市级联考湖南省株洲市届高三第二次教学质量检测二模数学理科试题.docx

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市级联考湖南省株洲市届高三第二次教学质量检测二模数学理科试题

【市级联考】湖南省株洲市2019届高三第二次教学质量检测（二模）数学（理科）试题

学校:

___________姓名：

___________班级：

___________考号：

___________

一、单选题

1．已知集合，则（）

A．B．C．D．

2．为虚数单位，复数的虚部是（）

A．B．C．D．

3．如图，在边长为的正方形内有不规则图形，由电脑随机从正方形中抽取个点，若落在图形内和图形外的点分别为，则图形面积的估计值为（）

A．B．C．D．

4．已知双曲线的一条渐近线的倾斜角为，且的一个焦点到的距离为，则双曲线的方程为（）

A．B．

C．D．

5．已知等差数列单调递增且满足，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

6．在边长为的菱形中，为的中点，则的值为（）

A．B．C．D．

7．已知命题：

，，命题：

，，则下列命题正确的是（）

A．B．C．D．

8．一个几何体的三视图如图所示，那么这个几何体的体积为（）

A．B．C．D．

9．高铁是一种快捷的交通工具，为我们的出行提供了极大的方便。

某高铁换乘站设有编号为①，②，③，④，⑤的五个安全出口，若同时开放其中的两个安全出口，疏散名乘客所需的时间如下：

安全出口编号

①②

②③

③④

④⑤

①⑤

疏散乘客时间（s）

120

220

160

140

200

则疏散乘客最快的一个安全出口的编号是（）

A．①B．②C．④D．⑤

10．若函数恰有三个不同的零点，则的取值范围是（）

A．B．

C．D．

11．已知长方体，正方形所在平面记为，若经过点的直线与长方体所有的棱所成角相等，且，则线段的长为（）

A．B．C．D．

12．设函数，其中，则满足的取值范围是（）

A．B．C．D．

二、填空题

13．已知实数满足条件，则的最大值为______．

14．在的展开式中，项的系数为_____（用数字作答）．

15．已知数列的前项和为，则______．

16．已知是椭圆的左右焦点，是短轴的一个端点，线段的延长线交椭圆于点，若为等腰三角形，则椭圆的离心率为______．

三、解答题

17．如图，在四边形中，，连接.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）若，求的面积最大值.

18．如图，已知四棱锥的底面为边长为的菱形，为中点，连接.

（Ⅰ）求证：

平面平面；

（Ⅱ）若平面平面，且二面角的余弦值为，求四棱锥的体积.

19．已知抛物线经过点，过作两条不同直线，其中直线关于直线对称.

（Ⅰ）求抛物线的方程及准线方程；

（Ⅱ）设直线分别交抛物线于两点（均不与重合），若以线段为直径的圆与抛物线的准线相切，求直线的方程.

20．从某公司生产线生产的某种产品中抽取1000件，测量这些产品的一项质量指标，由检测结果得如图所示的频率分布直方图：

（1）求这1000件产品质量指标的样本平均数和样本方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（2）由直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数近似为样本方差.

（i）利用该正态分布，求；

（ⅱ）已知每件该产品的生产成本为10元，每件合格品（质量指标值）的定价为16元；若为次品（质量指标值），除了全额退款外且每件次品还须赔付客户48元.若该公司卖出100件这种产品，记表示这件产品的利润，求.

附：

，若，则.

21．设函数.

（Ⅰ）讨论的极值；

（Ⅱ）若曲线和曲线在点处有相同的切线，且当时，，求的取值范围.

22．选修4-4：

坐标系与参数方程

在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），现以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

（Ⅰ）求圆的极坐标方程；

（Ⅱ）设是圆上的两个动点，且，求的最大值.

23．选修4-5：

不等式选讲

已知函数.

（Ⅰ）若，解不等式；

（Ⅱ）当时，函数的最小值为，求实数的值.

参考答案

1．C

【解析】

【分析】

根据交集的定义，找出集合M,N的公共元素即可。

【详解】

因为集合，所以，故选C.

【点睛】

本题考查集合的表示方法，交集的定义与运算，属于基础题。

2．B

【分析】

根据复数的除法运算求出复数的代数形式后可得答案．

【详解】

由题意得，，

所以复数的虚部是．

故选B．

【点睛】

本题考查复数的运算和虚部的概念，解题时容易认为复数的虚部为，要强化对复数概念的理解，属于基础题．

3．C

【解析】

【分析】

根据面积型的几何概型概率公式进行估计计算可得答案．

【详解】

设图形的面积为，则由几何概型及题意得，

所以，

即图形面积的估计值为．

故选C．

【点睛】

本题考查几何概型概率的应用，解题的关键是明确落在图形内的点的概率等于两图形的面积比，属于基础题．

4．D

【分析】

根据题意求出参数的值后可得双曲线的方程．

【详解】

由可得，即渐近线的方程为，

又一条渐近线的倾斜角为，

所以．

因为双曲线的一个焦点到的距离为，

所以，

所以，

所以双曲线的方程为．

故选D．

【点睛】

本题考查双曲线方程的求法，解题的关键是根据题意求出参数的值，解题是要注意将条件中给出的数据进行适当的转化，属于基础题．

5．B

【解析】

试题分析：

∵等差数列单调递增，∴，∵，即，即，∴．

考点：

等差数列的通项公式．

6．A

【分析】

选择向量为基底，根据向量数量积的定义求解即可．

【详解】

选择向量为基底，则，

所以

．

故选A．

【点睛】

求向量数量积的两种方法：

一是根据数量积的定义求解，此时需要先选择基底，将所有向量都用该基底表示，然后按照定义求解；二是根据向量的坐标进行计算，此时需要建立直角坐标系，进而得到向量的坐标，最后转化为数的运算问题．

7．C

【分析】

利用导数和函数零点分别判断命题p,q的真假，从而判断出复合命题的真假即可．

【详解】

解：

令，时，，所以f（x）在单调递增，，p真；

令，，

，所以在恒成立，q假；故选C.

【点睛】

本题考查利用导数研究函数最值，复合命题真假的判断，属于中档题．

8．B

【分析】

由已知中的三视图，可得该几何体是一个以侧视图为底面的柱体，分别求出柱体的底面面积和高，代入柱体体积公式，可得答案．

【详解】

解：

由已知中的三视图，可得该几何体是一个以侧视图为底面的柱体，

柱体的底面由一个边长为4的正方形和一个底边长为4，高为2的三角形组成，

故柱体的底面面积S＝4×4+×2×4＝20，

由三视图可知h＝6．

故柱体的体积V＝Sh＝120，

故选B．

【点睛】

本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积．

9．C

【解析】

【分析】

利用同时开放其中的两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间分析对比，能求出结果．

【详解】

（1）同时开放①⑤两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放④⑤两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为140s，所以疏散1000名乘客④比①快60s．

（2）同时开放①⑤两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为200s，同时开放①②两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，所以疏散1000名乘客②比⑤快80s．

（3）同时开放①②两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为120s，同时开放②③两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，所以疏散1000名乘客①比③快100s．

（4）同时开放②③两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为220s，同时开放③④两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s，所以疏散1000名乘客④比②快60s．

（5）同时开放③④两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为160s，同时开放④⑤两个安全出口，疏散1000名乘客所需的时间为140s，所以疏散1000名乘客⑤比③快20s．

综上，疏散乘客最快的一个安全出口的编号是④．

【点睛】

本题考查推理的应用，考查分析判断的能力，解题的关键是读懂题意，然后得到每两个安全出口疏散1000名乘客所用时间的大小关系，比较后可得结果．

10．A

【分析】

由题意得方程有三个不同的实数根，令，

，然后画出函数的大致图象，由函数的图象以及余弦图象的对称轴求出的值，判断出的范围，即可求出的取值范围．

【详解】

由题意得方程有三个不同的实数根，

令，，

画出函数的大致图象，如图所示．

由图象得，当时，方程恰好有三个根．

令，得，

当时，；当时，．

不妨设，由题意得点关于直线对称，

所以．

又结合图象可得，

所以，

即的取值范围为．

故选A．

【点睛】

解答本题的关键是借助函数的图象利用数形结合求解，解题时注意余弦型函数图象对称性的应用，转化为只判断零点所在的范围的问题求解，考查画图、用图以及转化思想的应用，属于基础题．

11．D

【分析】

建立空间直角坐标系，根据题意求出点的坐标后可得所求长度．

【详解】

如图，建立空间直角坐标系．

由题意得，设点的坐标，则．

由题意得与平行的棱所在直线的方向向量可分别取为，，．

因为直线与所有的棱所成角相等，

所以，

因此，

所以，解得，

所以点的坐标，即为正方形对角线的交点，

因此，所以．

故选D．

【点睛】

解答本题的关键是确定点M的位置，空间直角坐标系坐标系的建立，为探求未知点的位置提供了良好的工具，考查转化能力和计算能力，属于中档题．

12．A

【分析】

由题意可得函数在上单调递减，设，则在上也为单调递减函数，然后将足化为，结合单调性可得答案．

【详解】

设，则，

所以当或时，函数单调递减；当时，函数单调递增．

所以当时，函数单调递减．

又当时，函数单调递减，

所以函数在上单调递减．

设，则在上也为单调递减函数，

又，

即，

所以．

所以所求取值范围是．

故选A．

【点睛】

本题考查函数单调性的应用，解题的关键是分析条件得到函数在上单调递减，进而得到函数在上也单调递减．考查分析和转化能力，属于中档题．

13．2

【解析】

【分析】

画出不等式组表示的可行域，令，则，然后平移直线，并根据的几何意义求解即可．

【详解】

画出不等式组表示的可行域，如图中的阴影部分所示．

令，则．

平移直线，由图形得，当直线经过可行域内的点时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最大值．

所以．

故答案为：

．

【点睛】

利用线性规划求目标函数的最值问题是常考题型，一般以选择题、填空题的形式出现，难度适中．解题时要熟练画出可行域，把目标函数适当变形，把所求最值转化为求直线的斜率、截距、距离等问题处理，主要考查数形结合在解题中的应用和计算能力．

14．0

【分析】

先求出二项式展开式的通项，然后分两种情形通过拼凑的方法求得项的系数．

【详解】

二项式展开式的通项为，

所以的展开式中项为．

故答案为．

【点睛】

对三项式或乘积型的展开式的问题，一般转化为二项式的问题处理，求解时常常要借助组合的方式、通过“配凑”的方法得到所求项或系数，属于中档题．

15．

【分析】

根据数列中项与和的关系求解．

【详解】

当时，由，得，

∴，即，

∴，

又，

∴，

∴当时，．

又，不满足上式，

所以所求通项公式为．

故答案为．

【点睛】

根据数列的前项和求数列的通项公式时，可根据求出当时的通项公式，然后再验证当