高考数学理一轮复习分层演练94随机事件古典概型与条件概率含答案.docx
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高考数学理一轮复习分层演练94随机事件古典概型与条件概率含答案
第4讲 随机事件、古典概型与条件概率
[学生用书P195]）
1．概率与频率
（1）在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn（A）＝为事件A出现的频率．
（2）对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn（A）随着试验次数的增加稳定于概率P（A），因此可以用频率fn（A）来估计概率P（A）．
2．事件的关系与运算
定义
符号表示
包含
关系
如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A（或称事件A包含于事件B）
B⊇A
（或A⊆B）
相等
关系
若B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等
A＝B
并事件
（和事件）
若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件（或和事件）
A∪B
（或A＋B）
交事件
（积事件）
若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件（或积事件）
A∩B
（或AB）
互斥
事件
若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥
A∩B＝∅
对立
事件
若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件
A∩B＝∅
且A∪B＝Ω
3.概率的几个基本性质
（1）概率的取值范围：
0≤P（A）≤1．
（2）必然事件的概率：
P（A）＝1．
（3）不可能事件的概率：
P（A）＝0．
（4）概率的加法公式
如果事件A与事件B互斥，则P（A∪B）＝P（A）＋P（B）．
（5）对立事件的概率
若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．
P（A∪B）＝1，P（A）＝1－P（B）．
4．古典概型
（1）基本事件的特点
①任何两个基本事件是互斥的；
②任何事件（除不可能事件）都可以表示成基本事件的和．
（2）特点
①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性．
②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性．
（3）概率公式
P（A）＝．
5．条件概率及其性质
（1）条件概率的定义：
设A，B为两个事件，且P（A）>0，称P（B|A）＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率．
（2）条件概率的性质：
①0≤P（B|A）≤1；②如果B和C是两个互斥事件，则P（B∪C|A）＝P（B|A）＋P（C|A）．
1．辨明四个易误点
（1）易将概率与频率混淆，频率随着试验次数变化而变化，而概率是一个常数．
（2）对立事件是互斥事件，是互斥中的特殊情况，但互斥事件不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件．
（3）概率的一般加法公式P（A∪B）＝P（A）＋P（B）－P（A∩B）中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P（A∪B）＝P（A）＋P（B），此时P（A∩B）＝0.
（4）P（B|A）是在A发生的条件下B发生的概率，而P（A|B）是在B发生的条件下A发生的概率．
2．集合方法判断互斥事件与对立事件
（1）由各个事件所含的结果组成的集合彼此的交集为空集，则事件互斥．
（2）事件A的对立事件A所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．
1．（2016·高考天津卷）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是，甲获胜的概率是，则甲不输的概率为（ ）
A. B．
C.D．
A [解析]由题意得，甲不输的概率为＋＝.
2．（2016·高考北京卷）从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）
A. B．
C.D．
B [解析]设5名学生分别为甲、乙、丙、丁、戊，从甲、乙、丙、丁、戊5人中选2人，有（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），（乙，丙），（乙，丁），（乙，戊），（丙，丁），（丙，戊），（丁，戊），共10种情况，其中甲被选中的情况有（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（甲，戊），共4种，所以甲被选中的概率为＝.
3.甲：
A1，A2是互斥事件；乙：
A1，A2是对立事件，那么（ ）
A．甲是乙的充分但不必要条件
B．甲是乙的必要但不充分条件
C．甲是乙的充要条件
D．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
B [解析]两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不一定成立．
4．已知P（B|A）＝，P（AB）＝，则P（A）等于________．
[解析]由P（AB）＝P（A）P（B|A），可得P（A）＝.
[答案]
5．在集合中任取一个元素，则所取元素恰好满足方程cosx＝的概率是________．
[解析]基本事件总数为10，满足方程cosx＝的基本事件数为2，故所求概率为P＝＝.
[答案]
随机事件的频率与概率[学生用书P197]
[典例引领]
（2016·高考全国卷甲）某险种的基本保费为a（单位：
元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
上年度出
险次数
0
1
2
3
4
≥5
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
出险次数
0
1
2
3
4
≥5
频数
60
50
30
30
20
10
（1）记A为事件“一续保人本年度的保费不高于基本保费”．求P（A）的估计值；
（2）记B为事件“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”．求P（B）的估计值；
（3）求续保人本年度平均保费的估计值．
【解】
（1）事件A发生当且仅当一年内出险次数小于2.由所给数据知，
一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，
故P（A）的估计值为0.55.
（2）事件B发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4.由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故P（B）的估计值为0.3.
（3）由所给数据得
保费
0.85a
a
1.25a
1.5a
1.75a
2a
频率
0.30
0.25
0.15
0.15
0.10
0.05
调查的200名续保人的平均保费为
0．85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.1925a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.1925a.
某保险公司利用简单随机抽样方法，对投保车辆进行抽样，样本车辆中每辆车的赔付结果统计如下：
赔付金额（元）
0
1000
2000
3000
4000
车辆数（辆）
500
130
100
150
120
（1）若每辆车的投保金额均为2800元，估计赔付金额大于投保金额的概率；
（2）在样本车辆中，车主是新司机的占10%，在赔付金额为4000元的样本车辆中，车主是新司机的占20%，估计在已投保车辆中，新司机获赔金额为4000元的概率．
[解]
（1）设A表示事件“赔付金额为3000元”，B表示事件“赔付金额为4000元”，以频率估计概率得
P（A）＝＝0.15，P（B）＝＝0.12.
由于投保金额为2800元，赔付金额大于投保金额对应的情形是赔付金额为3000元和4000元，所以其概率为P（A）＋P（B）＝0.15＋0.12＝0.27.
（2）设C表示事件“投保车辆中新司机获赔4000元”，由已知，样本车辆中车主为新司机的有0.1×1000＝100（辆），而赔付金额为4000元的车辆中，车主为新司机的有0.2×120＝24（辆），所以样本车辆中新司机车主获赔金额为4000元的频率为＝0.24，由频率估计概率得P（C）＝0.24.
互斥事件、对立事件的概率[学生用书P197]
[典例引领]
某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得，1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．记1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：
（1）1张奖券的中奖概率；
（2）1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
【解】
（1）设“1张奖券中奖”为事件M，则M＝A∪B∪C，依题意，P（A）＝，P（B）＝＝，P（C）＝，因为A，B，C两两互斥，
所以P（M）＝P（A∪B∪C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）
＝＝，
故1张奖券的中奖概率为.
（2）设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件N，则事件N与“1张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件，所以P（N）＝1－P（A∪B）＝1－＝.
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为.
经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数相应的概率如下：
排队人数
0
1
2
3
4
5人及5人以上
概率
0.1
0.16
0.3
0.3
0.1
0.04
求：
（1）至多2人排队等候的概率；
（2）至少3人排队等候的概率．
[解]记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A、B、C、D、E、F彼此互斥．
（1）记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A＋B＋C，所以P（G）＝P（A＋B＋C）＝P（A）＋P（B）＋P（C）＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.
（2）法一：
记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D＋E＋F，所以P（H）＝P（D＋E＋F）＝P（D）＋P（E）＋P（F）＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.
法二：
记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P（H）＝1－P（G）＝0.44.
古典概型的概率（高频考点）[学生用书P198]
古典概型是高考考查的热点，可在选择题、填空题中单独考查，也可在解答题中与统计一起考查，属容易题．
高考对本部分内容的考查主要有以下三个命题角度：
（1）根据概率求参数；
（2）利用古典概型的概率公式求概率；
（3）古典概型与统计的综合应用（下章讲解）．
[典例引领]
（2016·高考山东卷）某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：
①若xy≤3，则奖励玩具一个；
②若xy≥8，则奖励水杯一个；
③其余情况奖励饮料一瓶．
假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．
（1）求小亮获得玩具的概率；
（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．
【解】 用数对（x，y）表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{（x，y）|x∈N，y∈N，1≤x≤4，1≤y≤4}一一对应．
因为S中元素的个数是4×4＝16，
所以基本事件总数n＝16.
（1）记“xy≤3”为事件A，
则事件A包含的基本事件共5个，即（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1）．
所以P（A）＝，即小亮获得玩具的概率为.
（2）记“xy≥8”为事件B，“3则事件B包含的基本事件共6个，
即（2，4），（3，3），（3，4），（4，2），（4，3），（4，4），
所以P（B）＝＝.
事件C包含的基本事件共5个，
即（1，4），（2，2），（2，3），（3，2），（4
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