七年级上册数学基础知识Word格式.docx
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④在数轴上离某点的距离等于a的点有两个。
⑤如果数
和数
互为相反数,则
+
=0;
或
;
⑥求一个数的相反数,只要在这个数的前面加上“—”即可;
例如
的相反数是
5、绝对值
数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。
(1)绝对值的几何意义:
一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离。
(2)绝对值的代数意义:
一个正数的绝对值是它本身;
0的绝对值是0;
一个负数的绝对值是它的相反数,可用字母a表示如下:
(3)两个负数比较大小,绝对值大的反而小。
①“一个数的绝对值就是数轴上表示该数的点与原点的距离”,而距离是非负,也就是说任何一个数的绝对值都是非负数,即
。
②互为相反数的两个数离原点的距离相等,也就是说互为相反数的两个数绝对值相等。
二、有理数的运算
1、有理数的加法
(1)有理数的加法法则:
同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加;
绝对值不等的异号两数相加,取绝对值较大数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值;
互为相反的两个数相加得0;
一个数同0相加,仍得这个数。
(2)有理数加法的运算律:
加法的交换律:
a+b=b+a;
加法的结合律:
(a+b)+c=a+(b+c)
知识窗口:
用加法的运算律进行简便运算的基本思路是:
先把互为相反数的数相加;
把同分母的分数先相加;
把符号相同的数先相加;
把相加得整数的数先相加。
2、有理数的减法
(1)有理数减法法则:
减去一个数等于加上这个数的相反数。
(2)有理数减法常见的错误:
顾此失彼,没有顾到结果的符号;
仍用小学计算的习惯,不把减法变加法;
只改变运算符号,不改变减数的符号,没有把减数变成相反数。
(3)有理数加减混合运算步骤:
先把减法变成加法,再按有理数加法法则进行运算;
减法是加法的逆运算,用法则“减去一个数等于加上这个数的相反数”即可转化。
转化后它满足加法法则和运算律。
3、有理数的乘法
(1)有理数乘法的法则:
两个有理数相乘,同号得正,异号得负,并把绝对值相乘;
任何数与0相乘都得0。
(2)有理数乘法的运算律:
交换律:
ab=ba;
结合律:
(ab)c=a(bc);
a(b+c)=ab+ac。
(3)倒数的定义:
乘积是1的两个有理数互为倒数,即ab=1,那么a和b互为倒数;
倒数也可以看成是把分子分母的位置颠倒过来。
①“两个有理数相乘,同号得正,异号得负”不要误认为成“同号得正,异号得负”
②多个有理数相乘时,积的符号确定规律:
多个有理数相乘,若有一个因数为0,则积为0;
几个都不为0的因数相乘,积的符号由负因数的个数来决定,当负因数的个数为奇数时,积为负;
当负因数的个数为偶数时,积为正。
③有理数乘法的计算步骤:
先确定积的符号,再求各因数绝对值的积。
4、有理数的除法
有理数的除法法则:
除以一个数,等于乘上这个数的倒数,0不能做除数。
这个法则可以把除法转化为乘法;
除法法则也可以看成是:
两个数相除,同号得正,异号得负,并把绝对值相除,0除以任何一个不等于0的数都等于0。
①除法是乘法的逆运算,用法则“除以一个数,等于乘上这个数的倒数”即可转化,转化后它满足乘法法则和运算律。
②倒数的求法:
求一个整数的倒数,直接可写成这个数分之一,即a的倒数为
(a≠0);
求一个真分数和假分数的倒数,只要将分子、分母颠倒一下即可,即
的倒数为
求一个带分数的倒数,应先将带分数化为假分数,再求其倒数;
求一个小数的倒数,应先将小数化为分数,再求其倒数。
注意:
0没有倒数。
5、有理数的乘方
(1)有理数的乘方的定义:
求几个相同因数a的积的运算叫做乘方,乘方是一种运算,是几个相同的因数的特殊乘法运算,记做“an”其中a叫做底数,表示相同的因数,n叫做指数,表示相同因数的个数,它所表示的意义是n个a相乘,不是n乘以a,乘方的结果叫做幂。
(2)正数的任何次方都是正数,负数的偶数次方是正数,负数的奇数次方是负数,0的任何非0次幂都是0,1的任何非0次幂都是1,-1偶数次幂是1、-1奇数次幂是-1;
①“an”所表示的意义是n个a相乘,不是n乘以a;
②
因为
表示
个
相乘,而
个a的相反数;
③任何数的偶次幂都得非负数,即
所有的奇数可以表示为2n+1或2n-1;
所有的偶数可以表示为2n。
6、有理数的混合运算
(1)进行有理数混合运算的关建是熟练掌握加、减、乘、除、乘方的运算法则、运算律及运算顺序。
比较复杂的混合运算,一般可先根据题中的加减运算,把算式分成几段,计算时,先从每段的乘方开始,按顺序运算,有括号先算括号里的,同时要注意灵活运用运算律简化运算。
(2)进行有理数的混合运算时,应注意:
一是要注意运算顺序,先算高一级的运算,再算低一级的运算;
二是要注意观察,灵活运用运算律进行简便运算,以提高运算速度及运算能力。
有理数混合运算的关键时把握好运算顺序,即先乘方、再乘除、最后加减;
有括号的先算括号;
若是同级运算,应按照从左到右的顺序进行。
7、科学记数法
(1)把一个大于10的数记成a×
10n的形式,其中a是整数位只有一位的数,这种记数方法叫做科学记数法。
(2)与实际完全符合的数叫做准确数,与准确数接近的数叫做近似数。
一般地,一个近似数,四舍五入到哪一位,就说这个近似数精确到哪一位。
(3)一个数,从左边第一个不是0的数字起,到精确到的数位止(最末尾一位),所得的数字,叫做这个数的有效数字。
I把一个数
用科学记数法表示为a×
10n,其中
,
为自然数,
①当
时,
为这个数
的整数位数减1;
例如:
用科学记数法表示
得
,它满足
(
的整数部分有6位数);
②当
时,
为0;
③当
为由
变到
的过程中小数点移动位数的相反数;
④科学记数法既然是将很大的数或很小的数一种简单的记数方法,那么就在记数的过程中不能出现几百、几千、几万或几百分之一、几千分之一、几万分之一等等词出现。
II在让数字精确和数有效数字时应注意:
①在四舍五入法精确小数时不可轻视,即如果要求将一个小数精确到千分位,而四舍五入所得到的结果千分位为0时,该0不能省略。
如:
将
精确到千分位,应为2.090,不应为2.09。
其他分位也应注意。
②在数一个数的有效数字时应该严格按照“从左边第一个不是0的数字起,到精确到的数位止(最末尾一位),所得的数字”;
科学记数法a×
10n的形式中,效数字只与a有关,而与10n无关。
第二章整式的加减
2.1整式
单项式:
由数字和字母乘积组成的式子。
单独一个数或一个字母也是单项式。
因此,判断代数式是否是单项式,关键要看代数式中数与字母是否是乘积关系,即分母中不含有字母;
若式子中含有加、减运算关系,也不是单项式。
单项式的系数:
是指单项式中的数字因数;
单项数的次数:
是指单项式中所有字母的指数的和。
多项式:
几个单项式的和。
多项式的次数:
多项式里次数最高项的次数。
多项式的项:
在多项式中,每一个单项式。
(注意单项式和多项式的每一项都包括它前面的符号)
整事:
单项式和多项式统称为整式。
2.2整式的加减
同类项:
所含字母相同,并且相同字母的指数也相同的项。
(几个常数项也是同类项)
同类项必须同时满足两个条件:
(1)所含字母相同;
(2)相同字母的次数相同,二者缺一不可。
合并同类项:
把多项式中的同类项合并成一项。
可以运用交换律,结合律和分配律。
合并同类项法则:
合并同类项后,所得项的系数是合并前各同类项的系数的和,且字母部分不变;
字母的升降幂排列:
按某个字母的指数从小(大)到大(小)的顺序排列。
如果括号外的因数是正(负)数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同(反)。
去(添)括号:
①若括号外的因数是正数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同;
②若括号外的因数是负数,去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反;
一般地,几个整式相加减,如果有括号就先去括号,然后再合并同类项;
第三章一元一次方程
1.等式:
用“=”号连接而成的式子叫等式。
2、等式的基本性质
(1)等式两边同时加上(或减去)同一个数或代数式,所得结果仍是等式。
若
,则
(2)等式两边同时乘以(或除以)同一个数(除数不能为0),所得结果仍是等式。
(3)对称性:
等式的左右两边交换位置,结果仍是等式。
若a=b,则b=a;
(4)传递性:
如果a=b,且b=c,那么a=c,这一性质叫等量代换。
3.方程:
含未知数的等式,叫方程。
4.方程的解:
使等式左右两边相等的未知数的值叫方程的解;
“方程的解就能代入”!
5.移项:
改变符号后,把方程的项从一边移到另一边叫移项。
移项的依据是等式性质1。
移项必变号,“+”变“—”,“—”变“+”;
“×
”变“÷
”,“÷
”变“×
”;
即移加变减,移乘变除,移减变加,移除变乘。
6.一元一次方程:
只含有一个未知数,并且未知数的次数是1,并且含未知数项的系数不是零的整式方程是一元一次方程。
7.一元一次方程的标准形式:
ax+b=0(x是未知数,a、b是已知数,且a≠0)。
8.一元一次方程解法的一般步骤:
解一元一次方程的步骤
主要依据
注意问题
1、去分母
等式的性质2
注意拿分母的最小公倍数乘遍方程的每一项,切记不可漏乘某一项,分母是小数的,要先利用分数的性质,把分母化为整数,若分子是代数式,则必加括号。
2、去括号
去括号法则
乘法分配律
严格执行去括号的法则,若是数乘括号,切记不漏乘括号内的项,减号后去括号,括号内各项的符号一定要变号。
3、移项
等式的性质1
越过“=”的叫移项,属移项者必变号;
未移项的项不变号,注意不遗漏,移项时把含未知数的项移在左边,已知数移在右边,书写时,先写不移动的项,把移动过来的项改变符号写在后面。
4、合并同类项
合并同类项法则
注意在合并时,仅将系数加到了一起,而字母及其指数均不改变。
5、系数化为1
两边同除以未知数的系数,记住未知数的系数永远是分母(除数),切不可分子、分母颠倒。
6、检验
10.列一元一次方程解应用题:
(1)读题分析法:
“和,差,倍,分问题”
仔细读题,找出表示相等关系的关键字,例如:
“大,小,多,少,是,共,合,为,完成,增加,减少,配套-----”,利用这些关键字列出文字等式,并且据题意设出未知数,最后利用题目中的量与量的关系填入代数式,得到方程。
(2)画图分析法:
“行程问题”
利用图形分析数学问题是数形结合思想在数学中的体现,仔细读题,依照题意画出有关图形,使图形各部分具有特定的含义,通过图形找相等关系是解决问题的关键,从而取得列方程的依据,最后利用量与量之间的关系(可把未知数看做已知量),填入有关的代数式是获得方程的基础。
11.解实际应用题:
知识点1:
市场经济、打折销售问题
(1)商品利润=商品售价-商品成本价
(2)商品利润率=
×
100%
(3)商品销售额=商品销售价×
商品销售量(4)商品的销售利润=(销售价-成本价)×
销售量
知能点2:
方案选择问题
知能点3储蓄、储蓄利息问题
(1)顾客存入银行的钱叫做本金,银行付给顾客的酬金叫利息,本金和利息合称本息和,存入银行的时间叫做期数,利息与本金的比叫做利率。
利息的20%付利息税
(2)利息=本金×
利率×
期数本息和=本金+利息利息税=利息×
税率(20%)
(3)
知能点4:
工程问题
工作量=工作效率×
工作时间工作效率=工作量÷
工作时间
工作时间=工作量÷
工作效率完成某项任务的各工作量的和=总工作量=1
知能点5:
若干应用问题等量关系的规律
(1)和、差、倍、分问题此类题既可有示运算关系,又可表示相等关系,要结合题意特别注意题目中的关键词语的含义,如相等、和差、几倍、几分之几、多、少、快、慢等,它们能指导我们正确地列出代数式或方程式。
增长量=原有量×
增长率现在量=原有量+增长量
(2)等积变形问题
常见几何图形的面积、体积、周长计算公式,依据形虽变,但体积不变.
①圆柱体的体积公式V=底面积×
高=S·
h=
r2h②长方体的体积V=长×
宽×
高=abc
知能点6:
行程问题
基本量之间的关系:
路程=速度×
时间时间=路程÷
速度速度=路程÷
时间
(1)相遇问题
(2)追及问题
快行距+慢行距=原距快行距-慢行距=原距
(3)航行问题顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度
逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度
抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静不速)不变的特点考虑相等关系
知能点7:
数字问题
(1)要搞清楚数的表示方法:
一个三位数的百位数字为a,十位数字是b,个位数字为c(其中a、b、c均为整数,且1≤a≤9,0≤b≤9,0≤c≤9)则这个三位数表示为:
100a+10b+c。
然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程.
(2)数字问题中一些表示:
两个连续整数之间的关系,较大的比较小的大1;
偶数用2n表示,连续的偶数用2n+2或2n—2表示;
奇数用2n+1或2n—1表示。
第四章图形认识初步
4。
1多姿多彩的图形
(1)几何图形:
把从实物中抽象出的各种图形称为几何图形;
几何图形可分为立体图形和平面图形
(2)立体图形:
各部分不都在同一平面内的几何图形;
(如长方体、正方体、圆柱、圆锥、球等)
(3)平面图形:
各部分都在同一平面的几何图形;
(如线段、三角形、长方形、圆等)
(4)立体图形的三视图:
主视图(从正面看)、左视图(从左面看)、俯视图(从上面看)
(5)展开图:
有些立体图形是由一些平面图形围成的,将它们的表面适当剪开,可以展开成平面图形,这样的平面图形称为相应立体图形的展开图;
(6)几何体简称为体;
(7)包围着体的是面;
(面有平的面和曲的面两种)
(8)面和面相交的地方形成线;
线和线相交的地方形成点;
(9)点动成线、线动成面、面动成体;
(10)几何图形都是由点、线、面、体组成的,点是构成图形的基本元素;
2直线、射线、线段
1、线段、射线、直线的定义
(1)线段:
线段可以近似地看成是一条有两个端点的崩直了的线。
线段可以量出长度。
(2)射线:
将线段向一个方向无限延伸就形成了射线,射线有一个端点。
射线无法量出长度。
(3)直线:
将线段向两个方向无限延伸就形成了直线,直线没有端点。
直线无法量出长度。
①线段有两个端点,射线有一个端点,直线没有端点;
②“线段可以量出长度”,即线段有明确的长度,“射线和直线都无法量出其长度”,即射线和直线既没有明确的长度,也没有射线与射线、直线与直线、射线与直线之间的长短比较之说;
③线段只有长短之分,而没有大小之别,射线和直线既没有长短之分,也没有大小之别;
2、线段、射线、直线的表示方法
(1)直线的表示方法:
①用一个小写字母表示直线(如直线l)②用一条直线上的两点来表示这条直线(如直线AB)
(2)射线的表示方法只有一种:
用端点和射线上的另一个点来表示,端点要写在前面。
(3)直线的表示方法有两种:
一是用直线上的两个点来表示,二是用一个小写的英文字母来表示。
①将线段的两个端点位置颠倒,得到的新线段与原来的线段是同一线段,即线段AB与线段BA是同一线段;
②将表示射线的两个点位置颠倒,得到的新射线与原来的射线不是同一射线,即射线AB与射线BA不是同一射线,因为它们的端点和方向不同;
③将表示直线的两个点位置颠倒,得到的新直线与原来的直线是同一直线,即直线AB与直线BA是同一直线;
④识别图中线段的条数要把握一点:
只要有一个端点不相同,就是不同的线段;
⑤识别图中射线的条数要把握两点:
端点和方向缺一不可;
3、线段、射线、直线的联系:
①射线和直线都是有线段无限延伸形成的,把线段向一个方向无限延伸就成了射线,把线段向两个方向无限延伸就形成了直线。
②射线和线段都可以看成是直线的一部分。
4、线段、射线、直线的区别:
②“线段可以量出长度”,即线段有明确的长度,“射线和直线都无法量出其长度”,即射线和直线既没有明确的长度,也没有射线与射线、直线与直线、射线与直线之间的长短比较之说;
③直线不能延伸,射线只能向一个方向延伸,线段可以向两个方向延伸;
5、直线事实:
过两点有且只有一条直线。
简称两点确定一条直线。
6、线段的比较:
(1)叠合比较法;
(2)度量比较法。
7、线段事实:
“两点之间,线段最短”。
连接两点的线段的长度,叫做这两点的距离。
8、线段的中点:
如果线段上有一点,把线段分成相等的两条线段,这个点叫这条线段的中点。
9、距离:
连接两点间的线段的长度,叫做这两点的距离;
4.3角
1、角的概念:
(1)角可以看成是由两条有共同端点的射线组成的图形。
两条射线叫角的边,共同的端点叫角的顶点。
(2)角还可以看成是一条射线绕着他的端点旋转所成的图形。
2、角的表示方法:
角用“∠”符号表示
(1)分别用两条边上的两个点和顶点来表示。
(顶点必须在中间)
(2)在角的内部写上阿拉伯数字,然后用这个阿拉伯数字来表示角。
(3)在角的内部写上小写的希腊字母,然后用这个希腊字母来表示角。
(4)直接用一个大写英文字母来表示。
3、角的度量:
会用量角器来度量角的大小。
4、角的单位:
角的单位有度、分、秒,用°
、′、″表示,角的单位是60进制与时间单位是类似的。
度、分、秒的换算:
1°
=60′,1′=60″。
5、锐角、直角、钝角、平角、周角的概念和大小
(1)平角:
角的两边成一条直线时,这个角叫平角。
(2)周角:
角的一边旋转一周,与另一边重合时,这个角叫周角。
(3)0°
<
锐角<
90°
,直角=90°
,90°
钝角<
180°
,平角=180°
,周角=360°
6、画两个角的和,以及画两个角的差
(1)用量角器量出要画的两个角的大小,再用量角器来画。
(2)三角板的每个角的度数,30°
、60°
、90°
、45°
7、角的平分线:
从角的顶点出发将一个角分成两个相等的角的射线叫角的平分线。
8、角的计算。
9、余角和补角
(1)互为余角:
如果两个角的和等于90°
,就说这两个角互为余角;
(即其中一个角是另一个角的余角)
(2)互为补角:
如果两个角的和等于180°
,就说这两个角互为补角;
(即其中一个角是另一个角的补角)
(3)补角的性质:
等角的补角相等;
(4)余角的性质:
等角的余角相等;
10、方位角