四川省绵阳市届高三第三次诊断性考试数学试题理含答案.docx
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四川省绵阳市届高三第三次诊断性考试数学试题理含答案
绵阳市高中2014级第三次诊断性考试
数学（理工类）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集，，，则（）
A．B.C．D．（0,1）
2.已知是虚数单位，则（）
A．1B．C．2D．
3.某路口的红绿灯，红灯时间为30秒，黄灯时间为5秒，绿灯时间为40秒，假设你在任何时间到达该路口是等可能的，则当你到达该路口时，看见不是黄灯的概率是（）
A．B．C.D．
4.等比数列的各项均为正数，且，，则（）
A．B．C.20D.40
5.已知正方形的边长为6，在边上且，为的中点，则（）
A．-6B．12C.6D．-12
6.在如图所示的程序框图中，若函数则输出的结果是（）
A．16B．8C.D．
7.已知函数为奇函数，，是其图像上两点，若的最小值是1，则（）
A．2B．-2C.D．
8.《九章算术》是中国古代第一部数学专著，书中有关于“堑堵”的记载，“堑堵”即底面是直角三角形的直三棱柱.已知某“堑堵”被一个平面截去一部分后，剩下部分的三视图如图所示，则剩下部分的体积是（）
A．50B．75C.25.5D．37.5
9.已知函数，其中.若函数的最大值记为，则的最小值为（）
A．B．1C.D．
10.已知是双曲线：
的右焦点，，分别为的左、右顶点.为坐标原点，为上一点，轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点,直线与轴交于点，若，则双曲线的离心率为（）
A．3B．4C.5D．6
11.三棱锥中，，，互相垂直，，是线段上一动点，若直线与平面所成角的正切的最大值是，则三棱锥的外接球表面积是（）
A．B．C.D．
12.已知函数，若存在实数满足时，成立，则实数的最大值为（）
A．B．C.D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.若实数满足，则的最小值是．
14.过定点的直线：
与圆：
相切于点，则．
15.已知的展开式中各项系数的和为32，则展开式中的系数为．（用数字作答）
16.设公差不为0的等差数列的前项和为，若，，成等比数列，且，则的值是．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在中，，，分别是内角，，的对边，且.
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）若，且，求的面积.
18.共享单车进驻城市，绿色出行引领时尚.某市有统计数据显示，2016年该市共享单车用户年龄登记分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示.若将共享单车用户按照年龄分为“年轻人”（20岁~39岁）和“非年轻人”（19岁及以下或者40岁及以上）两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的称为“经常使用单车用户”，使用次数为5次或不足5次的称为“不常使用单车用户”.已知在“经常使用单车用户”中有是“年轻人”.
（Ⅰ）现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为200的样本，请你根据图表中的数据，补全下列列联表，并根据列联表的独立性检验，判断能有多大把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关？
使用共享单车情况与年龄列联表
年轻人
非年轻人
合计
经常使用单车用户
120
不常使用单车用户
80
合计
160
40
200
（Ⅱ）将频率视为概率，若从该市市民中随机任取3人，设其中经常使用共享单车的“非年轻人”人数为随机变量，求的分布与期望.
（参考数据：
独立性检验界值表
0.15
0.10
0.050
0.025
0.010
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
其中，，）
19.已知矩形和菱形所在平面互相垂直，如图，其中，，，点是线段的中点.
（Ⅰ）试问在线段上是否存在点，使得直线平面？
若存在，请证明平面，并求出的值；若不存在，请说明理由；
（Ⅱ）求二面角的正弦值.
20.已知点，点是椭圆：
上任意一点，线段的垂直平分线交于点，点的轨迹记为曲线.
（Ⅰ）求曲线的方程；
（Ⅱ）过的直线交曲线于不同的，两点,交轴于点，已知，，求的值.
21.函数，.
（Ⅰ）若，设，试证明存在唯一零点，并求的最大值；
（Ⅱ）若关于的不等式的解集中有且只有两个整数，求实数的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：
坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程是（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）分别写出的极坐标方程和的直角坐标方程；
（Ⅱ）若射线的极坐标方程，且分别交曲线、于、两点，求.
23.选修4-5：
不等式选讲
已知函数，.
（Ⅰ）时，解不等式；
（Ⅱ）若对任意都有，使得成立，求实数的取值范围.
绵阳市高2014级第三次诊断性考试
数学（理工类）参考解答及评分标准
一、选择题
1-5:
CDABA6-10:
ABDDC11、12：
BB
二、填空题
13.214.415.12016.9
三、解答题
17.解：
（Ⅰ）把整理得，,
由余弦定理有,
∴.
（Ⅱ）中，，即，故，
由已知可得,
∴,
整理得.
若，则，
于是由，可得，
此时的面积为.
若，则，
由正弦定理可知，，
代入整理可得，解得，进而，
此时的面积.
∴综上所述，的面为.
18.解：
（Ⅰ）补全的列联表如下：
年轻人
非年轻人
合计
经常使用共享单车
100
20
120
不常使用共享单车
60
20
80
合计
160
40
200
于是，，，，
∴，
即有85%的把握可以认为经常使用共享单车与年龄有关.
（Ⅱ）由（Ⅰ）的列联表可知，经常使用共享单车的“非年轻人”占样本总数的频率为，即在抽取的用户中出现经常使用单车的“非年轻人”的概率为0.1，
∵,
∴，，
∴的分布列为
0
1
2
3
0.729
0.243
0.027
0.001
∴的数学期望.
19.解：
（Ⅰ）作的中点，连接交于点，点即为所求的点.
证明：
连接，
∵是的中点，是的中点，
∴，
又平面，平面，
∴直线平面.
∵，，
∴，
∴.
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
又面面，面面，面，
所以面.
故，.
以为空间原点，，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，
∵，，
∴为正三角形，，
∴，，，，
∴，，，，
设平面的一个法向量，则由，可得
令，则.
设平面的一个法向量，则由，可得
令，则.
则，
设二面角的平面角为，则，
∴二面角的正弦值为.
20.解：
（Ⅰ）由题意知，，
故由椭圆定义知，点的轨迹是以点，为焦点，长轴为6，焦距为4的椭圆，从而长半轴长为，短半轴长为，
∴曲线的方程为：
.
（Ⅱ）由题意知，
若直线恰好过原点，则，，，
∴，，则，
，，则，
∴.
若直线不过原点，设直线：
，，
，，.
则，，
，，
由，得，从而；
由，得，从而；
故.
联立方程组得：
整理得，
∴，，
∴.
综上所述，.
21.（Ⅰ）证明：
由题意知，
于是
令，，
∴在上单调递减.
又，，
所以存在，使得，
综上存在唯一零点.
解：
当，，于是，在单调递增；
当，，于是，在单调递减；
故，
又，，，
故.
（Ⅱ）解：
等价于.
，
令，则，
令，则，即在上单调递增.
又，，
∴存在，使得.
∴当，在单调递增；
当，在单调递减.
∵，，，
且当时，，
又，，，
故要使不等式解集中有且只有两个整数，的取值范围应为.
22.解：
（Ⅰ）将参数方程化为普通方程为，即，
∴的极坐标方程为.
将极坐标方程化为直角坐标方程为.
（Ⅱ）将代入：
整理得，
解得，即.
∵曲线是圆心在原点，半径为1的圆，
∴射线与相交，即，即.
故.
23.解：
（Ⅰ）当时，，由解得，综合得，
当时，，显然不成立，
当时，，由解得，综合得，
所以的解集是.
（Ⅱ），
，
∴根据题意，
解得，或.
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