概率论高等数学习题解答可编辑修改word版Word文件下载.docx
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⎧0于
⎪11
x<
⎪于1≤x<
⎪36
⎪20于2≤x<
=⎪27于
⎪32于
3≤x<
⎪35于5≤x<
⎩1于x≥6
2.某种抽奖活动规则是这样的:
袋中放红色球及白色球各5只,抽奖者交纳一元钱后得到一次抽奖的机会,然后从袋中一次取出5只球,若5只球同色,则获奖100元,否则无奖,以X表示某抽奖者在一次抽取中净赢钱数,求X的分布律.
解:
-
i
注意,这里X指的是赢钱数,X取0-1或100-1,显然P{X
=99}=
21.
5126
3k
.设随机变量X的分布律为P{X=k}=ak!
k=0,1,2,;
>
0为常数,试求常数a.
∞k--
因为∑a=ae
k=0
=1,所以a=e.
4.设随机变量X的分布律为
-1
1/4
1/2
(1)求X的分布函数;
(2)求P{X≤1},P{3<
X≤5},P{2≤x≤3}.
222
0于
x-1
1
x-1
(1)
P{X1}于
F(x)
x2
于
4
x2
,
P{X
}P{X2}于2x3
3于2x3
1于
x3
x3
⎧≤1⎫=p{X
=-1}=1、P⎧3<
X≤5⎫=P{X=2}=1,
P⎨X⎬
⎩⎭
⎨⎬
4⎩⎭2
P{2≤X≤3}=P{{X
=2}{X
=3}}=P{X
=2}+P{X
=3}=3.
5.
设随机变量X的分布律为P{X=k}=1,k=1,2,求:
2k
(1)P{X=偶数}
(2)P{X≥5}
(3)P{X=3的倍数}
(1)P{X=于于
}=1
+1++1
⎛1⎛1⎫⎫
ç
1⎪
1-
+=limç
⎝⎭⎪=1,
2224
22i
i→∞ç
⎝
1⎪3
⎭
22⎪
PX
1
X
111
111151,
22
1⎡
23
⎛1⎫i⎤
24
1616
∞
3⎢1-ç
3⎪⎥
(3)
P{X=3于于于
}=∑1=lim2⎢⎣
⎝2⎭⎥⎦=1.
i=123i
i→∞
1-17
6.某公安局在长度为t的时间间隔内收到的紧急呼救的次数X服从参数为0.5t的泊松分布,而与时间间隔的起点无关(时间以小时计)
(1)求某一天中午12时至下午3时没有收到紧急呼救的概率.
(2)求某一天中午12时至下午5时至少收到一次紧急呼救的概率.解:
X~P(0.5t)=P(1.5)
P{X=0}=e-1.5.
0.5t=2.5
P{x≥1}=1-P{x=0}=1-e-2.5.
7.某人进行射击,每次射击的命中率为0.02,独立射击400次,试求至少击中2次的概率.
设射击的次数为X,由题意知X~B(400,0.2),
400
P{X≥2}=1-P{X≤1}=1-∑Ck0.02k0.98400-k,
由于上面二项分布的概率计算比较麻烦,而且X近似服从泊松分布P(λ)(其中λ=400×
0.02),所以
查表泊松分布函数表得:
P{X≥2}
8ke8
k!
P{X≥2}≈1-0.28=0.9972
8.设事件A在每一次试验中发生的概率为0.3,当A发生不少于3次时,指示灯发出信号.现进行5次独立试验,试求指示灯发出信号的概率.
设X为事件A在5次独立重复实验中出现的次数,X~B(5于0.3)
则指示灯发出信号的概率
p=P{X≥3}=1-P{X<
3}=1-(C00.300.75+C10.310.74+C20.320.73)
555
=1-0.8369=0.1631.
9.设顾客在某银行窗口等待服务的时间X(以分钟计)服从参数为5指数分布.某顾客在窗口等待服务,若超过10分钟,他就离开.他一个月要到银行5次,以Y表示他未等到服务而离开窗口的次数.写出Y的分布律,并求P{Y≥1}.
-x
因为X服从参数为5的指数分布,则F(x)=1-e5
,P{X>
10}=1-F(10)=e-2,
Y~B(5于e-2),
则P{Y=k}=Ck(e-2)k(1-e-2)5-k,k=0,1,5.
P{Y≥1}=1-P{Y=0}=1-于1-e-2于5=0.5167
⎧acosx,
10.设随机变量X的概率密度为f(x)=⎨
|x|≤
2,试求:
(1)系数a;
(2)X落在区间(0,
p
)内的概率.
⎪0,
⎩
|x|>
(1)由归一性知:
1=
+∞
f(x)dx
-∞
2acosxdx=2a,所以a=1.
-2
112
(2).P{0<
X<
}=
4cosxdx=
02
sinx|4=
⎧0,
.
0
11.
设连续随机变量X的分布函数为F(x)=⎪Ax2,
⎪⎩1,
0≤x<
x≥1
试求:
(1)系数A;
(2)X落在区间(0.3,0.7)内的概率;
(3)X的概率密度.
解
(1)由F(x)在x=1的连续性可得limF(x)=limF(x)=F
(1),即A=1.
x→1+x→1-
(2)P{0.3<
0.7}=F(0.7)-F(0.3)=0.4.
(3)X的概率密度f(x)=F'
(x)=⎧2x,0<
x<
1.
⎩0,
12.设随机变量X服从(0,5)上的均匀分布,求x的方程4x2+4Xx+X+2=0有实根的概率.
⎧1
因为X服从(0,5)上的均匀分布,所以f(x)=⎪5
0<
其他
若方程
4x2+4Xx2+X+2=0有实根,则
∆=(4X)2-16X-32≥0,即
(x-2)(X+1)≥0,得X
≥2或X
≤-1,所以有实根的概率为
p=P{X≥2}+P{X≤-1}=
51dx+
-10dx=1x5=3
13.设X~N(3,4)
⎰25
⎰-∞
525
(1)求P{2<
X≤5},P{-4<
X≤10},P{X
确定c使得P{X>
c}=P{X≤c};
>
2},P{X>
3};
(3)设d满足P{X>
d}≥0.9,问d至多为多少?
(1)因为X~N(3于4)所以
P{2<
X
≤5}=P{2-3<
X-35-3
}
=P{-0.5<
X-3≤1}
2222
(1)(0.5)
(1)(0.5)10.84130.691510.5328
P{-4<
X≤10}==10-3)-(-4-3)
P{X
=(3.5)-(-3.5)=2(3.5)-1
=2⨯0.9998-1=0.9996
2}=1-P{X≤2}=1-P{-2≤X≤2}
=1-[F
(2)-F(-2)]=1-[Φ(-0.5)-Φ(-2.5)]
=1-[Φ(2.5)-Φ(0.5)]=1-0.3023=0.6977
P{X>
3}=1-P{X≤3}=1-F(3)
=1-Φ(0)=1-0.5=0.5.
c}=1-P{X
≤c},则P{X≤c}=1=F(c)=Φ(c-3)=1,
经查表得
Φ(0)=1,即c-3=0,得c=3;
由概率密度关于x=3对称也容易看出。
d}=1-P{X
≤d}=1-F(d)=1-Φ(d-3)≥0.9,
则Φ(
d3
d-3
)≤0.1,即Φ(-
)≥0.9,经查表知(1.29)0.9015,
故-1.29,即d0.42.
14.
设随机变量X服从正态分布N(0,2),若P{(X
k}=0.1,试求P{X<
k}.
P{X
k}=1-P{X≤k}=1-P{-k≤X≤k}=1-Φ(k
)+Φ(-k)
=2-2Φ(k)=0.1
s
所以Φ(k)=0.95,p{X<
k}=F(k)=Φ(k)
=0.95;
由对称性更容易解出.
ss
15.
设随机变量X服从正态分布N(,2),试问:
随着σ的增大,概率P{|X–|<
}是如何变化的?
~N(,2)则
P{X-<
}=P{-<
=F(+)-F(-)
<
+}
=Φ(+--Φ(--
))
=Φ
(1)-Φ(-1)
=2Φ
(1)-1=0.6826.
上面结果与σ无关,即无论σ怎样改变,P{X-<
}都不会改变;
16.已知离散随机变量X的分布律为
-2
1/5
1/6
1/15
11/30
试求Y=X2与Z=X
由X的分布律知
所以Y的分布律是
Z的分布律为
的分布律.
15
30
x
X2
Y
17.
设随机变量X服从正态分布N(,2),求Y=eX的概率密度.
因为X服从正态分布N(,2),所以f
(x)=
-(x-)2
e2,
F(y)=P{eX
≤y},
X
2
当y≤0时,FY(y)=0,则fY(y)=0
当y>
0时,FY(y)=P(Y≤y)=P{e
≤y}=P{X≤lny}=F
(lny)
f(y)=F'
(y)=[F
(lny)]'
=1
y
fX(lny)=y
-(lny-)2
e
2
11
(lny)2
e
22,
y0
所以Y的概率密度为fY(y)
y2
;
18.设X~U(0,1),试求Y=1–X的概率密度.
解因为X~U(0,1),f(x)=⎨
⎩0
FY(y)=P(Y≤y)=P{1-X≤y}=P{X≥1-Y}=1-FX(1-y)
所以fY
(y)FY
'
(y)[1F
(1y)]
=fX
(1-y)=⎧1,
1-y<
1⎧1,
í
y<
⎩0,他他⎩0,他他
19.设X~U(1,2),试求Y=e2X的概率密度.
X~U(1,2),则f(x)=⎨
1<
F(y)=P{Y≤y}=P{e2X≤y}
当y≤0时,FY(y)=P{e≤y}=0,
2X
0时,
F(y)=P⎧X≤1lny⎫=F(1lny),
Y⎨2⎬X2
(y)=1
=11
[F(lny)]
YY2
2yfX(2lny)
⎧⎪1
=⎨2y
⎪⎩0
1lny<
于于
e2<
e4
20.设随机变量X的概率密度为
⎧3x2,
f(x)=⎪2
-1<
试求下列随机变量的概率密度:
⎪0,于于
(1)Y1=3X;
(2)Y2=3-X;
(3)Y=X2.
(1)F
(y)
)=P{Y
≤y}=P{3X≤y}=
⎧≤1y⎫=1
Y1
f(y)=F
P⎨X
3⎬FX(3y)
Y1Y1
[F(y)]
3fX(3y)
⎧⎪3x2
因为fX(x)=⎨2
⎪⎩0
-1<
11⎧⎪1
y2,
1y<
y2,
-3<
所以fY(y)=3fX(3y)=⎨18
3=⎨18,于于
⎩⎪0,于于⎩⎪0
FY(y)=P{Y2≤y}=P{3-X≤y}=P{X≥3-y}=1-FX
(3-y),
fY2
(y)=F'
(x)=[1-F
(3-y)]'
=
fX(3-y)
所以f(y)=
⎧⎪3(3-y)2,
fX(3-y)=⎨2
3-y<
⎨2
2<
⎪⎩0,他他⎪⎩0,他他
(3)F
(y)=P{Y3
≤y}=P{X2≤y}
当y≤0时,F
(y)=P{X2≤y}=0,f
(x)=0
0时,FY(y)=P{-
≤X≤
y}=FX(
y)-FX(-
y),
fY3
(x)=[F(
y)-F(-
y)]'
=1[f(
y)+fX(-
y)]
⎧1[f(
所以Y⎨
y)],
y>
⎪⎩
0≤0
因为fX(x)=⎨2,
⎪⎩0于于
⎧⎪3
所以fY(y)=⎨2
y,0<
于于
⎩⎪0
四、应用题
1.甲地需要与乙地的10个电话用户联系,每一个用户在1分钟内平均占线12秒,并且各个用户是否使用电话是相互独立的.为了在任意时刻使得电话用户在用电话时能够接通的概率为0.99,应至少有多少电话线路?
设X为同时打电话的用户数,由题意知X
~B(10,0.2)
设至少要有k条电话线路才能使用户再用电话时能接通的概率为0.99,则
k
ii10-i
ki-
P{X≤k}=∑C100.20.8
i=0
≈∑e
=0.99,其中=2,
查表得k=5.
2.在一个电子仪器系统中,有10块组件独立工作,每个组件经过5小时后仍能正常工作的概率为e-5,其中是与工艺、系统复杂性有关的因子.若该系统中损坏的组件不超过一块,则系统仍能正常工作,那么,5小时后系统不能正常工作的概率(=0.08)是多少?
该问题可以看作为10重伯努利试验,每次试验下经过5个小时后组件不能正常工作这一基本结果的概率为1-e-0.4,记X为10块组件中不能正常工作的个数,则
X~B(10,1-e-0.4),
5小时后系统不能正常工作,即{X≥2},其概率为
P{X≥2}=1-P{X≤1}
=1-C0(1-e-0.4)0(e-0.4)10-C1(1-e-0.4)1(e-0.4)10-1
1010
=0.8916.
3.测量距离时,产生的随机误差X服从正态分布N(20,402),做三次独立测量,求:
(1)至少有一次误差绝对值不超过30m的概率;
(2)只有一次误差绝对值不超过30m的概率.
因为X~N(20,402),所以
P{X
≤30}=P{-30≤X≤30}=F(30)-F(-30)
=Φ(30-20)-Φ(-30-20)
4040
=Φ(0.25)+Φ(1.25)-1
=0.5187+0.8944-1
=0.4931
设Y表示三次测量中误差绝对值不超过30米的次数,则X
~B(3,0.4931),
(1)P{Y≥1}=1-P{Y=0}=1-C00.49310(1-0.4931)3=1-0.50693=0.8698.
(2)P{Y=1}=C10.49311⨯0.50692=0.3801.
4.假设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数为5的指数分布,设备定时开机,出现故障时自动关机,而无故障的情况下工作2小时便关机.试求该设备每次开机无故障工作的时间Y的分布函数.
当y<
0时,{Y≤y}是不可能事件,知F(y)=0,
y1-x-y
当0≤y<
2时,Y和X同分布,服从参数为5的指数分布,知F(y)=⎰05edx=1-e,
55
当y≥2时,{Y≤y}为必然事件,知F(y)=1,因此,Y的分布函数为
⎧0
F(y)=⎪
y<
-y
5于0≤y<
2;
⎨1-e
⎪1,y≥2
5.有甲乙两种颜色和味道都极为相似的名酒各4杯,如果从中挑4杯,能将甲种酒全挑出来,算是试验成功一次.
(1)某人随机去挑,问他试验成功的概率是多少?
(2)某人声称他通过品尝能区分两种酒,他连续试验10次,成功3次,试推断他是猜对的还是确有区分的能力(设各次试验是相互独立的).
(1)挑选成功的概率p=
11
470
(2)设10随机挑选成功的次数为X,则该
⎛1⎫,
X~Bç
10,