中位线经典讲义Word下载.docx
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2、梯形的中位线：
⑴连结梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线。
注意：
中位线是两腰中点的连线，而不是两底中点的连线。
⑵梯形中位线的性质
梯形的中位线平行于两底，并且等于两底和的一半。
二、举例：
例1：
如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、、DA的中点。
四边形EFGH是平行四边形吗？
为什么？
例2：
如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，点E、F、G、H分别是OA、OB、OC、DO的中点，四边形EFGH是矩形吗？
例3：
已知：
如图，AD是△ABC的中线，E、G分别是AB、AC的中点，GF∥AD交ED的延长线于点F。
⑴猜想：
EF与AC有怎样的关系？
⑵试证明你的猜想。
例4：
已知在△ABC中，∠B=2∠C，AD⊥BC于D，M为BC的中点。
试说明DM=
AB
例5：
等腰梯形ABCD中，AD∥BC，EF为中位线，EF=18，AC⊥AB，∠B=60°
，求梯形ABCD的周长及面积。
例6、已知：
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°
，E是梯形外一点，且AE=BE，F是CD的中点。
试说明：
EF∥BC。
M
D
C
B
A
N
例7：
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，M、N分别是两条对角线BD、AC的中点，试说明：
MN∥BC且MN＝
（BC－AD）。
例8：
如图，四边形ABCD为等腰梯形，AD∥BC，AC、BD相交于点O，点P、Q、R分别为AO、BO、CD的中点，且∠AOD＝60°
。
试判断ΔPQR的形状，并说明理由？
一、三角形中位线的性质
1、如图，三角形三条中位线组成的图形与原三角形的形状、大小（面积和周长）有怎样的关系？
四边形ADEF的周长与AB+AC的关系如何？
2、已知在四边形ABCD中，AB=CD，E、F、G分别是BD、AC、BC的中点，H是EF的中点.求证：
EF⊥GH.
3、如图所示，△ABC中，AB＞AC，AD平分∠BAC，CD⊥AD，点E是BC的中点。
求证：
（1）DE∥AB；
（2）DE=
（AB-AC）.
变式：
（1）在△ABC中,过点A分别作∠B,∠C,的角平分线的垂线,垂足分别为G,F,求FG和三角形三边的关系。
（2）在△ABC中,过点A分别作∠B的角平分线的垂线,∠C,的外角平分线的垂线，垂足分别为G,F,求FG和三角形三边的关系。
（3）在△ABC中,过点A分别作∠B,∠C,的外交角平分线的垂线,垂足分别为G,F,求FG和三角形三边的关系。
（4）已知△ABC，过A分别向∠B，∠C的内外角平分线作垂线，垂足依次为M、P、Q、N，求证这四点共线
4、如图在四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，E、F分别是AB、CD的中点，且AC=BD，求证：
OM=ON.
5、O是ΔABC所在平面内一动点，连接OB，OC，并将AB，OB，OC，AC的中点D，E，F，G依次连接，如果DEFG能构成四边形：
（1）如图，当O点在ΔABC内部时，证明四边形DEFG是平行四边形。
（2）当O点移动到ΔABC外部时，
（1）的结论是否还成立？
画出图形并说明理由。
（3）若四边形DEFG为矩形，O点所在位置应满足什么条件？
试说明理由。
二、梯形中位线的性质
1、已知等腰梯形的中位线和腰长相等，都等于8cm，这个等腰梯形的周长为（）
A、16cmB、32cmC、24cmD、40cm
2、已知四边形ABCD是高为10的等腰梯形，AB=DC，AD∥BC，又AC⊥BD，求中位线EF的长。
3、在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，E、F分别交BD、AC于点G、H，求证：
GH=
（BC-AD）.
变式一：
在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、CD的中点，E、F分别交BD、AC于点G、H，AD=a，BC=b，求EF、FH、GH的长。
变式二：
在梯形ABCD中，AD∥BC，G、H分别是BF、AC的中点，求证：
EF是梯形ABCD的中位线。
4、在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD与∠ABC的平分线交于CD中点E.求证：
AD+BC=AB.
5、过平行四边形ABCD的各个顶点向形外一条直线L作垂线，垂足分别为A'
B'
C'
D'
.求证：
AA'
+CC'
=BB'
+DD'
变式练习：
直线l过口ABCD的顶点B，AA’⊥l，CC’⊥l，DD’⊥l,
试证明AA’+CC’=DD’
三、直角三角形和中位线
1、在Rt△ABC中，∠BAC=90°
，延长BA到D，使AD=
AB，E、F分别是BC、AC的中点。
（1）求证：
DF=BE;
（2）过点A作AG∥BC，与DF相交于点G，求证：
AG=DG.
2、已知AD是△ABC的中线，E是AD的中点，求证：
FC=2AF.
3、如图，在△ABC中，D、E、F分别为三边中点，AG是BC边上的高，求证：
四边形DGEF是等腰梯形。
4、在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC,BD⊥DC,且BD平分∠ABC，若梯形的周长为20，求这个梯形中位线的长。
拓展训练：
1、在四边形ABCD中，AB=CD，M、N分别是BC、AD的中点，∠BEN=40°
.求∠CFN的度数.
2、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC．AD=AB,CM⊥AD于M．
求证:
AM
（AB+AC）
3、等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，AD：
BC=5：
6，∠A与∠D的平分线与BC的交点分BC为三等分，梯形的周长为57厘米.求梯形的上，下底长.
4、已知在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，E、F分别是AB，AC的中点
（1）EF和AD之间有什么位置关系？
并证明你的结论.
（2）若四边形AEDF是菱形，则△ABC应满足什么条件？
课后作业：
1、已知：
如图，在△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC交AC于点E。
DE=
BC。
2、已知：
如图，在△ABC中，中线BD、CE相交于点O，F、G分别是OB、OC的中点。
四边形DEFG是平行四边形。
F
E
O
3、已知：
如图矩形ABCD的对角线相交于点O，E、F分别是OA、OD的中点。
四边形CBEF是等腰梯形。
4、已知：
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E、F、M、N分别是AD、BC、BD、AC的中点。
EF与MN互相垂直平分。
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