专题13多元复合函数和隐函数的求导方法与技巧 1Word格式.docx
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dy+Fu'
du+Fv'
dv=0
⎨G'
dx+G'
dy+G'
du+G'
⎩xyuv
1.复合函数偏导数与全微分
【例1】设z=
x
cos（y-1）-（y-1）cosx
∂z
∂y
则
1+sinx+sin（y-1）
（0,1）
=.
（-1）
=
【例2】设函数z=（1+x）y，则dz
y
（1,1）
.（1+2ln2）（dx-dy）
∂2F
∂x2
=⎰
xysint
【例3】设函数F（x,y）01+t2dt，则
x=0y=2
【解1】
∂F=ysinxy，
∂x1+x2y2
∂2F=
y2cos（xy）（1+x2y2）-2xy3sinxy
，
（1+x2y2）2
故
=4.
【解2】
∂F=ysinxy
xx2
2sin2x
，Fx（x,2）1+4x2
2sin2x4x
F（0,2）=lim
x→0x（1+4x
=lim=4
）x→0x（1+4x2）
22xy
∂z∂z
【例4】设z=（1+xy）
求及.
∂x∂y
【解1】由原题设可知z=exyln（1+x2y2），两端对x,y分别求偏导.
【解2】由原题设知lnz=xyln（1+x2y2），两端对x,y分别求偏导.
【解3】令u=1+x2y2,v=xy，则z=uv，由复合函数求导法可知
∂z=∂z∂u+∂z∂v=vuv-12xy2+uvlnu⋅y
=（1+x2
y2）
xy2x2y32
++
[1+x2y2yln（1x
y2）].
同理可得
∂z.
【注】解法3也可用于一元幂指函数，如y=（1+x2）sinx，可令
u=1+x2,v=sinx.
【例5】
（2007年1）设f（u,v）为二元可微函数，z=f（xy
yx
），则∂z=.
∂x
1
2
[yxy-1f+yxlnyf]
【例6】设函数f（u,v）满足f（x+y,
y）=x2
-y2,则
∂f
与
u=1v=1
u=1v=1
依次是（）
（A）
1,0.
（B）0,1.
∂u
（C）-
（D）0,-1.
【解1】令x+y=u,
=v,则
x=u
1+v
y=
uv
1+v
ç
⎪
故f（u,v）=⎛u⎫
⎛uv
-
⎫u2（1-v）
⎝1+v⎭
∂f2u（1-v）∂f
2u2
所以∂u=
=0,
∂v=-（1+v）2
=-1
y1
【解2】令x+y=u,=v,则当u=1,v=1时，x=y=.等式f（x+y,y）=x2-y2两端
x2x
分别对x,y求偏导得
fu+fv（-
f+f1
y）=2xx2
=-2y
uv（x）
⎧fu（1,1）-2fv（1,1）=1
f
⎩u
v
将x=y=代入上式得
⎨（1,1）+2f（1,1）=-1
由此解得fu（1,1）=0,fv（1,1）=-2.
∂f∂f
【例7】设函数z=
f（x,y）在点（1,1）处可微，且f（1,1）=1,∂x
=2,∂y
=3,
ϕ（x）=
f（x,f（x,x））.
求dϕ3（x）dx
..
x=1
【解】
ϕ
（1）=
f（1,f（1,1））=
f（1,1）=1,
dϕ3（x）
=⎡3ϕ2（x）dϕ（x）⎤
dxx=1⎢⎣
dx⎥⎦
=3ϕ2（x）[f'
（x,f（x,x））+f'
（x,f（x,x））（f'
（x,x）+f'
（x,x））]
12
=3⋅1⋅[2+3（2+3）]=51.
12x=1
3⎛y⎫
∂z∂2z
∂2z
【例8】设z=x
fç
xy,x⎪，f具有连续二阶偏导数，求∂y,∂y2及∂x∂y.
⎝⎭
∂z=x4f'
+x2f'
∂y12
xxf+f+xxf+f=
∂2z=4⎡'
1'
⎤2⎡'
⎤
5'
+
3'
+'
∂y2
⎣⎢11
x12⎥⎦
⎣⎢21
x22⎥⎦
xf11
2xf12
xf22,
∂2z=
3'
+4⎡
'
-y
⎤+
+2⎡
-y'
∂x∂y
4xf1
x⎢⎣yf11
x2f12⎥⎦
2xf2
x⎢⎣yf21
x2f22⎥⎦
=4x3f'
+2xf'
+x4yf'
-yf'
.
1211
x+y-2
22
∂u∂2u
【例9】设u=
f（x,y,z）,z=⎰0
etdt.求
∂x,∂x∂y,其中f有二阶连续偏导数.
【例10】设z=
f（x+y,x-y,xy），其中f具有二阶连续偏导数，求dz与∂x∂y.
【解】由于=f'
+f'
+yf'
，=f'
-f'
+xf'
，所以
∂x123∂y123
dz=∂zdx+∂zdy=（f'
）dx+（f'
）dy
∂2z=
-'
1231
+
23
f11
f12
xf13
f21
f22
xf23
f3y（f31
f32
xf33）
=f1'
1'
+（x+y）f1'
3'
-f2'
2+（x-y）f2'
3+xyf3'
+f3'
【例11】设函数z=
f（xy,yg（x）），其中函数f具有二阶连续偏导数，函数g（x）可导且在
∂2z
x=1处取得极值g
（1）=1.求
.
x=1y=1
【解1】由z=
f（xy,yg（x））知
∂z=yf'
+yg'
（x）f'
∂x12
上式两端对y求偏导得
∂2z='
+'
'
f1y[xf11
g（x）f12]
g（x）f2
yg（x）[xf21
g（x）f22].
由题意g
（1）=1,g'
（1）=0,在上式中令x=1,y=1得
【解2】由z=
f1'
（1,1）+
1（1,1）+
2（1,1）.
（1）=0,在上式中令x=1得
zx（1,y）=yf1'
（y,y）
zxy（1,y）=f1'
（y,y）+y[f1'
（y,y）+f2'
2（y,y）]
令y=1得
1（1,1）+
⎨
⎧u=x-2y,
【例12】设变换
⎩v=x+ay
可把方程6
∂2z+
∂2z
∂y20简化为
∂u∂v
=0，求常数a.
【解1】将z视为以u,v为中间变量的x,y的复合函数，由题设可得
∂z∂z∂z
∂z=-∂z∂z∂2z
∂2z∂2z∂2z
∂x=∂u+∂v,
∂y2∂u+a∂v,
∂x2=∂u2+2∂u∂v+∂v2,
2∂2z
4∂u2-4a∂u∂v+a
∂v2,
∂x∂y=-2∂u2+（a-2）∂u∂v+a∂v2.
将上述结果代入原方程，经整理后得
z2
∂2
（10+5a）∂u∂v+（6+a-a
）∂v2=0.
依题意a应满足
6+a-a2=0
且10+5a≠0,
解之得
a=3.
【解2】将z视为以x,y为中间变量的u,v的复合函数，由题设可得
x=au+2v,
a+2
y=-u+v.
∂z∂z∂x∂z∂ya∂z1∂z
从而∂u=∂x∂u+∂y∂u=a+2⋅∂x-a+2∂y,
a⎛∂2z∂x+
∂y⎫
⎭
⎝
⎛∂2z
∂x+
∂2z∂y⎫
a+2ç
∂x2∂v
∂x∂y∂v⎪
∂y∂x∂v
∂y2∂v⎪
=2a∂2z+
a-2∂2z-1
（a+2）2∂x2
（a+2）2∂x∂y
a+2∂y2.
由∂u∂v=0得，2a∂x2+（a-2）∂x∂y-∂y2=0.
2aa-2-1
依题意6∂x2+∂x∂y-∂y2=0,可知6=1
故a=3.
=-1
2∂z
2∂z2
1111
【例13】已知函数z=z（x,y）满足x
∂ψ
∂x+y
∂y=z.设
u=x,v=-,ψ=-
yxzx
对函数ψ=ψ（u,v），求证∂u=0.
⎧u=x
⎧x=u,
⎪11
【证】由⎨v=1-1,
解得⎨y=u.
这样ψ=-便是u,v的复合函数，对u求偏
zzx
⎩⎪yx
⎩⎪1+uv
导数得
∂ψ=-1（∂z∂x+∂z∂y）+1
∂uz2
∂x∂u
∂y∂uu2
=-1（∂z+∂z
1）+1,
z2∂x
1y
∂y（1+uv）2u2
利用=
1+uv
和z（x,y）满足的等式，有
∂ψ=-1
（x2∂z+y2∂z）+1
=-1+1
=0.
∂uz2x2∂x
∂yu2
x2u2
2.隐函数的偏导数与全微分
【例1】若函数z=z（x,y）由方程ex+2y+3z+xyz=1确定，则
dz=.
（0,0）
【解1】将x=0,y=0代入ex+2y+3z+xyz=1中得e3z=1,则z=0
方程ex+2y+3z+xyz=1两端微分得
ex+2y+3z（dx+2dy+3dz）+yzdx+xzdy+xydz=0
将x=0,y=0,z=0代入上式得
dx+2dy+3dz=0
则dz
=-（dx+2dy）.
3
【解2】将x=0,y=0代入ex+2y+3z+xyz=1中得e3z=1,则z=0
dz（0,0）=zx（0,0）dx+zy（0,0）dy
在ex+2y+3z+xyz=1中令y=0得，ex+3z=1,两边对x求导得
ex+3z（1+3z）=0,
z（0,0）=-1
x3
在ex+2y+3z+xyz=1中令x=0得，e2y+3z=1,两边对y求导得
e2y+3z（2+3z）=0,
z（0,0）=-2
y3
=-（dx+2dy）..
【例2】设函数z=z（x,y）由方程F⎛y,z⎫=0确定，其中F为可微函数，
⎪
且F'
≠0，则x∂z+y∂z=（）．
2∂x∂y
（A）x（B）z（C）-x（D）-z
-yF-zF1F
∂zx21
x22∂zx1
∂x=-
1,∂y=-1,
xF2xF2
∂∂-yF-zF
yF
xz+y
z=-
x1x
2-x1
1F1F
x2x2
=z
故应选（B）.
【例3】设u=f（x,y,z）有连续的一阶偏导数，又函数y=y（x）及z=z（x）分别由下列两
式确定：
exy-xy=2和
ex=⎰x-zsintdt,
du
求.
dx
du=∂f
+∂fdy+∂fdz.
0t
（1）
dx∂x
∂ydx
∂zdx
由exy-xy=2两边对x求导，得
exy⎛y+xdy⎫-⎛y+xdy⎫=0,
即dy=-y.
dxx
dx⎪ç
dx⎪
又由ex=⎰x-zsintdt两边对x求导，得
ex=
sin（x-z）x-z
⋅⎛1-
dz⎫,即
d⎪x
dz=1-dx
ex（x-z）sin（x-z）.
将其代入
（1）式，得
⎣
du=∂f-y∂f+⎡
-ex（x-z）⎤∂f
dx∂xx∂y
⎦
∂f∂f∂f
⎢1sin（x-z）⎥∂z.
du=∂xdx+∂ydy+∂zdz
等式exy-xy=2两端微分得
exy（ydx+xdy）-（ydx+xdy）=0,
dy=-ydx
等式ex=⎰x-zsintdt两端微分得
exdx=
（dx-dz）
即dz=（1-
ex（x-z）sin（x-z）
）dx.
∂fy∂f⎡ex（x-z）⎤∂f
du=[∂x-x∂y+⎢1-sin（x-z）⎥∂z]dx
⎣⎦
du=∂f-y∂f+⎡-ex（x-z）⎤∂f
dx∂xx∂y⎢1sin（x-z）⎥∂z.
【例4】设z=z（x,y）是由方程x2+y2-z=ϕ（x+y+z）所确定的函数，其中具有二阶导数，且ϕ'
≠-1.
1⎛∂z∂z⎫∂u
（I）求dz；
（II）记u（x,y）=ç
-⎪，求.
x-y∂x∂y∂x
【解1】（I）设F（x,y,z）=x2+y2-z-ϕ（x+y+z），则
=2x-ϕ'
Fy'
=2y-ϕ'
Fz'
=-1-ϕ'
z
∂zFx'
∂z
由公式
∂x=-F'
∂y=-F'
得
∂z=2x-ϕ'
∂z=2y-ϕ'
∂x1+ϕ'
∂y1+ϕ'
所以
dz=∂zdx+∂zdy=1[（2x-ϕ'
）dx+（2y-ϕ'
）dy].
∂x∂y1+ϕ'
（II）
由于u（x,y）=1+ϕ'
∂u=-2⎛1+∂z⎫ϕ'
=-2（2x+1）ϕ'
∂x（1+ϕ'
）2ç
∂x⎪（1+ϕ'
）2
【解2】（I）对等式x2+y2-z=ϕ（x+y+z），两端求微分，得
2xdx+2ydy-dz=ϕ'
⋅（dx+dy+dz）.
解出dz，得
dz=2x-ϕ'
dx+2y-ϕ'
dy.
1+ϕ'
1+ϕ'
（II）同解1.
【例5】设z=z（x,y）是由方程f（y-x,yz）=0所确定的隐函数，其中函数f对各个变量
具有连续的二阶偏导数，求∂x及∂x2.
【解】方程f（y-x,yz）=0的两边对x求导，得
+yf'
∂z=0,①
解得∂z=
2∂x
.②
yf2'
①两边再对x求导，得
f'
-
∂z-
∂z+
2'
∂z2+
∂2z=
11yf12∂x
yf21∂x
yf22（∂x）
yf2∂x20,
解出∂x2，并将②式代入，得
∂2z=1
-2'
∂z2+
∂z-'
yf'
[
y（f12
f21）∂x
f11]
='
[-y
f2'
+y（f1'
2+
1）
1]
yf2
yf2
=1（-f'
2f'
+2f'
f'
-f'
）.
思考题
122
1212
111
1∂z
1.设函数f（u）可导，z=
f（siny-sinx）+xy则
cosx
⋅∂x
cosy∂y
y2∂z∂z
2.设函数f（u）可导，z=yf（x）则2x∂x+y∂y=.
3.设函数
f（u,v）具有2阶连续偏导数，函数g（x,y）=xy-f（x+y,x-y）,求
∂2g+
∂2g
∂2g
∂y2.
∂2u∂2u∂u∂u
4.已知函数u（x,y）满足2∂x2
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