二次根式混合计算练习题docWord下载.docx
《二次根式混合计算练习题docWord下载.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《二次根式混合计算练习题docWord下载.docx(22页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
m2=m3,
④,
⑤,
其中正确的运算有.
14.计算=
15.化简:
+2x﹣x2=
16.若规定符号“*的”意义是
a*b=ab﹣b2,则
2*()的值是
三.解答题(共24小题)
17.计算:
18.计算:
(+1)(﹣1)+﹣()0.
19.计算:
(﹣1)(+1)﹣(﹣)﹣2+|1﹣|﹣(π﹣2)0+.
20.先化简,再求值:
(﹣)?
,其中x=.
21.计算:
×
(﹣)+|﹣2|+()﹣3.
22.
(1)计算:
﹣4×
(1﹣)0;
(2)先化简,再求值:
(+)÷
,其中a,b满足+|b﹣|=0.
23.计算:
24.计算:
(+)×
25.阅读材料:
小明在学习二次根式后,发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方,如3+=(1+)2.善于思考的小明进行了以下探索:
设a+b=(m+n)2(其中a、b、m、n均为整数),则有a+b=m2+2n2+2mn.
∴a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法.
请你仿照小明的方法探索并解决下列问题:
(1)当a、b、m、n均为正整数时,若a+b=,用含m、n的式子分别表示a、b,
得:
a=,b=;
(2)利用所探索的结论,找一组正整数a、b、m、n填空:
+=(+)
2;
(3)若a+4=,且a、m、n均为正整数,求a的值?
26.先化简,再求值:
,其中.
27.计算:
(1)|﹣2|﹣
(2)(3﹣)(3+)+(2﹣)
28.已知x=,y=,且19x2+123xy+19y2=1985.试求正整数n.
29.先化简,再求值:
,其中a=+1.
30..
31.已知:
x=1﹣,y=1+,求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值.
32.先化简,再求值:
?
,其中.
33.已知:
a=,b=.求代数式的值.
34.计算:
35.已知:
a+b=﹣5,ab=1,求:
的值.
36.计算:
37.计算
(1)
(2).
38.计算:
+(﹣1)+()0.
39.计算:
(1﹣)++()﹣1.
40.
(1)计算:
(2014﹣)0+|3﹣|﹣;
(2)化简:
(1﹣)÷
(﹣2)
参考答案与试题解析
1.(2015?
蓬溪县校级模拟)已知a﹣b=2+,b﹣c=2﹣,则a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac
的值为()
【分析】由a﹣b=2+,b﹣c=2﹣可得,a﹣c=4然后整体代入.
【解答】解:
∵a﹣b=2+,b﹣c=2﹣,
∴a﹣c=4,∴原式====15.
故选D.
【点评】此题的关键是把原式转化为的形式,再整体代入.
2.(2016?
黄冈校级自主招生)化简﹣()2,结果是()
【分析】求值的第一个式子是个完全平方公式,开方要注意正负值,由已知条件可得3x﹣5≥0,即3x≥5,所以3x﹣1>0,据此求解.
由已知条件可得3x﹣5≥0,即3x≥5,则3x﹣1>0,
∴原式=()2=3x﹣1﹣(3x﹣5)=3x﹣1﹣3x+5=4.
【点评】此题考查二次根式的化简求值,利用了、=a(a≥0)的性质.
3.(2015?
)对于任意的正数m、n定义运算※为:
m※n=,计算(3※2)×
(8※12)
的结果为()
A.2﹣4B.2C.2D.20
【分析】根据题目所给的运算法则进行求解.
∵3>2,
∴3※2=﹣,∵8<12,
∴8※12=+=2×
(+),
∴(3※2)×
(8※12)=(﹣)×
2×
(+)=2.
故选B.
【点评】本题考查了二次根式的混合运算,解答本题的关键是根据题目所给的运算法则求解.
4.(2016?
校级自主招生)设a为﹣的小数部分,b为﹣的小数部分.则﹣的值
为(
B.﹣+1
C.﹣﹣1
【分析】首先分别化简所给的两个二次根式,分别求出
a、b
对应的小数部分,
然后代、化简、运算、求值,即可解决问题.
∵﹣
=﹣
==,
∴a的小数部分=﹣1;
=,
∴b的小数部分=﹣2,
∴﹣=
=.
【点评】该题主要考查了二次根式的化简与求值问题;
解题的关键是灵活运用二次根式的运算法则来分析、判断、解答.
5.(2004?
)若4与可以合并,则m的值不可以是()
【分析】根据同类二次根式的定义,把每个选项代入两个根式化简,检验化简后被开方数是否相同.
A、把代入根式分别化简:
4=4=,==,故选项不符合题意;
B、把代入根式化简:
4=4=;
==,故选项不合题意;
C、把代入根式化简:
4=4=1;
=,故选项不合题意;
D、把代入根式化简:
4=4=,==,故符合题意.
【点评】此题主要考查了同类二次根式的定义,即:
化成最简二次根式后,被开
方数相同,这样的二次根式叫做同类二次根式.需要注意化简前,被开方数不同也可能是同类二次根式.
6.(2015?
凉山州)下列根式中,不能与合并的是()
【分析】将各式化为最简二次根式即可得到结果.
A、,本选项不合题意;
B、,本选项不合题意;
C、,本选项合题意;
D、,本选项不合题意;
故选C.
【点评】此题考查了同类二次根式,熟练掌握同类二次根式的定义是解本题的关键.
7.(2015?
)已知x=2﹣,则代数式(7+4)x2+(2+)x+的值是()
【分析】未知数的值已给出,利用代入法即可求出.
把x=2﹣代入代数式(7+4)x2+(2+)x+得:
=(7+4)(7﹣4)+4﹣3+
=49﹣48+1+
=2+.
【点评】此题考查二次根式的化简求值,关键是代入后利用平方差公式进行计算.
8.(2016?
)下列二次根式中,与是同类二次根式的是()
【分析】直接利用同类二次根式的定义分别化简二次根式求出答案.
A、=3,与不是同类二次根式,故此选项错误;
B、=,与,是同类二次根式,故此选项正确;
C、=2,与不是同类二次根式,故此选项错误;
D、==,与不是同类二次根式,故此选项错误;
故选:
B.
【点评】此题主要考查了同类二次根式,正确化简二次根式是解题关键.
9.(2016春?
校级月考)已知,则的值为(A.B.±
【分析】把的两边平方,得出
x2+的数值,再把两边平方,代入
x2+的数值,进一
步开方得出结果即可.
∵,
∴(x+)2=7
∴x2+=5
(x﹣)2=x2+﹣2=5﹣2=3,
x﹣=±
C.
【点评】此题考查代数式求值,注意式子的特点,灵活运用完全平方公式计算.
二.填空题(共7小题)
10.(1997?
江)已知1<x<2,,则的值是﹣2.
【分析】由于()2=x﹣1﹣2+=x+﹣3,又∵,由此可以得到()2=4,又由于1<
x<2,由此可以得到的值<0,最后即可得到的值.
∵()2=x﹣1﹣2+
=x+﹣3,
又∵,
∴()2=4,
又∵1<x<2,
∴<0,
∴=﹣2.
故填:
﹣2.
【点评】此题解题关键是把所求代数式两边平方,找到它和已知等式的联系,然后利用联系解题.
11.(1998?
)已知,则=13.
【分析】用换元法代替两个带根号的式子,得出m、n的关系式,解方程组求m、
n的值即可.
设m=,n=,
那么m﹣n=2①,m2+n2=+=34②.
由①得,m=2+n③,
将③代入②得:
n2+2n﹣15=0,
解得:
n=﹣5(舍去)或n=3,
因此可得出,m=5,n=3(m≥0,n≥0).
所以=n+2m=13.
【点评】本题通过观察,根号里面未知数的系数为相反数,可通过换元法求解.
12.(1998?
江)已知ab=2,则的值是.
【分析】由已知条件可知,本题有两种情况需要考虑:
a>0,b>0;
a<0,b<0.
当a>0,b>0时,
原式=;
当a<0,b<0时,原式=﹣﹣=﹣2.
【点评】此题的难点在于需考虑两种情况.
13.(2012?
德阳)有下列计算:
其中正确的运算有①④⑤.
【分析】由幂的乘方,可得①正确;
由二次根式的化简,可得②错误;
由同底数的幂的除法,可得③错误;
由二次根式的乘除运算,可求得④正确;
由二次根式的加减运算,可求得⑤正确.
∵(m2)3=m6,∴①正确;
∵==|2a﹣1|=,∴②错误;
∵m6÷
m2=m4,∴③错误;
∵=3×
5÷
=15÷
=15,
∴④正确;
∵=4﹣2+12=14,
∴⑤正确.∴正确的运算有:
①④⑤.故答案为:
①④⑤.
【点评】此题考查了幂的乘方、同底数幂的除法、二次根式的化简、二次根式的乘除运算以及二次根式的加减运算.此题比较简单,注意掌握运算法则与性质,
注意运算需细心.
14.(2010?
校级一模)计算=1+.
【分析】根据平方差公式求出(2﹣)(2+),然后进行幂的运算,即可得出答案.
={(2﹣)(2+)}2008(2+)﹣1=2+﹣1
=1+.
故答案为:
1+.
【点评】本题考查了二次根式的混合运算,平方差公式和零指数幂的知识,属于
基础题,关键掌握二次根式的混合运算法则和非0数的0指数幂都等于1.
15.(2003?
)化简:
+2x﹣x2=﹣2x.
【分析】利用开平方的定义计算.
原式=+2x﹣x2
=2x+x﹣5x
=﹣2x.
【点评】应先化成最简二次根式,再进行运算,只有同类二次根式,才能合并.
16.(2012?
模拟)若规定符号“*的”意义是a*b=ab﹣b2,则2*()的值是4﹣5.
【分析】先理解“*的”意义,然后将2*()表示出来计算即可.
由题意得:
2*()=2×
(﹣1)﹣=4﹣5.
4﹣5.
【点评】本题考查二次根式的混合运算,难度不大,注意理解“*的”意义.
17.(2016?
夏津县自主招生)计算:
.
【分析】先根据二次根式的乘除法法则得到原式=﹣+2,然后利用二次根式的性
质化简后合并即可.
原式=﹣+2
=4﹣+2
=4+.
【点评】本题考查了二次根式的混合运算:
先进行二次根式的乘除运算,再把各
二次根式化为最简二次根式,然后进行二次根式的加减运算.
18.(2015?
)计算:
【分析】先根据平方差公式和零指数幂的意义得到原式=3﹣1+2﹣1,然后进行加
减运算.
原式=3﹣1+2﹣1
=1+2.
【点评】本题考查了二次根式的计算:
先把各二次根式化为最简二次根式,再进
行二次根式的乘除运算,然后合并同类二次根式.也考查了零指数幂.
19.(2014?
(﹣1)(+1)﹣(﹣)﹣2+|1﹣|﹣(π﹣2)0+.
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂和平方差公式得到原式=5﹣1﹣9+﹣1﹣1+2,然后合并即可.
原式=5﹣1﹣9+﹣1﹣1+2
=﹣7+3.
【点评】本题考查了二次根式的混合运算:
先把各二次根式化为最简二次根式,
再进行二次根式的乘除运算,然后合并同类二次根式.也考查了零指数幂、负整数指数幂.
20.(2012?
)先化简,再求值:
(﹣)?
【分析】先根据分式混合运算的法则把原式进行化简,再把x的值代入进行计算即可.
原式=?
当x=时,x+1>0,可知=x+1,
故原式=?
===;
【点评】本题考查的是二次根式及分式的化简求值,解答此题的关键是当x=时
得出=x+1,此题难度不大.
21.(2015?
(﹣)+|﹣2|+()﹣3.
【分析】根据二次根式的乘法法则和负整数整数幂的意义得到原式=﹣+2+8,然
后化简后合并即可.
原式=﹣+2+8
=﹣3+2+8
=8﹣.
行二次根式的乘除运算,然后合并同类二次根式.也考查了负整数整数幂、
22.(2014?
)
(1)计算:
【分析】
(1)根据二次根式的乘法法则和零指数幂的意义得到原式=﹣4×
1=2
﹣,然后合并即可;
(2)先把分子和分母因式分解和除法运算化为乘法运算,再计算括号的运算,
然后约分得到原式=,再根据非负数的性质得到a+1=0,b﹣=0,解得a=﹣1,b=,然后把a和b的值代入计算即可.
(1)原式=﹣4×
1
=2﹣
=;
(2)原式=[﹣]?
=(﹣)?
=?
∵+|b﹣|=0,
∴a+1=0,b﹣=0,
解得a=﹣1,b=,
当a=﹣1,b=时,原式=﹣=﹣
再进行二次根式的乘除运算,然后合并同类二次根式.也考查了零指数幂、非负数的性质和分式的化简求值.
23.(2016?
模拟)计算:
【分析】根据平方差公式、二次根式的化简、负整数指数幂的法则计算.
原式=3﹣1﹣4+2=0.
【点评】本题考查了二次根式的混合运算、负整数指数幂,解题的关键是掌握有关法则,以及公式的使用.
24.(2015?
【分析】首先应用乘法分配律,可得(+)×
=×
+×
;
然后根据二次根式的混合运算顺序,先计算乘法,再计算加法,求出算式(+)×
的值是多少即可.【解答】解:
(+)×
=×
=1+9
=10
【点评】此题主要考查了二次根式的混合运算,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:
①与有理数的混合运算一致,运算顺序先乘方再乘除,最后加减,有括
号的先算括号里面的.②在运算中每个根式可以看做是一个“单项式”,多个不同类的二次根式的和可以看作“多项式”.
25.(2013?
黔西南州)阅读材料:
∴a=m2+2n2,b=2mn.这样小明就找到了一种把类似a+b的式子化为平方式的方法.
(1)当a、b、m、n均为正整数时,若a+b=,用含m、n的式子分别表示a、b,
a=m2+3n2,b=2mn;
(2)利用所探索的结论,找一组正整数a、b、m、n填空:
4+2=(1
+1)2;
(1)根据完全平方公式运算法则,即可得出a、b的表达式;
(2)首先确定好m、n的正整数值,然后根据
(1)的结论即可求出a、b的值;
(3)根据题意,4=2mn,首先确定m、n的值,通过分析m=2,n=1或者m=1,
n=2,然后即可确定好a的值.
(1)∵a+b=,
∴a+b=m2+3n2+2mn,
∴a=m2+3n2,b=2mn.
m2+3n2,2mn.
(2)设m=1,n=1,
∴a=m2+3n2=4,b=2mn=2.
故答案为4、2、1、1.
(3)由题意,得:
a=m2+3n2,b=2mn
∵4=2mn,且m、n为正整数,∴m=2,n=1或者m=1,n=2,
∴a=22+3×
12=7,或a=12+3×
22=13.
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算,完全平方公式,解题的关键在于熟练运算完全平方公式和二次根式的运算法则.
26.(2015?
黄冈模拟)先化简,再求值:
【分析】首先将括号的式子进行通分,然后将除法统一为乘法运算,再约分、化
简即可.
当x=﹣3时,原式==.
【点评】此题是典型的“化简求值”类问题,解题的关键在于化简,应熟练掌握分式混合运算的解题方法.
27.(2016?
(1)根据负整数指数幂的意义和绝对值的意义计算;
(2)利用平方差公式和二次根式的乘法法则运算.【解答】解:
(1)原式=2﹣3
=﹣1;
(2)原式=9﹣7+2﹣2
=2.
先把各二次根式化为最简二次根式,再进行二次根式的乘除运算,然后合并同类二次根式.在二次根式的混合运算中,如能结合题目特点,灵活运用二次根式的性质,选择恰当的解题途径,往往能事半功倍.
28.(2015春?
校级月考)已知x=,y=,且19x2+123xy+19y2=1985.试求正整数n.【分析】首先化简x与y,可得:
x=()2=2n+1﹣2,y=2n+1+2,所以x+y=4n+2,
xy=1;
将所得结果看作整体代入方程,化简即可求得.
化简x与y得:
x=,y=,
∴x+y=4n+2,xy=1,
∴将xy=1代入方程,化简得:
x2+y2=98,
∴(x+y)2=x2+y2+2xy=98+2×
1=100,
∴x+y=10.
∴4n+2=10,
解得n=2.
【点评】此题考查了二次根式的分母有理化.解题的关键是整体代入思想的应用.
29.(2016?
三模)先化简,再求值:
【分析】首先把写成,然后约去公因式(a+1),再与后一项式子进行通分化简,
最后代值计算.
当时,原式==.
【点评】本题主要考查二次根式的化简求值的知识点,解答本题的关键是分式的通分和约分,本题难度不大.
30.(2016春?
乐业县期末).
【分析】先根据二次根式的性质化成最简二次根式,再合并同类二次根式即可.
原式=4+3﹣2+4,
=7+2.
【点评】本题考查了二次根式的性质,最简二次根式,同类二次根式、二次根式
的加减法则等知识点的应用,能运用法则进行计算是解此题的关键,主要培养了学生的计算能力.
31.(2014?
襄阳)已知:
x=1﹣,y=1+,求x2+y2﹣xy﹣2x+2y的值.
【分析】根据x、y的值,先求出x﹣y和xy,再化简原式,代入求值即可.
∵x=1﹣,y=1+,
∴x﹣y=(1﹣)﹣(1+)=﹣2,
xy=(1﹣)(1+)=﹣1,
∴x2+y2﹣xy﹣2x+2y=(x﹣y)2﹣2(x﹣y)+xy=(﹣2)2﹣2×
(﹣2)+(﹣1)
=7+4.
【点评】本题考查了二次根式的化简以及因式分解的应用,要熟练掌握平方差公
式和完全平方公式.
32.(2015春?
饶平县期末)先化简,再求值:
【分析】求出a的值,化简=|a﹣2|=2﹣a,在计算乘法得出﹣a+,再代入求出即可.
∵a===2﹣,
∴a﹣2=﹣<0,
∴a?
+
=a(2﹣a)?
=﹣a+
=﹣(2﹣)+
=﹣2++2+
【点评】本题考查了二次根式的性质化简和分母有理化的应用,关键是正确进行
化简,题目具有一定的代表性,但是一道比较容易出错的题目.
33.(2004?
)已知:
【分析】先求得a+b=10,ab=1,再把求值的式子化为a与b的和与积的形式,
将整体代入求值即可.
由已知,得a