数学建模选拔方案及试题Word格式.docx
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D:
Y2O3的摩尔%与MgO的摩尔的比率，D1=1:
1,D2=1:
2,D3=1:
6.
E：
Y2O3的摩尔%与Al2O3的摩尔%的比率，E1=2:
1,E2=1:
1,E3=1:
4.
F:
烧结温度，F1=1800oC,F2=1850oC,F3=1900oC.
G:
烧结时间，G1=1h,G2=2h,G3=3h.
为了寻找使得该种材料的强度达到最高的工艺条件，特此安排了如下试验方案，测量数据见表1，
根据表1的测量数据，试建立合理的数学模型，并对试验结果进行分析；
寻找使得强度最大的最优工艺条件；
对你所建立的模型进行误差分析并做出评价；
你能否提出一种更合理的试验设计计划及试验结果的分析方法？
就你的研究对有关部门试写一份申报科技进步奖的报告。
表1、陶瓷试验方案及强度数据表
试验号
因素
ABCDEFG
强度
1
1221313
996.8783.6796.9
2
1212231
843.8816.2714.3824.4
3
1233122
647.1667.9534.3617.7
4
1321232
616.3552.3552.6596.0
5
1312123
517.8526.1498.1499,5
6
1333311
1002.01097.0882.9940.1
7
1122321
806.5933.5964.91046.0
8
1113212
801.5803.2846.2756.4
9
1131133
739.2863.3797.0929.6
10
2223131
615.0627,5583.9597.1563.9
11
2211322
795.9854.0937.0999.2724.8
12
2232213
850.9921.8990.6943.5840.9
13
2322112
513.0665.9718.9646.4
14
2313333
831.3981.4912.5950.7987.3
15
2331221
806.1908.1627.6855.0
16
2123223
727.3643.9584.0643.4602.1
17
2113223
836.8716.3862.9796.2
18
2131111
1001.0937.6955.3995.81009.0
注：
因素栏中数字“i”表示因素在试验中处于第i水平。
附件2
试题B校车安排问题
许多学校都建有新校区，常常需要将老校区的教师和工作人员用校车送到新校区。
由于每天到新校区的教师和工作人员很多，往往需要安排许多车辆。
如何有效的安排车辆及让教师和工作人员尽量满意是个十分重要的问题。
现有如下问题请你设计解决。
假设老校区的教师和工作人员分布在50个区，各区的距离见表1。
各区人员分布见表2。
问题1：
如要建立
个乘车点，为使各区人员到最近乘车点的距离最小，该将校车乘车点应建立在哪
个点。
建立一般模型，并给出
时的结果。
问题2：
若考虑每个区的乘车人数，为使教师和工作人员满意度最大，该将校车乘车点应建立在哪
问题3若建立3个乘车点，为使教师和工作人员尽量满意，至少需要安排多少辆车？
给出每个乘车点的位置和车辆数。
设每辆车最多载客47人。
问题4；
关于校车安排问题，你还有什么好的建议和考虑。
可以提高乘车人员的满意度，又可节省运行成本。
表1各区距离表
区域号
距离（m）
400
450
300
21
230
47
140
600
210
19
310
200
320
340
170
160
285
180
150
130
34
190
26
250
27
240
204
25
20
24
175
22
23
270
350
44
45
48
29
30
290
28
260
31
42
43
32
36
50
33
35
37
39
40
38
135
41
46
280
49
表2各区人员分布
区域
人数
65
67
94
75
86
64
70
56
61
80
66
90
85
57
69
54
68
72
76
62
以上数据仅供参考，不一定完全符合实际。
附件3：
论文参照格式
要求：
从A、B两题中任选一题，按以下的要求书写论文。
题目（三号黑体字）
一、问题重述（一级标题用四号黑体字，并居中）
二级、三级标题用小四号黑体字，左端对齐（不居中）。
论文中其他汉字一律采用小四号宋体字，行距用单倍行距，
二、基本假设
三、符号说明
四、问题分析
五、模型的建立与求解
六、模型检验
七、模型优缺点分析及改进方向
附录：
附件4：
论文范文
中国人口增长预测
摘要：
针对题目所提要求，我们建立了两个中国人口预测模型，分别用于对中国人口的发展趋势做短期和中长期的预测。
为了对中国人口发展做短期的预测，考虑到题目所给的数据资料的不全面，我们由马尔萨斯的人口指数增长模型得到启发，针对中国人口发展的特点，把出生率和死亡率函数这两大对人口增长起主要作用的因素作为建模的关键参数，在附件中没有给出中国近年总人口数的情况下，建立了短期内预测中国人口增长的微分方程模型。
在该模型中，为了得到出生率和死亡率函数这两个重要参数，我们通过分析题目所给数据，提取出有效信息，计算归纳出2001年到2005年的出生率和死亡率，并在此基础上引入灰色模型，用于对出生率和死亡率进行预测，得出了出生率和死亡率关于时间的函数。
较准确的估计出了人口增长的关键参数，使得建立的人口增长短期预测模型不仅符合中国人口的发展特点，而且简单易用，能在未知总人口数的情况下预测人口的相对发展变化，这一优点使得可以方便且准确的用于预测中国人口短期内的发展趋势。
为了对中国人口发展做中长期的预测，考虑到短期模型在预测人口中长期发展中的局限性以及影响人口发展的众多因素的不确定性和它们之间关系的复杂性，我们利用灰色动态模型的特点，从《中国统计年鉴》中查到了中国近年的人口总数（见附表一），把人口数做为灰色量，对原始各年人口序列进行分段建模，对各分段模型进行定性分析比较，根据各阶段宏观指标的相关确定一组适当的权数，进行预测模型的最优组合，以确定最优预测模型，从而建立了中长期预测中国人口增长的灰色动态系统人口模型，对中国人口进行了中长期的预测。
在对中国总人口进行短期和中长期的总体预测后，我们从附件中提取出城、镇、乡三地人口、男女出生性别比、妇女生育率、老龄人口比率等相关数据，对中国未来城、镇、乡三地人口比例、男女出生性别比、妇女生育率、老龄人口比率等影响人口发展的主要因素做趋势预测，从而达到了对中国人口全方位的预测。
关键词：
出生率、死亡率、指数增长模型、灰色动态模型、性别比、老龄化、生育率。
一、问题重述
中国是一个人口大国，人口问题始终是制约我国发展的关键因素之一。
根据已有数据，运用数学建模的方法，对中国人口做出分析和预测是一个重要问题。
近年来中国的人口发展出现了一些新的特点，例如，老龄化进程加速、出生人口性别比持续升高，以及乡村人口城镇化等因素，这些都影响着中国人口的增长。
2007年初发布的《国家人口发展战略研究报告》（附录1）还做出了进一步的分析。
关于中国人口问题已有多方面的研究，并积累了大量数据资料。
附录2就是从《中国人口统计年鉴》上收集到的部分数据。
试从中国的实际情况和人口增长的上述特点出发，参考附录2中的相关数据（也可以搜索相关文献和补充新的数据），建立中国人口增长的数学模型，并由此对中国人口增长的中短期和长期趋势做出预测；
特别要指出你们模型中的优点与不足之处。
1、把市镇乡看成独立封闭的系统，即不考虑迁入迁出的因素对人口的影响。
2、妇女的总和生育率设为1.8。
3、忽略经济，社会环境，资源等因素对人口的影响。
City（T）:
附件所给数据中的第T年城市人数
Town（T）:
附件所给数据中的第T年城镇人数
Village（T）:
附件所给数据中的第T年的乡村人数
：
i=1,2,3分别表示城市，城镇，乡村男性比率
i=1,2,3分别表示城市，城镇，乡村女性比率
i=1,2,3分别表示城市，城镇，乡村男性死亡比率
i=1,2,3分别表示城市，城镇，乡村女性死亡比率
Deads：
死亡人数
Borns:
出生人数
育龄妇女比率（15岁～49岁）i=1,2,3分别表示城市，城镇，乡村育龄妇女比率
i=1,2,3分别表示城市，城镇，乡村女性生育率
T：
年份
t:
年份表达变量
b（t）:
出生率随时间变化的函数
d（t）:
死亡率随时间变化的函数
N（t）:
总人口数随时间变化的函数
2001年人口数量（见附录一）
四、问题分析与建模及人口预测
中国人口增长的数学模型：
4.1用于短期预测的模型：
根据附件所给材料中的数据，计算第T年的死亡人数及出生人数：
公式为：
Deads=City（T）*（M1*Md1+W1*Wd1）+Town（T）*（M2*Md2+W2*Wd2）+Village（T）*（M3*Md3+W3*Wd3）
Borns=City（T）*B1*Bc1+Town（T）*B2*Bc2+Village（T）*B3*Bc3
计算第T年的出生率b（t）=Borns/（City（T）+Village（T）+Town（T））
死亡率d（t）=Deads/（City（T）+Village（T）+Town（T））
得如下表格：
T
t
出生率b（t）
死亡率d（t）
2001
0.01740845
0.00963373
2002
0.016390372
0.00936573
2003
0.015774741
0.00911349
2004
0.016341515
0.00896989
2005
0.014339363
0.00789073
对于序列X（t）={X（0）,X
（1）,X
（2）…X（n）}根据灰色模型中较常用的GM（1,1）模型：
（1）
来预测b（t）,d（t）的趋势。
（1）参数a,u的估计及X（t）预测方程的求解
将
（1）写成
，将t换为t+1并与原式做算术平均得：
（2）
我们可以用差分DX（t）=X（t+1）-X（t）近似代替
（2）式右端得：
记A=
，用最小二乘法估计出系数矩阵A。
A=
。
其中，
（DX（t）=X（t+1）-X（t））
有了a,u的估计值之后，我们就可以求解
（1）的微分方程。
（1）式两端同乘以
得
，
可化为
（3）
两边取不定积分得
=
（c为待定常数）
解得X（t）=
，将t=0代入得c=X（0）-
所以有X（t）预测方程：
X（t）=[X（0）-
]
+
（2）短期预测模型
将b（t）,d（t）（t=0~4）的值代入上述GM（1,1）模型的X（t）中求解。
<
1>
对于b（t）={0.01740845,0.016390372,0.015774741,0.016341515,0.014339363}
即a=-0.21878,u=-0.00515288
得预测方程：
（4）
2>
对于d（t）={0.00963373,0.00936573,0.00911349,0.00896989,0.00789073}
得预测方程
（5）
所以增长率函数为
则对总人口数N（t），有：
（6）
且有初值条件N（0）=
=12.7627亿人（
为2001年的总人口数，由参考文献[]得）
解该微分方程（6）得：
此式可用来预测短期内（附件所给数据截至2005年，预测期为2006~2011年）的人口趋势
总人口数（亿人）
2006
13.4327
2007
13.5444
2008
13.6424
2009
13.7228
2010
13.7805
2011
13.8091
4.2用于中长期预测的模型：
鉴于影响人口发展的众多不确定因素，我们应用灰色动态模型GM（1,1）.
为了得到最准确的预测结果，在选取数据年份和年数上，我们进行了认真的分析验证。
数据筛选过程如下：
1、我们选取了1970—1980和1980—1990这两段时间的人口数，带入灰色动态模型中，计算出1995-1999这个时间段的人口数，和查得的资料数据进行比较，得到表格如下：
年
实际总人口（万人）
1970-1980预测值
预测误差
1980-1990预测值
1965-1980预测值
1995
121121
120866
0.21
122651
1.26
129429
6.86
1996
122389
122345
0.04
124330
1.59
131458
7.41
1997
123626
123825
0.16
126004
1.92
133622
8.09
1998
124810
125309
0.4
127694
2.31
135870
8.86
1999
125909
126901
0.71
129404
2.78
138151
9.72
结论1：
年份越近，预测越准。
2、我们选取1989-19946年和1988-1995 8年的时间段的人口数，带入灰色动态模型中，计算出1996-1999这个时间段的人口数，和查得的资料数据进行比较，得到表格如下：
1989-1994预测值
1988-1995预测值
122216
0.141
122543
0.126
123337
0.234
123796
0.138
124400
0.329
125052
0.194
126066
0.325
126309
0.318
结论2：
年份越少，预测越准。
于是，我们选取1999-2004这六年的人口数据，带入到灰色动态模型中，得到灰色动态人口模型：
N（t）=17.6260714-17.73150933
（规定1999年时t=0）
并用该模型预测人口数如下：
2015
2020
2025
预测人口数
133028
133734
134404
135042
137780
139888
141496
2030
2035
2040
2045
2050
142736
143696
144464
145104
145600
4.3人口迁移对人口增长的影响
由附件所给数据求得2001~2005年城市，城镇，乡村人口分别所占总人口的比例
K（T）=某区域（cityorTownorVillage）人口数据/总人口数据（City（T）+Town（T）+Village（T））得如下表格：
城市人口比例
城镇人口比例
乡村人口比例
0.242
0.1297
0.6283
0.2616
0.1255
0.6129
0.2602
0.1522
0.5876
0.2582
0.1536
0.5882
0.2772
0.1713
0.5516
由表格得趋势图线：
由趋势可见，城市与城镇的人口比例在上升，而乡村的人口比例在减少，可见如今乡村人口正在逐步往城市和城镇迁移。
这对于我国未来人口的发展不能说没有影响，因为乡村人口由于计划生育等措施的普及没有城市与城镇广，导致其生育率相对较高，而且乡村人口基数相对较大，所以对过去的人口增长有很大影响。
现在随着乡村人口往城市与城镇慢慢迁移，将使得总体生育率有所下降，这就能很有效的控制人口的增长。
4.4性别比及生育率对人口数的影响
由附件所给1994~2005年的性别比数据和妇女生育率数据用Excel绘制趋势图得：
性别比数据图线
妇女生育率趋势图线
由图象可看出：
自1997年后，男性出生比例总体处于上升趋势，尤其是在占人口比例较大的乡镇。
女性出生比例的相对下降，与此同时，妇女的生育率却在1998年左右开始缓慢下降，这无疑对中国未来总人口的发展有比较大的影响。
这些数据表明在未来一定时期内人口的增长率将逐年降低，随着时间的推移，相应政策的实施及高生育率的
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