Maple6ch41常微分方程共23页Word格式.docx
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其中“_a”为积分变量.即解为
最后加入参数“parametric”,可以知道经过一段时段运算后的结果：
sol4:
=dsolve（eq,implicit,y（x）,useInt,parametric）;
我们惊讶地发现函数没有给出任何结果，这是因为解太复杂了，函数找不到用参数表示的方法。
下面我们用一个比较简单的例子来说明设置参数以后的结果，大家容易从结果中看出表示的方法：
dsolve（diff（y（x）,x）=-x/y（x）,parametric）;
圆曲线上切线的斜率
此为圆的上半圆与下半圆曲线表示式.
dsolve（diff（y（x）,x）=-x/y（x）,implicit,parametric）;
参数式
此为圆曲线的参数式，但并不是常用的
参数式格式.
2.用函数odetest检验常微分方程的解
odetest（sol,ODE）;
——y（x）可省略
odetest（sol,ODE,y（x））;
——y（x）最好加上
odetest（solsys,sysODE）;
——用于方程组
以返回值为“0”给出解为真。
with（DEtools）:
odetest（sol1[1],eq,y（x））;
sol1[1]是方程的解
odetest（sol1[2],eq,y（x））;
sol1[2]是方程的解
odetest（sol1[3],eq,y（x））;
sol1[3]是方程的解
odetest（sol2,eq,y（x））;
sol2是方程的解
odetest（sol3,eq,y（x））;
sol3是方程的解
odetest（sol4,eq,y（x））;
sol4不能代入检验
Error,（inodetest）expectingthesecondargumenttobeanODEorasetorlistofODEs.Received:
y（x）
下面验证一个函数是否前面所给方程的解：
y（x）=x^2;
验证y（x）=x^2是否方程的解,这里的y（x）不能赋给
odetest（%,eq）;
所给函数y（x）=x^2使方程左端不为0，故不是方程的解
但它是下列方程的解：
=diff（y（x）,x）=2*x;
3．用Deplot函数来显示微分方程的解的图像
DEplot（deqns,vars,trange,eqns）;
Deplot（deqns,vars,trange,inits,eqns）;
其中deqns：
是待求的微分方程或微分方程组，本节中就是指微分方程；
vars：
是一个非独立的变量或变量的集合，如y（x）;
trange：
设定变量的取值范围；
eqns是一个等式形式的条件，如：
linecolor=blue（设定图像中线的颜色为蓝的）；
stepsize=0.05（变量的取值步长）；
inits：
是微分方程的初值条件，如果有多个初值条件，用集合表示，并且每个初值条件都必须用方括号起来，如果不给初始值，函数将等间隔的取最后解中的常数为某值。
请看下面的例子：
DEplot（eq,y（x）,x=-10..10,y=0..3,linecolor=blue,stepsize=0.05）;
这个例子中没有为微分方程设定初始值，所以函数用一些箭头来表示解的趋势，假如我们设方程的初始值是y（0）=2。
图像将变为：
DEplot（eq,y（x）,x=-10..10,[[y（0）=2]],y=0..3,linecolor=blue,stepsize
=0.05）;
[[y（0）=2]]这个初始条件也可放在“y=0..3”的后面
图形中的粗线就是满足初始条件的解的图形，假如我们对这个图形是不是刚才求得的解的图形有疑问的话，我们可以用另外一个作图函数contourplot来验证一下，这个函数在plots程序包里：
with（plots）:
f:
=sin（x）+1/3*y^3+y:
contourplot（f,x=-10..10,y=-3..3,coloring=[red,blue]）;
显然，过y（0）=2这点的图形跟上面图形中篮粗线对应的图形是一样的，说明我们的求解没有错。
如果将这个图的范围适当调整，尽量得到过y（0）=2的那条曲线，显示效果会更好些。
实际上，只要将作图中y的范围改为-2.55～2.55即可达到目的.
4．用各种特定函数求解各种微分方程——P176
odeadvisor（ODE）;
在Detools程序包中
这是一个判断微分方程类型的函数，可用来判分离变量、一阶线性、全微分方程还是普通方程。
最常见的返回参数和中文含义如下：
separable可分离变量方程,用separablesol（lode,v）求解,其中v为未知函数
linear线性方程,用linearsol（lode,v）
homogeneous齐次型方程，用homogeneous（lode,v）
bernoulli贝努里
exact全微分方程
Abel阿贝尔方程
Quadrature积分形式的微分方程（如dy=xdx）,是可离变量方程中最简单的
（1）可分离变量的方程
解：
（Maple-lx4-解法参考）
=x*y（x）*（1-x*diff（y（x）,x））=x+y（x）*diff（y（x）,x）;
调用程序包
odeadvisor（eq）;
判断方程类型
方程为可分离变量的方程
separablesol（eq,y（x））;
用程序包中的分离变量法求解
法2：
仍用dsolve求解：
dsolve（eq,explicit）;
用通用函数求解.接上方程，结果与上法相同
法3：
将方程改为
求隐式解：
diffy:
diffy'
初始化变量，这步一要定做
diffy=solve（eq,diff（y（x）,x））;
解出y的导数
f'
g:
g'
=x->
x/（x^2+1）;
g:
=y->
y/（y-1）;
构造函数f（x）,g（y）
这里的y视为单变量，不要写成y（x）
RHS:
=int（g（y）,y）;
LHS:
=int（f（x）,x）;
赋表达式分别得左、右两端
LHS=RHS+C;
给出隐式解
solve（%,y）;
求出显式解
（2）齐次型的方程
解（Maple-lx4-1）
法1：
（按齐次方程专用求解函数求解）
;
=diff（y（x）,x）=y（x）/x+tan（y（x）/x）;
调程序包
判断类型
齐次型方程的A种，是一阶、线性对称方程
genhomosol（eq）;
用齐次方程的求解函数求解，得以下两个通解
用通用函数求解：
按解齐次型方程的求解方法求解：
y:
y'
x:
x'
u:
u'
如果不是新打开的Maple工作窗口，最好要这一步
=u*x:
one:
=expand（eq）;
试将方程中“y/x”直接换成u后给出新方程
two:
=subs（diff（x（x）,x）=1,x（x）=x,one）;
简化方程
diffu:
=solve（two,diff（u（x）,x））;
化为可分离变量的方程
left:
=int（1/tan（u）,u）;
right:
=int（1/x,x）;
按可分离变量方法求
解，这里的u不能写成u（x）,因为要把它当单变量进行积分
初始化变量y,此前它是”ux”
subs（u=y/x,left）=right+_C1;
这一结果与前的解仅在于任意常数的写法上不同而已.
法4：
本人的解法——化为分离变量方程的求解函数进行求解：
y（x）:
y（x）'
u（x）:
u（x）'
=u（x）*x:
注意函数关系，如果用y=ux或（x）=u*x,得不到下面的形式
eq1:
=subs（y（x）/x=u（x）,eq）;
替换完毕，再对方程化简
上式两端可不再化简，解过程用时相近
separablesol（eq1,u（x））;
用分离变量法函数求解方程,得两个同样的通解
a:
=subs（u（x）=y/x,%）;
换回原变量,如果不将两个通解赋值给集合a,就不能用“solve”对集合中的两个非方程组的函数关于同一变量求解
y1:
=solve（op（1,a）,y）;
y2:
=solve（op（2,a）,y）;
给出两个显式解
上面用了提出集合元素的函数“op”,参第一章“1.1.3集合”.也可用分离方程中变量的函数isolate,执行“isolate（op（1,a）,y）;
”得到第一个通解中的y的表达式.请试之.
Ex.2’解齐次型（C）的微分方程
答案：
解（Maple-lx4-2）
也可以用通用求解函数dsolve（）求解.这里选用求齐次型方程的求解函数进行求解:
=diff（y（x）,x）=（x-y（x）+1）/（x+y（x）-2）;
=genhomosol（eq）;
用齐次型方程的求解函数求解,解用集合表示，其解需要
按元素取出使用，为此，将解赋给集合“a”
由于x与y的隐式关系很简单，而这里的显示结果即较为复杂，为此，如以下化简：
subs（_C1=C,a[1]）:
subs（y（x）=z,a[1]）:
subs（_C1=C,%）;
替换
map（simplify,%）;
对上式两端化简。
因为上式根号中的内容计算机不认识，现在认识的是它的如下根式中的化简结果，所以，要想解出根式下面的表达式，要先化简
isolate（%,8*C^2*x^2-8*C^2*x+2*C^2+1）;
解出根式下面的表达式
simplify（（lhs（%）-rhs（%）））=0;
取出上式的左右两端作差的方程，
目的是消去相同项
sort（%,z）;
对变量z按降幂排此代数方程的两端
simplify（（lhs（%）+14*C^2-1））=-4*C^2*_C1;
用solve解出后两项行吗？
factor（%）/（-4*C^2）;
先分解因式，再除以分母才可以得到下面的结果
subs（z=y,%）:
注：
这个结果用通用求解函数也不能简单给出，而是给出
dsolve（eq,implicit）;
问题：
试将此结果化为如上多项式形式的“标准”答案。
（3）一阶线性方程
Ex.3解一阶线性微分方程
解（Maple-lx4-3）
=diff（y（x）,x）+y（x）/x=sin（x）/x;
（用通用函数求解，解出后的检验略）
dsolve（eq）;
（用特定求解方程的函数求解，解出后的检验略）
linearsol（eq）;
（用
的通解公式
求解）
P（x）:
=1/x;
Q（x）:
=sin（x）/x;
y（x）=exp（-int（P（x）,x））*（int（Q（x）*exp（int（P（x）,x））,x）+C）;
（4）贝努里方程
Ex.4解贝努里微分方程
解（Maple-lx4-4）
restart;
=diff（y（x）,x）=6*y（x）/x-x*y（x）^2;
（用通用函数求解）
用通用函数求解
（按贝努里方程专用求解函数求解）
bernoullisol（eq）;
（按解贝努里方程的推导方法求解）
=subs（y（x）=1/z（x）,eq）;
odeadvisor（eq1,z（x））;
simplify（%）;
如用通用函数或专用求解函数求解，这步不需要
factor（%）*（-z（x）^2）;
如用通用函数或专用求解函数求解，这步不需要
linearsol（%）;
上面已经判断为线性方程，就可用线性方程专用求解函数
subs（z（x）=1/y（x）,%）;
solve（%,y（x））;
也可用simplify（%）
（5）全微分方程
解（Maple-lx4-4）
=diff（y（x）,x）=（2+y（x）*exp（x*y（x）））/（2*y（x）
-x*exp（x*y（x）））;
（用通用求解函数求解）
eq1'
=（2*y（x）-x*exp（x*y（x）））*diff（y（x）,x）=2+y（x）*exp（x
*y（x））;
=dsolve（eq）;
系统用隐式给出了通解
odetest（sol1,eq）;
验隐式解是正确的
要求给出显式解
odetest（sol2,eq）;
验显式解是正确的
（用专用求解函数求解）
odeadvisor（eq,y（x））;
判断方程类型（给出结果不知是何类型
但从原方程观察应为全微分方程（exact））
odeadvisor（eq1,y（x））;
转换成“eq1”判断为全微分方程（是否都需这样转化）
exactsol（eq1）;
用全微分方程的专用求解函数求解
（按全微分方程的求解步骤进行求解）
M:
M'
N:
N'
=（x,y）->
2+y*exp（x*y）;
-（2*y-x*exp（x*y））;
eq2:
eq2'
=M（x,y（x））+N（x,y（x））*diff（y（x）,x）=0;
化为M（x,y）dx+N（x,y）dy=0格式
testeq（diff（N（x,y）,x）,diff（M（x,y）,y））;
方程为全微分方程的充要条件是
exactsol（eq2）;
方程的隐式解为
Ex.5’
解（Maple-lx4-6）
要求:
用3～４种方法给出通解，并将答案化成下式。
答案：
（6）高阶常系数线性（非）齐次微分方程——Maple:
P188~193
（7）级数解（默认为5阶展式）——Maple:
P193~195——dsolve（ODE,y（x）,
4.1.2常微分方程组的解析解
求解函数与求解常微分方程所用的函数一样，它的参数形式如下：
dsolve（{sysODE,Ics},{func},extra_args）;
其中各参数的意义如下：
sysODE方程组的集合
Ics初始条件的集合
Func待求的函数集合
Exgra_args设置解的形式
解
sysOde:
sysOde'
={D（x）（t）=x（t）+y（t）+exp（-t）,D（y）（t）=y（t）};
dsolve（sysOde,{x（t）,y（t）}）;
={D（x）（t）=y（t）-z（t）,D（y）（t）=z（t）,D（z）（t）=y（t）};
dsolve（sysOde,{x（t）,y（t）,z（t）},implicit）;
odetest（%,sysOde）;
验法1
=dsolve（sysOde,{x（t）,y（t）,z（t）}）;
验法2
odetest（a,sysOde）;
4.1.3常微分方程定解问题的求解
很多时候求定解问题是先求出通解，再求定解。
但用Maple在大多数情形下可直接求解。
所用求解函数仍是dsolve:
dsolve（{ODE,ICs},y（x）,extra_args）;
dsolve（{sysODE,sysICs},{func},extra_args）;
注意：
在使用上面第二个命令求方程组定解问题时，“sysODE,sysICs”的内容都要以元素给出，而不能用子集合分别给出“sysODE”、“sysICs”。
1．一个方程的定解问题
（一阶方程的定解问题）
=D（y）（x）+4*x*y（x）/（x^2-1）=x*sqrt（y（x））;
简化方程再求解
=dsolve（{eq,y（0）=4},y（x））;
给出含RootOf（查帮助）的解
=allvalues（sol1）;
将RootOf表达的解化为常见式
（隐式解可以避开RootOf函数，但解过程稍复杂）
=dsolve（eq,y（x）,implicit）;
求隐式解
isolate（subs（x=0,y（0）=4,sol2）,_C1）;
确定任意常数_C1
isolate（subs（_C1=-2,sol2）,y（x））;
将任意常数_C1代入解sol2中
（高阶方程的定解问题）
=diff（x（t）,t,t）-2*diff（x（t）,t）+x（t）=4*t*exp（t）;
dsolve（{eq,x（0）=2,D（x）（0）=2},x（t））;
2．方程组的定解问题
（方程组的定解问题）
dsolve（{sysOde[1],sysOde[2],x（0）=0,y（0）=0},{x（t）,y（t）}）;
4.1.4常微分方程的数值解
除了上面介绍的几种特殊的常微方程以外，大部分常微方程都很难求解析解，如下面这个简单的一阶方程：
={D（y）（x）=cos（x*y（x））};
dsolve（eq,y（x））;
经过一段时间的计算后，给出空解
这个时候我们就得用数值方法得到微分方程的数值解，所求函数可以是
dsolve（deqns,vars,numeric）
dsolve（deqns,vars,numeric,options）
dsolve（deqns,vars,type=numeric）
dsolve（deqns,vars,type=numeric,options）
其中：
deqns是待求微分方程或方程组和初始值的集合
vars是待求的微分方程中的待求函数
numeric或type=numeric设置函数求出方程的数值解而不是解析解
options设置函数求解的各种设置，是一个可选参数，看帮助，这节经常用到的是output=listprocedure,value=[a1,a2,…,an],ai表示待求的数值点的自变量的值，前者表示让dsolve函数以列表加过程的方式输出，而后者则让函数输出给定的几个点的函数值，对这两者的理解参下例：
法1（希望将解以过程表示时，然后随机求值，则用：
）
=D（y）（x）=cos（x*y（x））;
=dsolve（{eq,y（0）=2},y（x）,type=numeric,output=
listprocedure）;
s:
=[1,2,3,4,5];
接下来再随机求值
map（g,s）;
“map”的用法
先解出过程的好处在于还可以观察解的基本形状，
plot（'
rhs（g（x）[2]）'
x=-10..10）;
对每个x的值，用上面的过程解g
的表达式算出相应的g（x）值
在上面的命令中，g（x）是一个列表，里面每个元素都是自变量x的取值表达式和其对应的应变量y的取值表达式构成的，而画图时只需第二个表达式的右端的值，故用“rhs（g（x）[2]）”来取列表的每个元素的第二个表达式的值.
法2（如果只想知道后面的结果：
=D（y）（x）=cos（x*y（x））
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