）·

＝≥（1＋m＋2），

∴（1＋m＋2）＝3，即（＋1）