五年高考真题届高考数学复习 第十章 第六节 离散型随机变量的分布列均值与方差 理全国通用.docx
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五年高考真题届高考数学复习第十章第六节离散型随机变量的分布列均值与方差理全国通用
考点一 离散型随机变量的分布列
1．（2013·广东，4）已知离散型随机变量X的分布列为
X
1
2
3
P
则X的数学期望E（X）＝（ ）
A.B．2C.D．3
解析 由已知条件可知E（X）＝1×＋2×＋3×＝，故选A.
答案 A
2．（2015·安徽，17）已知2件次品和3件正品混放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结果．
（1）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；
（2）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：
元），求X的分布列和均值（数学期望）．
解
（1）记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件A.
P（A）＝＝.
（2）X的可能取值为200，300，400.
P（X＝200）＝＝，
P（X＝300）＝＝，
P（X＝400）＝1－P（X＝200）－P（X＝300）＝1－－＝.
故X的分布列为
X
200
300
400
P
E（X）＝200×＋300×＋400×＝350.
3．（2015·福建，16）某银行规定，一张银行卡若在一天内出现3次密码尝试错误，该银行卡将被锁定．小王到该银行取钱时，发现自己忘记了银行卡的密码，但可以确认该银行卡的正确密码是他常用的6个密码之一，小王决定从中不重复地随机选择1个进行尝试．若密码正确，则结束尝试；否则继续尝试，直至该银行卡被锁定．
（1）求当天小王的该银行卡被锁定的概率；
（2）设当天小王用该银行卡尝试密码的次数为X，求X的分布列和数学期望．
解
（1）设“当天小王的该银行卡被锁定”的事件为A，
则P（A）＝××＝.
（2）依题意得，X所有可能的取值是1，2，3.
又P（X＝1）＝，P（X＝2）＝×＝，
P（X＝3）＝××1＝.
所以X的分布列为
X
1
2
3
P
所以E（X）＝1×＋2×＋3×＝.
4．（2015·重庆，17）端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取3个．
（1）求三种粽子各取到1个的概率；
（2）设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列与数学期望．
解
（1）令A表示事件“三种粽子各取到1个”，则由古典概型的概率计算公式有P（A）＝＝.
（2）X的所有可能值为0，1，2，且
P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝.
综上知，X的分布列为
X
0
1
2
P
故E（X）＝0×＋1×＋2×＝（个）．
5．（2014·天津，16）某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动（每位同学被选到的可能性相同）．
（1）求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；
（2）设X为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X的分布列和数学期望．
解
（1）设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A，则P（A）＝＝.
所以，选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.
（2）随机变量X的所有可能值为0，1，2，3.
P（X＝k）＝（k＝0，1，2，3）．
所以，随机变量X的分布列是
X
0
1
2
3
P
随机变量X的数学期望E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
6．（2014·四川，17）一款击鼓小游戏的规则如下：
每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得－200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立．
（1）设每盘游戏获得的分数为X，求X的分布列；
（2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
解
（1）X可能的取值为：
10，20，100，－200.根据题意，有
P（X＝10）＝C××＝，
P（X＝20）＝C××＝，
P（X＝100）＝C××＝，
P（X＝－200）＝C××＝.
所以X的分布列为
X
10
20
100
－200
P
（2）设“第i盘游戏没有出现音乐”为事件Ai（i＝1，2，3），则
P（A1）＝P（A2）＝P（A3）＝P（X＝－200）＝.
所以，“三盘游戏中至少有一次出现音乐”的概率为
1－P（A1A2A3）＝1－＝1－＝.
因此，玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是.
（3）X的数学期望为E（X）＝10×＋20×＋100×－200×＝－.
这表明，获得分数X的均值为负，
因此，多次游戏之后分数减少的可能性更大．
7．（2014·山东，18）乒乓球台面被球网分隔成甲、乙两部分．如图，甲上有两个不相交的区域A，B，乙被划分为两个不相交的区域C，D.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球．规定：
回球一次，落点在C上记3分，在D上记1分，其他情况记0分．对落点在A上的来球，队员小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为；对落点在B上的来球，小明回球的落点在C上的概率为，在D上的概率为.假设共有两次来球且落在A，B上各一次，小明的两次回球互不影响．求：
（1）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（2）两次回球结束后，小明得分之和ξ的分布列与数学期望．
解
（1）记Ai为事件“小明对落点在A上的来球回球的得分为i分”（i＝0，1，3），
则P（A3）＝，P（A1）＝，P（A0）＝1－－＝；
记Bi为事件“小明对落点在B上的来球回球的得分为i分”（i＝0，1，3），
则P（B3）＝，P（B1）＝，P（B0）＝1－－＝.
记D为事件“小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上”．
由题意，D＝A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3，
由事件的独立性和互斥性，
P（D）＝P（A3B0＋A1B0＋A0B1＋A0B3）
＝P（A3B0）＋P（A1B0）＋P（A0B1）＋P（A0B3）
＝P（A3）P（B0）＋P（A1）P（B0）＋P（A0）P（B1）＋P（A0）P（B3）
＝×＋×＋×＋×＝，
所以小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率为.
（2）由题意，随机变量ξ可能的取值为0，1，2，3，4，6，
由事件的独立性和互斥性，得
P（ξ＝0）＝P（A0B0）＝×＝，
P（ξ＝1）＝P（A1B0＋A0B1）＝P（A1B0）＋P（A0B1）
＝×＋×＝，
P（ξ＝2）＝P（A1B1）＝×＝，
P（ξ＝3）＝P（A3B0＋A0B3）＝P（A3B0）＋P（A0B3）
＝×＋×＝，
P（ξ＝4）＝P（A3B1＋A1B3）＝P（A3B1）＋P（A1B3）
＝×＋×＝，
P（ξ＝6）＝P（A3B3）＝×＝.
可得随机变量ξ的分布列为：
ξ
0
1
2
3
4
6
P
所以数学期望E（ξ）＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋6×＝.
8．（2014·重庆，18）一盒中装有9张各写有一个数字的卡片，其中4张卡片上的数字是1，3张卡片上的数字是2，2张卡片上的数字是3.从盒中任取3张卡片．
（1）求所取3张卡片上的数字完全相同的概率；
（2）X表示所取3张卡片上的数字的中位数，求X的分布列与数学期望．
（注：
若三个数a，b，c满足a≤b≤c，则称b为这三个数的中位数．）
解
（1）由古典概型中的概率计算公式知所求概率为p＝＝.
（2）X的所有可能值为1，2，3，且
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
故X的分布列为
X
1
2
3
P
从而E（X）＝1×＋2×＋3×＝.
9．（2014·江西，21）随机将1，2，…，2n（n∈N*，n≥2）这2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数．A组最小数为a1，最大数为a2；B组最小数为b1，最大数为b2，记ξ＝a2－a1，η＝b2－b1.
（1）当n＝3时，求ξ的分布列和数学期望；
（2）令C表示事件“ξ与η的取值恰好相等”，求事件C发生的概率P（C）；
（3）对
（2）中的事件C，C表示C的对立事件，判断P（C）和P（C）的大小关系，并说明理由．
解
（1）当n＝3时，ξ的所有可能取值为2，3，4，5.
将6个正整数平均分成A，B两组，不同的分组方法共有C＝20种，所以ξ的分布列为
ξ
2
3
4
5
P
E（ξ）＝2×＋3×＋4×＋5×＝.
（2）ξ和η恰好相等的所有可能取值为：
n－1，n，n＋1，…，2n－2.
又ξ和η恰好相等且等于n－1时，不同的分组方法有2种；
ξ和η恰好相等且等于n时，不同的分组方法有2种；
ξ和η恰好相等且等于n＋k（k＝1，2，…，n－2）（n≥3）时，不同的分组方法有2C种；
所以当n＝2时，P（C）＝＝，
当n≥3时，P（C）＝.
（3）由
（2）知当n＝2时，P（）＝，因此P（C）>P（）．
而当n≥3时，P（C）P（C）.①
1°当n=3时，①式左边=4（2+）=4（2+2）=16，
①右边=C=20，所以①式成立.
2°假设n=m（m≥3）时①式成立，
那么，当n=m+1时，
左边=
＝＋
＝
<
＝C·
即当n＝m＋1时①式也成立．
综合1°，2°得：
对于n≥3的所有正整数，都有P（C）10．（2013·天津，16）一个盒子里装有7张卡片，其中有红色卡片4张，编号分别为1，2，3，4；白色卡片3张，编号分别为2，3，4.从盒子中任取4张卡片（假设取到任何一张卡片的可能性相同）．
（1）求取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率；
（2）在取出的4张卡片中，红色卡片编号的最大值设为X，求随机变量X的分布列和数学期望．
解
（1）设“取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片”为事件A，则P（A）＝＝.
所以取出的4张卡片中，含有编号为3的卡片的概率为.
（2）随机变量X的所有可能取值为1，2，3，4.
P（X＝1）＝＝，
P（X＝2）＝＝，
P（X＝3）＝＝，
P（X＝4）＝＝.
所以随机变量X的分布列是
X
1
2
3
4
P
随机变量X的数学期望E（X）＝1×＋2×＋3×＋4×＝.
11．（2013·北京，16）下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择3月1日至3月13日的某一天到达该市，并停留2天．
（1）求此人到达当日空气重度污染的概率；
（2）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望；
（3）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？
（结论不要求证明）．
解 设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”（i＝1，2，…，13）．
根据题意，P（Ai）＝，且Ai∩Aj
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