一元一次方程Word文档格式.docx
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）
以后我们再学习如何解方程中的x。
小学我们主要用算术方法解题，但有时用算术方法不容易列出来；
而方程解决问题则方便得多，以后你们自己去慢慢体会。
我们在列方程是通常用x,y,z等字母表示未知数。
2、思考：
对于上面的问题，你能列出其他方程吗？
如果能，你依据的是哪个相等关系？
，依据的是从王家庄到翠湖的车速与从青山到秀水的车速相等。
【探索2】
引出方程的概念：
像
这个等式中含有未知数，这个含有未知数的等式叫做方程。
思考：
在前面学过整式、等式和方程，它们有什么区别和联系呢？
例如2
＋3x;
3＋（-2）＝1;
a＋b＝b＋a;
2x－5＝65.
（2
＋3x是整式，它不含等号；
而3＋（-2）＝1，a＋b＝b＋a，2x－5＝65.都是等式，因为它们都含有等号，而且等号两边是整式。
结论：
等式不一定是方程，而方程一定是等式。
方程中一定有未知数，而等式中不一定有未知数。
如3＋（-2）＝1，a＋b＝b＋a是等式，但不是方程，而2x－5＝65既是等式又是方程。
【小结】
列方程是本节课重点，掌握列方程解决实际问题方法步骤：
设未知数──用含未知数的式子表示问题中的数量关系。
找出相等关系──列出方程。
其中找相等关系是关键也是一个难点，这个相等关系要能够表示应用题全部含义的相等关系，也就是题目中给出的条件应予充分利用，不能把同一条件重复利用。
3.1.1一元一次方程
（2）
【教学目标】
1、通过观察，归纳一元一次方程的概念。
2、根据方程解的概念，会估算出简单的一元一次方程的解。
3、通过对多种实际问题的分析，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义。
列方程时，要先设字母表示未知数，通常用x、y、z等字母表示未知数，然后根据问题中的相等关系，写出含有未知数的等式即方程。
例题：
P80例1根据下列问题，设未知数列出方程：
（1）用一根长24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？
（2）一台计算机已使用1700小时，预计每月再使用150小时，经过多少月这台计算机的使用时间达到规定的检修时间2450小时？
（3）某校女生占全体学生数的52%，比男生多80人，这个学校有多少学生？
（1）如果设正方形的边长为xcm，设未知数后找等量关系就可以列出方程，那么等量关系是什么？
方程如何列呢？
（2）要列出方程，就需要抓住题目中的等量关系。
而这个题目中的等量关系：
1700+将使用时间=2450，设x月后这台计算机的使用时间达到2450小时，那么在x月里这台计算机使用了150x小时。
将它们代入等量关系即可得到方程1700+150x=2450。
（3）设这个学校的学生数为x，那么女生数为0.52x，男生数为（1－0.52）x。
根据等量关系：
男生人数+女生人数=总人数，可列出方程0.52x－（1－0.52）x＝80。
观察所列的几个方程，有什么共同点？
只含有一个未知数（元），未知数的次数是1，这样的方程叫做一元一次方程。
例如方程2x-3=3x+1，
-3=2y等都是一元一次方程，而x+y=5，x2+3x=2都不是一元一次方程。
归纳：
上面的分析过程可以表示如下：
设未知数列方程
分析实际问题中的数量关系，利用其中的相等关系列出方程，是用数学解决实际问题的一种方法。
列方程是解决问题的重要方法，利用方程可以解出未知数。
把x=6这个结果代人方程4x=24中，看一看会有什么结果？
（x=6时方程左右两边相等。
同样x=5时方程1700+150x=2450两边也相等。
像这样使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。
x=1000和x=2000中那一个是方程0.52x－（1－0.52）x＝80的解？
3.1.2等式的性质
1、通过观察、归纳得出等式的性质，能利用它们探究一元一次方程的解法。
2、培养学生观察、分析、归纳、概括的思维能力，同时培养学生积极探究，勇于创新的学习态度。
渗透数学来源于实践的观点。
【教学重难点】
等式的两条性质
用等式的性质解简单方程
1、观察课本图3．1-2，由它你能发现什么规律？
从左往右看，发现如果在平衡的天平的两边都加上同样的量，天平还保持平衡。
从右往左看，是在平衡的天平的两边都减去同样的量，结果天平还是保持平衡。
等式就像平衡的天平，它具有与上面的事实同样的性质。
问题1：
在平衡的天平的左、右两边都加（或减）同样的量，天平的左、右两边始终保持平衡。
我们可以用a＝b表示一般的等式，怎样用式子表示呢？
________
等式的性质1：
等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等。
2、观察课本图3．1-3，由它你能发现什么规律？
可以发现，如果把平衡的天平两边的量都乘以（或除以）同一个量，天平还保持平衡。
类似可以得到等式性质2：
等式两边乘同一个数，或除以同一个不等于0的数，结果仍相等。
问题2：
1、
_____2.如果
，那么
____
等式的性质2：
等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等。
P83例2利用等式的性质解下列方程。
（1）x＋7＝26
（2）－5x＝20（3）
所谓“解方程”，就是要求出方程的解“x＝？
”因此我们需要把方程转化为“x＝a（a为常数）”的形式。
怎样才能把方程x＋7＝26转化为x＝a的形式？
式子－5x表示什么？
我们把其中的－5叫做这个式子的系数，你能用等式的性质把方程－5x＝20转为x＝a的形式吗？
问题3：
用同样的方法给出方程的解
问题4：
请你归纳一下解一元一次方程的依据和结果的形式。
解一元一次方程的依据是等式的性质；
结果的形式是x＝a（a为常数）
为了结果的准确性，一般地，从方程解出未知数的值以后，可以代入原方程检验，看这个值能否使方程的两边相等。
3.2解一元一次方程
（一）
（1）
1、会利用合并同类项解一元一次方程。
2、通过对实例的分析，体会一元一次方程作为实际问题的数学模型的作用。
【重、难点与关键】
重点：
会列一元一次方程解决实际问题，并会合并同类项解一元一次方程。
难点：
会列一元一次方程解决实际问题。
公元825年左右，中亚细亚数学家阿尔、花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程．这本书的拉丁文译本取名为《对消与还原》．“对消”与“还原”是什么意思呢？
让我们先讨论下面内容，然后再回答这个问题。
（1）如何根据实际问题列一元一次方程？
（2）如何解一元一次方程？
某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的两倍，今年购买数量又是去年的两倍，前年这个学校购买了多少台计算机？
年份
前年
去年
今年
总数
购买数量
x台
2x台
4x台
140
相等关系
前年购买数量+去年购买数量+今年购买数量＝140
1、在解方程时运用了我们以前学过的哪个知识？
2、在解方程中合并同类项起到了什么作用？
总结：
1、实际问题转化为方程问题。
2、“合并”是一种恒等变形，它使方程变得简单，更接近x=a的形式。
合并应注意：
①只有同类项才能合并。
②合并时系数的合并，字母及字母指数不变。
③如果系数相加后为0，则结果为0。
P89例1解方程
7x-2.5x+3x-1.5x=-15×
4-6×
3（运用了合并同类项）
3.2解一元一次方程
（一）
（2）
1、理解移项法，并知道移项法的依据，会用移项法则解方程。
2、经历运用方程解决实际问题的过程，发展抽象、概括、分析问题和解决问题的能力，认识用方程解决实际问题的关键是建立相等关系。
运用方程解决实际问题，会用移项法则解方程。
对立相等关系。
把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本，如果每人分4本，则还缺25本，这个班有多少学生？
设这个班有x名学生。
每人分3本，共分出3x本，加上剩余的20本，这批书共（3x+20）本。
每人分4本，需要4x本，减去缺的25本，这批书共（4x-25）本。
本题还可以画示意图，帮助我们分析：
这批书的总数有几种表示法？
它们之间有什么关系？
本题哪个相等关系可作为列方程的依据呢？
（这批书的总数是一个定值。
）从而列出方程。
（注意变化中的不变量，寻找隐含的相等关系，从本题列方程的过程，可以发现：
“表示同一个量的两个不同式子相等。
方程3x+20=4x-25的两边都有含x的项（3x和4x）和不含字母的常数项（20和-25），怎样才能使它向x=a（常数）的形式转化呢？
上面解方程中“移项”起了什么作用？
（通过移项，含未知数的项和常数项分别于方程的左右两边，使方程更接近于x=a的形式。
引出了移项的概念：
把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项。
移项应注意：
①所移动的是方程中的项。
②并且从方程的一边移到另一边，而不是在方程的一边交换两项的位置。
③移项时要变号，不变号不能移项。
在解方程时，要弄清什么时候要移项，移哪些项，目的是什么？
解方程时经常要“合并”和“移项”，前面提到的古老的代数书中的“对消”和“还原”，指的就是“合并”和“移项”。
如果把上面的问题2的条件不变，“这个班有多少学生”改为“这批书有多少本？
”你会解吗？
试试看。
P91例2解方程
3x+7=32-2x（运用了移项和合并同类项）
【练习】P91练习
补充练习：
1、小李去商店买练习本，如果多买一些就打8折，于是小李买了20本，结果便宜了1.6元，原来每本价格是多少元？
2、解方程。
（1）8=7-2y；
（2）
-
；
（3）5x-2=7x+8；
（4）1-
x=3x+
（5）2x-
=-
+2；
（6）-
x+6=4x+1；
（7）
-x=0.5x-3．
3、设m=3x-2，n=-2x+3，当x为何值时m=n？
3.2解一元一次方程
（一）（3）
1、掌握用一元一次方程解决实际问题的方法步骤，并会验证解的合理性。
2、进一步经历运用方程解决实际问题的过程，体会运用方程解决实际问题的一般过程。
经历运用方程解决实际问题的过程，发展抽象、概括、分析问题的能力，进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系，认识方程模型的重要性。
寻找“相等关系”列出一元一次方程。
方程的多种用法：
许多问题用列方程的方式来解答，便会变得简单许多。
生活中处处有方程。
P91例3
有一列数，按一定规律排列成1，-3，9，-27，81，-243，…，其中某三个相邻数的和事-1701，这三个数各是多少？
（分析：
从符号和绝对值两方面观察，这列数有什么规律？
要解决这个问题，首先观察这一列数，按什么规律排列的，若找到规律，就可以设这三个数中的一个为x，根据这个规律，可以用x表示其余两个数，再根据这三个数的和是-1701，列出方程。
可以从符号和绝对值两方面观察：
从符号看：
正、负插开，后一个数的符号与它前一个数的符号相反．
从绝对值看：
1×
3=3，3×
3=9，9×
3=27，27×
3=81，…
即后一个数的绝对值是前一个数绝对值的3倍。
综合符号、绝对值两方面，这列数的规律是：
前一个数乘以-3得后一个数。
从而列出方程。
例4：
根据下面的两种移动电话计费方式表，考虑下列问题。
方式一
方式二
月租费
30元/月
0
本地通话费
0.30元/分
0.40元/分
（1）一个月内在本地通话200分和350分，按方式一需交费多少元？
按方式二呢？
（2）对于某个本地通话时间，会出现两种计费方式收费一样多吗？
你知道怎样选择计费方式更省钱吗？
（1）本地通话200分，按方式一需交费30+0.30×
200=90（元），按方式二需交费0.40×
200=80（元），本地通话350分，按方式一需交费30+0.30×
350=135（元）；
按方式二需交费0.4×
350=140（元）．算出上面计算结果可看到月通话200分时，按方式二计费省钱，月通话300分时按方式一交费，省钱。
（2）设月累计通话t分，则按方式一要交费（30+0.3t）元，按方式二要交费0.4t元，如果两种计费方式的收费一样，则30+0.3t=0.4t。
用一元一次方程解决实际问题的基本过程如下：
3.3解一元一次方程
（二）
（1）
1、掌握用一元一次方程解决实际问题的方法，会用分配律，去括号解决关于含括号的一元一次方程。
2、经历应用方程解决实际问题的过程，发展分析问题，解决问题的能力，进一步体会方程模型的作用．
列方程解决实际问题，会解含有括号的一元一次方程。
列方程解决实际问题。
【探索1】
我们已经学习了运用一元一次方程解决一些比较简单的实际问题．本节继续讨论如何列、解一元一次方程的问题．当问题中数量关系较复杂时，列出的方程的形式也会较复杂，解方程的步骤也相应更多些．
问题：
某工厂加强节能措施，去年下半年与上半年相比，月平均用电量减少2000度，全年用电15万度，这个工厂去年上半年每月平均用电多少度？
你会用方程解这道题吗？
提出问题：
1．本问题的等量关系是什么？
2．如果设上半年每月平均用电x度，那么怎样表示下半年每月平均用电量、上半年共用电量和下半年共用电量。
3．根据等量关系，列出方程。
4．怎样解这个方程。
思路点拨：
本问题的等量关系是：
上半年用电量（度）＋下半年用电量（度）＝150000
设上半年每月平均用电x度，则下半年每月平均用电（x-2000）度，上半年共用电6x度，下半年共用电6（x-2000）度，列出方程
6x+6（x-2000）=150000
思考：
本题还有其他列方程的方法吗？
用其他方法列出的方程应怎样解？
点拨：
如果设去年下半年平均每月用电x度，那么怎样列方程呢？
这个方程的解是问题的答案吗？
设去年下半年平均每月用电x度，则上半年平均每月用电（x+2000）度，列方程，6（x+2000）+6x=150000。
方法一叫直接设元法，方程的解就是问题的答案；
方法二是间接设元法，方程的解并不是问题答案，需要根据问题中的数量关系求出最后答案．
方程中有带括号的式子时，利用分配律去括号是常用的化简步骤．
P97例1解方程：
3x-7（x-1）=3-2（x+3）。
方程中有带括号的式子时，去括号是常用的步骤。
【练习】P97练习，P102习题3．3第5题。
1、解方程：
（1）10y-2（7y-2）=5（4y+3）-2y
（2）2（6-0.5y）=-3（2y-1）
（3）4-2（3x-1）=x+3
（4）3（5x-1）-2（3x+2）=6（x-1）+2
（5）30%x+70%（200-x）=200×
54%
3.3解一元一次方程
（二）
（2）
1、进一步掌握列一元一次方程解应用题的方法步骤。
2、通过分析行程问题中顺流速度、逆流速度、水流速度、静水中的速度的关系，以及零件配套问题中的等量关系，进一步经历运用方程解决实际问题的过程，体会方程模型的作用。
分析问题中的数量关系，找出能够表示问题全部含义的相等关系，列出一元一次方程，并会解方程。
找出能够表示问题全部含义的相等关系，列出方程。
提问：
1、行程问题中的基本数量关系是什么？
路程=速度×
时间
可变形为：
速度=
．
2、相遇问题或追及问题中所走路程的关系？
相遇问题：
双方所走的路程之和＝全部路程＋原来两者间的距离。
（原来两者间的距离）
追及问题：
快速行进路程＝慢速行进路程＋原来两者间的距离。
或快速行进路程－慢速行进路程＝原路程（原来两者间的距离）。
P97例2：
一艘船从甲码头到乙码头顺流行驶，用了2小时；
从乙码头返回甲码头逆流行驶，用了2.5小时，已知水流的速度是3千米/时，求船在静水中的平均速度。
分析：
（1）顺流行驶的速度、逆流行驶的速度、水流速度，船在静水中的速度之间的关系如何？
顺流行驶速度＝船在静水中的速度＋水流速度
逆流行驶速度＝船在静水中的速度－水流速度
（2）设船在静水中的平均速度为x千米/时，由此填空（课本第97页）．
（3）问题中的相等关系是什么？
（一般情况下，船返回是按原路线行驶的，因此可以认为这船的往返路程相等。
说明：
课本中，移项及合并，得0.5x=13.5是把含x的项移到方程右边，常数项移到左边后合并，得13.5=0.5x，再根据a=b就是b=a，即把方程两边同时对调，这不是移项。
P98例3：
某车间22名工人生产螺钉和螺母，每人每天平均生产螺钉1200个或螺母2000个，一个螺钉要配两个螺母，为了使每天的产品刚好配套，应该分配多少名工人生产螺钉，多少名工人生产螺母？
已知条件：
（1）分配生产螺钉和生产螺母人数共22名。
（2）每人每天平均生产螺钉1200个，或螺母2000个。
（3）一个螺钉要配两个螺母．
（4）为使每天的产品刚好配套，应使生产的螺母数量与螺钉数量之间有什么样关系？
螺母的数量应是螺钉数量的两倍，这正是相等关系．
本题的关键是要使每天生产的螺钉、螺母配套，弄清螺钉与螺母之间的数量关系．
3.3解一元一次方程
（二）（3）
1、使学生掌握去分母解方程的方法，总结解方程的步骤。
2、经历去分母解方程的过程，体会把“复杂”转化为“简单”，把“新”转化为“旧”的转化的思想方法。
掌握去分母解方程的方法。
求各分母的最小公倍数，以及去分母时，有时要添括号。
下面我们来讨论英国伦敦博物馆保存的一部极其珍贵的文物──纸莎草文书中的一个有关数学的问题．
一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33，你知道这个数是多少？
用现在的数学符号表示，这道题就是方程：
x+
x+x=33
当时的埃及人如果把问题写成这种形式，它一定是“最早”的方程．
上面这个方程中有些系数是分数，如果能化去分母，把系数化成整数，则可使解方程中的计算更方便些．
只要将方程两边同乘以42，就可化去方程中的分母．
42×
x+42×
x+42x=42×
33
即28+21x+6x+42x=1386
系数化为1，得x=
为更全面地讨论问题，再以方程
-2=
为例，看看解有分数系数的一元一次方程的步骤．
我们知道，等式两边乘同一个数，结果仍相等，由此能否去掉这个方程的所有分母呢？
要乘的这个数是多少比较合适呢？
这个数就是方程中各分母的最小公倍数10，方程两边同乘以10．
于是方程左边变为：
10×
-2）=10×
-10×
2=5（3x+1）-10×
2
去了分母，方程右边变为什么？
你算一算。
P100例4解方程
注意：
（1）去分母所选的乘数应是所有分母的最小公倍数，不应遗漏；
（2）用分母的最小公倍数去乘方程的两边时，不要漏掉等号两边不含分母的项，如上面方程中的“2”．
（3）去掉分母以后，分数线也同时去掉，分子上的多项式用括号括起来．
回顾解以上方程的全过程，表示了一元一次方程解法的一般步骤，通过去分母──去括号──移项──合并──系数化为1等步骤，就可以使一元一次方程逐步向着x=a的形式转化．
这个过程主要依据等式的性质和运算律等．
解方程：
3.3解一元一次方程
（二）（4）
1、进一步掌握利用一元一次方程解决实际问题，培养分析问题，解决问题的能力。
2、经历分析工程问题中的数量关系，运用方程解决实际问题的过程，进一步体会“建模”思想。
工程中的工作量、工作效率和工作时间的关系，以及找出相等关系．
把全部工作看作1．
1、工程问题有哪三个基本量？
这些基本量之间有怎样的关系？
工作量＝工作效率×
工作时间，工作效率＝
。
2．一件工作，如果甲单独做2小时完成，那么甲独做1小时完成全部工作量的多少？
答：
，
也称为1小时的工作效率，即1小时完成全部工作的
，如果一件工作甲独做a小时完成，那么甲独做1小时完成全部工作量的
称为1小时的工作效率。
P101例5：
整理一批图书，由一个人做要40小时完成，现在计算由一部分人先做4小时，再增加2人和他们一起做8小时，完成这项工作，假设这些人的工作效率相同，具体先安排多少人工作？
这里可以把工作总量看作1，由一个人独做要40小时完成，那么每人做1小时的工作量是多少？
）一个人独做4小时做的工作量是多少？
）设先安排x人工作，那么x人工作4小时的工作量是多少？
）再增加2人和x人一起做8小时，完成工作量为多少？
[
]
本题的相等关系是什么？
这项工作分两段完成，两段完成的工作量之和为全部工作量1。
【练习】P103习题3.3第13题．（本题难度较大）
销售总金额=单价×
销售量，这里可把原来单价、销售量看作1，单价降价10%，那现价为（1-10%）．
1、抗洪抢险中修补一段大堤，甲队单独施工12天完成，乙人单独施工8天完成；
现在由甲队先工作两天，剩下的由两队合作完成，还需几天完成？
2、某
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