中考数学试题分类汇编知识点21二次函数在实际生活中应用.docx

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中考数学试题分类汇编知识点21二次函数在实际生活中应用

知识点21二次函数在实际生活中应用

一、选择题

1.（2018·北京，7，2）跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一．运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y（单位：

m）与水平距离x（单位：

m）近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c（a≠0）．下图记录了某运动员起跳后的x和y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为（）

A．10mB．15mC．20mD．22.5m

【答案】B．

【解析】解法一：

设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c，由题意得，解得，从而对称轴为直线x＝－＝－＝15，故选B．

解法二：

将图上三个点（0，54），（20，57.9），（40，46.2）用光滑的曲线顺次连接起来，会发现对称轴位于直线x＝20的左侧，非常靠近直线x＝20，因此从选项中可知对称轴为直线x＝15，故选B．

【知识点】二次函数图像的性质；二次函数的简单应用；二次函数解析式的求法；数形结合思想

二、填空题

1.（2018四川绵阳，16，3分）右图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，水面下降2m，水面宽度增加m.

【答案】4-4

【解析】解：

建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，

抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），

通过以上条件可设顶点式y=ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（-2，0），

到抛物线解析式得出：

a=-0.5，所以抛物线解析式为y=-0.5x2+2，

当水面下降2米，通过抛物线在图上的观察可转化为：

当y=-2时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y=-2与抛物线相交的两点之间的距离，

可以通过把y=-2代入抛物线解析式得出：

-2=-0.5x2+2，

解得：

x=±2，故水面此时的宽度为4，比原先增加了4-4.

故答案为4-4.

【知识点】二次函数的应用

三、解答题

1.（2018山东滨州，23，12分）如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y（单位：

m）与飞行时间x（单位：

s）之间具有函数关系y＝－5x²＋20x，请根据要求解答下列问题：

（1）在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行的时间是多少？

（2）在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？

（3）在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？

最大高度是多少？

第23题图

【思路分析】本题主要考查了二次函数的函数值及最值在实际问题中的应用，解答关键是将实际问题中的相关条件转化为二次函数中的相应数值再根据二次函数的性质求解．

（1）小球飞行高度为15m，即y＝－5x²＋20x中y的值为15，解方程求出x的值，即为飞行时间；

（2）小球飞出时和落地时的高度为0，据此可以得出0＝－5x²＋20x，求出x的值，再求差即可；

（3）求小球飞行高度何时最大？

最大高度是多少？

即求x为何值时，二次函数有最大值，最大值是多少？

【解题过程】

（1）当y＝15时有－5x²＋20x＝15，化简得x²－4x＋3＝0因式分解得（x－1）（x－3）＝0，故x＝1或3，即飞行时间是1秒或者3秒

（2）飞出和落地的瞬间，高度都为0，故y＝0．所以有0＝－5x²＋20x，解得x＝0或4，所以从飞出到落地所用时间是4－0＝4秒

（3）当x＝＝＝2时，小球的飞行高度最大，最大高度为20米.

【知识点】二次函数图像与x轴交点及最值

2.（2018浙江衢州，第23题，10分）某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立直角坐标系。

（1）求水柱所在抛物线（第一象限部分）的函数表达式；

（2）王师傅在水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？

（3）经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进；在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物（高度不变）处汇合，请探究扩建改造后水热水柱的最大高度。

【思路分析】本题考查了二次函数的实际应用，包括建立直角坐标系待定系数法求解析式，正确把握抛物线图像和性质是解题的关键。

（1）利用待定系数法，已知顶点、与x轴交点为（8,0）。

根据抛物线的对称性也得另一交点（-2，0），从而列方程组解得即可。

（2）根据上题中解得的解析式，令y的值为1.8，求得x的值，再根据对称性确定范围。

（3）因形状不变，故抛物线的a值不变，又因装饰物高度不变，故与y轴的交点也不变，且与x轴的交点为（16,0），利用待定系数法可求得。

【解题过程】

（1）∵抛物线的顶点为（3，5），∴设y=a（x-3）2+5，

将（8，0）代入的a=，

∴y=（x-3）2+5，或者y=（0

∴关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的一个根为x=1；

（2）当y=1.8时，即1.8=

可得=7，=-1（舍去）

答：

王师傅必须站在离水池中心7米以内。

（3）∴y=（x-3）2+5可得原抛物线与y轴的交点为（0，），

∵装饰物的高度不变，∴新抛物线也经过（0，），

∵喷水柱的形状不变，所以a=

∵直径扩大到32米，∴新抛物线也过点（0，16）

设新抛物线为y新=（0

将点（0，）和（0，16）代入得b=3,c=

∴y新=，

∴y新=，

当=时，y新=

答：

扩建改造后水热水柱的最大高度米。

【知识点】二次函数的图像；二次函数的性质；二次函数的实际应用

3.（2018安徽省，22，12分）小明大学毕业回家乡创业,第一期培植盆景与花卉各50盆售后统计,盆景的平均每盆利润是160元,花卉的平均每盆利润是19元,调研发现：

①盆景每增加1盆,盆景的平均每盆利润减少2元;每减少1盆,盆景的平均每盆利润增加2元;②花卉的平均每盆利润始终不变.

小明计划第二期培植盆景与花卉共100盆,设培植的盆景比第一期增加x盆,第二期盆景与花卉售完后的利润分别为W1,W2（单位:

元）

（1）用含x的代数式分别表示W1,W2;

（2）当x取何值时,第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W最大,最大总利润是多少?

【思路分析】“每每”问题，注意利润与数量的关系，总利润=每盆利润盆数；

（2）构建二次函数模型，利用二次函数求最值，并注意自变量取值范围。

【解题过程】

（1）=（50+x）（160-2x）=-2+60x+8000

=19（50-x）=-19x+950

（2）W总=+=-2+41x+8950（且x为整数）

∵-2＜0，，开口向下，=，∴当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小，又∵x取整数，故当x=10时，W总最大

W总最大=-2×+41×10+8950=9160

【知识点】求二次函数解析式，二次函数的性质，二次函数的应用

4.（2018四川省达州市，21，7分）“绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，因此越来越多的人喜欢骑自行车出行.某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的50%标价.已知按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同.

（1）求该型号自行车的进价与标价分别是多少元？

（2）若该型号自行车的进价不变，按

（1）中的标价出售，该店平均每月可售出51辆；若每辆自行车每降价20元，每月可多售出3辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？

最大利润是多少？

【思路分析】

（1））本小题的等量关系是按标价九折销售该型号自行车8辆与将标价直降100元销售7辆获利相同．根据等量关系列、解方程即可解决问题．

（2）本小题的等量关系是每月的利润W＝实际售价×销售数量．根据等量关系列、解方程可得．

【解题过程】解：

（1）设该型号自行车的进价为x元，则标价为（1＋50%）x元．

根据题意，得8[（1＋50%）x×0.9－x]＝7[（1＋50%）x－100－x]

整理,得2.8x＝3.5x－700

解得x＝1000（元）,

（1＋50%）x＝1500（元）．

答:

该型号自行车的进价为1000元，则标价为1500元．

（2）设该型号自行车降价a元时，每月获利W最大．根据题意，得

W＝（155－1000－a）（51＋）

＝－a2＋a＋25500

＝－（a2－160a＋802－802）＋25500

＝－（a－80）2＋26460.

当a＝80时，每月获利最大，最大利润是26460元.

即该型号自行车降价80元时，每月获利最大，最大利润是26460元.

【知识点】一元一次方程的应用;二次函数的最值;

5.（2018浙江绍兴，20，8分）学校拓展小组研制了绘图智能机器人（如图1），顺次输入点，，的坐标，机器人能根据图2，绘制图形.若图形是线段，求出线段的长度；若图形是抛物线，求出抛物线的函数关系式.请根据以下点的坐标，求出线段的长度或抛物线的函数关系式.

（1），，.

（2），，.

（第20题图）

【思路分析】

（1）由，得到绘制线段，然后根据平面上两点之间线段的求法，就可求出线段的长度。

（2）由，，可知绘制抛物线，可设抛物线为，把点坐标代入，就可求出抛物线的解析式。

【解题过程】20.解：

（1）∵，，，

∴绘制线段，.

（2）∵，，，，

∴绘制抛物线，

设，把点坐标代入得，

∴，即.

【知识点】平面上两点之间的线段的长度、用待定系数法求二次函数的解析式。

6.（2018湖南衡阳，24，8分）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价为10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示.

（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；

（2）求每天的销售利润w（元）与销售价x（元/件）之间的函数关系式.并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？

最大利润是多少？

【思路分析】

（1）设函数关系式y=kx+b，把（10，40），（18，24）代入求出k和b即可，由成本价为10元/千

克，销售价不高于18元/千克，得出自变量x的取值范围；

（2）根据销售利润=销售量×每一件的销售利润得到w和x的关系，利用二次函数的性质得最值即可．

【解题过程】解：

（1）设y与x之间的函数关系式y=kx+b，把（10，30），（16，24）代入得，

，

解得.

∴y与x之间的函数关系式y=-x+40（10≤x≤16）；

（2）W=（x-10）（-x+40）

=-x2+50x-400

=-（x-25）2+225，

对称轴x=25，在对称轴的左侧y随着x的增大而增大，

∵10≤x≤16，

∴当x=16时，W最大，最大为144．

即当销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．

【知识点】二次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式、二次函数的性质

7.（2018山东青岛中考，22，10分）某公司投入研发费用80万元（80万元只计入第一年成本），成功研发出一种产品．公司按订单生产（产量销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元件．此产品年销售量（万件）与售价（元件）之间满足函数关系式．

（1）求这种产品第一年的利润（万元）与售价（元件）满足的函数关系式；

（2）该产品第一年的利