北京市通州区高三模拟考试数学理科试题一含答案.docx
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北京市通州区高三模拟考试数学理科试题一含答案
通州区2016年高三年级模拟考试
(一)
数学(理)试卷
2016年4月
本试卷共4页,150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷(选择题共40分)
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.)
1.复数在复平面上对应的点位于
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
2.右面的程序框图输出的值为
A.16
B.32
C.64
第2题图
D.128
3.若非空集合满足,且不是
的子集,则“”是“”的
A.充分而不必要条件
B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
4.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为
A.24
B.20+4
C.28
第4题图
D.24+4
5.已知是首项为且公差不为的等差数列,若成等比数列,则的前项和等于
A.26B.30C.36D.40
6.若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分,则的值是
A.B.C.D.
7.已知点,点在抛物线上,过点的直线与直线垂直相交于点,,则的值为
A.B.C.D.
8.若定义域均为的三个函数,,满足条件:
,点与点都关于点对称,则称是关于的“对称函数”.已知,,是关于的“对称函数”,且恒成立,则实数的取值范围是
A.B.C.D.
第Ⅱ卷(非选择题共110分)
二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分.)
9.的展开式中含项的系数为______.(用数字作答)
10.在△中,,,△的面积为,则的长为.
11.如图,圆的直径,直线和圆相切于点,
⊥于,若,则的长为______.
12.若,,是单位向量,且,则的
最大值为.
13.已知函数.若,且,则的取值范围是.
14.图甲是应用分形几何学做出的一个分形规律图,按照图甲所示的分形规律可得图乙所示的一个树形图.
甲乙
我们采用“坐标”来表示图乙各行中的白圈、黑圈的个数(横坐标表示白圈的个数,纵坐标表示黑圈的个数).比如第一行记为(0,1),第二行记为(1,2),第三行记为(4,5),照此下去,第四行中白圈与黑圈的“坐标”为,第n(n∈N*)行中白圈与黑圈的“坐标”为________.
三、解答题(共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.)
15.(本小题13分)
已知函数.
(Ⅰ)求函数的最小正周期;
(Ⅱ)当时,求函数的最大值和最小值.
16.(本小题13分)
中国天气网2016年3月4日晚六时通过手机发布的3月5日通州区天气预报的折线图(如图),其中上面的折线代表可能出现的最高气温,下面的折线代表可能出现的最低气温.
(Ⅰ)指出最高气温与最低气温的相关性;
(Ⅱ)比较最低气温与最高气温方差的大小(结论不要求证明);
(Ⅲ)在[8:
00,23:
00]内每个整点时刻的温差(最高气温与最低气温的差)依次记为t1,t2,t3,…,t16,求在连续两个时刻的温差中恰好有一个时刻的温差不小于的概率.
17.(本小题14分)
如图,在多面体中,四边形为正方形,∥,,,,,为的中点.
(Ⅰ)求证:
∥平面;
(Ⅱ)求证:
平面;
(Ⅲ)在线段上是否存在一点,使得二面
角的大小为?
若存在求出
的长,若不存在请说明理由.
18.(本小题13分)
已知函数(a≠0).
(Ⅰ)当时,求函数的零点;
(Ⅱ)求f(x)的单调区间;
(Ⅲ)当时,若对恒成立,求的取值范围.
19.(本小题14分)
已知椭圆:
.
(Ⅰ)求椭圆的离心率;
(Ⅱ)设为坐标原点,为椭圆上的三个动点,若四边形为平行四边形,判断的面积是否为定值,并说明理由.
20.(本小题13分)
已知数列满足,,其中,是不为的常数.
(Ⅰ)证明:
若是递增数列,则不可能是等差数列;
(Ⅱ)证明:
若是递减的等比数列,则中的每一项都大于其后任意个项的和;
(Ⅲ)若,且是递增数列,是递减数列,求数列的通项公式.
通州区2016年高三年级模拟考试
(一)
理科数学参考答案
2016年4月
一、选择题(共8个小题,每小题5分,共40分)
1
2
3
4
5
6
7
8
A
D
A
B
C
B
D
D
二、填空题(共6个小题,每小题5分,共30分)
9.; 10.; 11.;
12.; 13.; 14.,.
三、解答题(共6个小题,共80分)
15.解:
(Ⅰ)因为
……………………………………………4分
.………………………………………………6分
所以函数的最小正周期.……………………………7分
(Ⅱ)当时,,……………………8分
所以当,即时,函数取得最大值,……………10分
当,即时,函数取得最小值.
……………………………12分
所以在上的最大值和最小值分别为和.
……………………………13分
16.解:
(Ⅰ)最高气温与最低气温之间成正相关,即最高气温越高,相应地最低气温也越高. ……………………………3分
(Ⅱ)由图可以看出,最高气温曲线波动较小,因此最高气温方差小于最低气温方差.
……………………………7分
(Ⅲ)由图可得下表:
整点
时刻
最高
气温
最低
气温
温差
整点
时刻
最高
气温
最低
气温
温差
……………………………10分
由表可知,连续两个整点时刻(基本事件)共有15个:
(,),(,),(,),
(,),(,),(,),
(,),(,),(,),
(,),(,),(,),
(,),(,),(,).
其中满足条件“恰好有一个时刻的温差不小于”的事件(记为A)共有3个:
(,),(,),(,).
所以在连续两个时刻的温差中恰好有一个时刻的温差不小于的概率.……………………………13分
17.(Ⅰ)证明:
连结AC交于,连结,.
因为四边形为正方形,
所以是的中点,
又是中点,
所以,.
而,,
所以且,
所以四边形为平行四边形,
所以,
又因为平面,平面,
所以平面.……………………………5分
(Ⅱ)证明:
因为,是的中点,
所以.
因为,,
所以.
因为,
所以平面,
因为平面,
所以,
所以平面. 9分
(Ⅲ)解:
HE,AD,OH两两垂直,如图.建立空间直角坐标系H-xyz.则
,,,
设点,于是有,.
设平面的法向量,则
即
令,得,.
所以.
平面的法向量.
所以,即.
所以.
所以点的坐标为,与点的坐标相同.
所以.……………………………14分
18.解:
(Ⅰ)令,即.……………………………1分
因为,所以.……………………………2分
因为,所以.
所以方程有两个不等实根:
,.
所以函数有且只有两个零点和.………3分
(Ⅱ).…………………………4分
令,即,解得或.………………5分
当时,列表得:
x
1
+
0
-
0
+
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
……………………………6分
当时,
(1)若,则,列表得
x
1
-
0
+
0
-
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
……………………………7分
(2)若,则,列表得
x
1
-
0
+
0
-
单调递减
极小值
单调递增
极大值
单调递减
……………………………8分
综上,当时,单调递增区间为,,单调递减区间为;
当时,单调递增区间为,单调递减区间为,;
当时,单调递增区间为,单调递减区间为,.
……………………………9分
(Ⅲ)因为,所以当时,有,,,
所以,从而.……………………………10分
当时,由(Ⅱ)可知函数在时取得极小值.
所以,为函数在上的最小值.……………………………11分
由题意,不等式对恒成立,
所以得,解得.
所以的取值范围是.…………………………………………13分
19.解:
(Ⅰ)椭圆的标准方程为:
所以,,.
所以椭圆的离心率.……………………4分
(Ⅱ)①若是椭圆的右顶点(左顶点一样),此时垂直平分.
所以,,.
,
所以的面积.…………6分
②若B不是椭圆的左、右顶点,设,
,
由得,
,
,,.……………………9分
因为四边形为平行四边形,
所以.
所以,
代入椭圆方程,化简得.…………………10分
因为
.…………………11分
点到的距离.…………………12分
所以的面积.
综上,的面积为定值.……………………………13分
因为的面积等于的面积,
所以的面积为定值.…………………………………………14分
20.解:
(Ⅰ)因为是递增数列,所以.……………1分
由于,所以,.
假设数列是等差数列,那么,,成等差数列.
所以,因而,解得或.……………………2分
由已知,当,,这与是递增数列矛盾,故的值不存在.
所以数列不可能是等差数列.………………………………………………3分
(Ⅱ)因为是递减数列,所以.
因为,所以,.
因为数列是等比数列,
所以,得或(舍去).
则,公比,故.……………………4分
设,那么,,,().
因为,,,,
所以.……………5分
因为…6分
而,即,
所以.
即:
数列中的每一项大于其后任意个项的和.……………………7分
(Ⅲ)由于是递增数列,所以,
所以. ①
因为,所以. ②
由①②知,,因此. ③……9分
因为是递减数列,同理得,,
故.④
由③④可知,.……………………11分
因此
.
所以数列的通项公式为.………………………13分