九年级二次函数题型总结.docx
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九年级二次函数题型总结
一、二次函数的定义
1.下列函数中属于一次函数的是（），属于反比例函数的是（），属于二次函数的是（）
A．y＝x（x＋1）B．xy＝1C．y＝2x2－2（x＋1）2D．
2.当m时，函数y＝（m－2）x2＋4x－5（m是常数）是二次函数．
3.若是二次函数，则m＝．
4.若函数y＝3x2的图象与直线y=kx＋3的交点为（2，b），则k=，b＝.
5.已知二次函数y＝―4x2－2mx+m2与反比例函数的图象在第二象限内的一个交点的横坐标是―2，则m的值是．
配方
二、二次函数的图象与性质
1.对于抛物线y＝ax2，下列说法中正确的是（）
A．a越大，抛物线开口越大B．a越小，抛物线开口越大
C．｜a｜越大，抛物线开口越大D．｜a｜越小，抛物线开口越大
2.下列说法中错误的是（）
A．在函数y＝－x2中，当x＝0时，y有最大值0
B．在函数y＝2x2中，当x＞0时，y随x的增大而增大
C．抛物线y＝2x2，y＝－x2，中，抛物线y＝2x2的开口最小，抛物线
y＝－x2的开口最大
D．不论a是正数还是负数，抛物线y＝ax2的顶点都是坐标原点
3.二次函数y=2（x－3）2+5的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标分别为（）
A．开口向下，对称轴x=－3，顶点坐标为（3,5）
B．开口向上，对称轴x＝3，顶点坐标为（3，5）
C．开口向上，对称轴x=－3，顶点坐标为（－3,5）
D．开口向下，对称轴x=－3，顶点坐标为（－3,－5）
4.已知抛物线的解析式为y=（x－2）2+1，则抛物线的顶点坐标是（）
A．（－2，1）B．（2，1）C．（2，－1）D．（1，2）
5.已知二次函数y＝x2－4x＋5的顶点坐标为（ ）
A．（－2，－1）B．（2,1）C．（2，－1）D．（－2,1）
6.抛物线y=x2+2x-1的对称轴是，当x时，y随x的增大而增大；当x时，y随x的增大而减小．
7.抛物线的顶点坐标为，则b=,c=.
8.函数y＝x2―2x－l的最小值是；函数y＝-x2+4x的最大值是.
9.已知抛物线的顶点在坐标轴上，则a=.
二次函数的对称性
二次函数：
（1）此函数的对称轴为直线；
（2）若函数与x轴相交于点，则对称轴可表示为；
（3）若函数与x轴相交于点（特点是纵坐标相同），则对称轴可表示为.
10.抛物线的一部分图象如图所示，该抛物线在y轴右侧部分与x轴交点坐标是.
11.如图，抛物线的对称轴是x=1，与x轴交于A、B两点，B点坐标为，则点A的坐标是.
12.抛物线与x轴交于两点，则线段AB的长.
13.已知二次函数，若点在此函数的图象上，且，则的大小关系是.
14.已知二次函数的对称轴是直线，若点在此函数的图象上，则的大小关系是
15.已知二次函数中，其函数y与自变量x之间的部分对应值如下表：
x
……
0
1
2
3
4
……
y
……
4
0
1
0
4
……
点在函数的图象上，则当，时，与的大小关系正确的是（ ）
三、二次函数的平移、旋转与对称
1.把抛物线向左平移一个单位，然后向上平移3个单位，则平移后抛物线的表达式（）
2.抛物线经过平移得到抛物线，平移的方法是
A．向左平移1个单位，再向下平移2个单位
B．向右平移1个单位，再向下平移2个单位
C．向左平移1个单位，再向上平移2个单位
D．向右平移1个单位，再向上平移2个单位
3.在平面直角坐标系中，如果的图象不动，而把坐标轴分别向上平移2个单位，向右平移3个单位，那么新坐标系中此抛物线的解析式为.
4.将抛物线的图象向左平移1个单位，再向下平移2个单位，平移后的解析式为.
5.将抛物线的图象向右平移2个单位再向下平移2个单位，所得图象的关系式为，则b=,c=.
6.已知抛物线，
（1）将其绕着顶点旋转180°后抛物线关系式是.
（2）关于y轴对称的抛物线关系式是;
（3）关于x轴对称的抛物线关系式是;
（4）关于原点对称的抛物线关系式是.
4、确定二次函数的表达式
用待定系数法求二次函数的解析式：
（1）一般式：
.已知图像上三点或三对、的值，通常选择一般式.
（2）顶点式：
.已知图像的顶点或对称轴，通常选择顶点式.
（3）交点式：
.已知图像与轴的交点坐标、，通常选用交点式.
1.顶点为（—1，—3），与y轴交点为（0，—5）.
2.与x轴交于A（—1,0）、B（1,0），并经过点M（0,1）.
3.图像经过点A（0，1）、B（1，2）、C（2，1）.
4.顶点坐标为（1,3）且在x轴上截得的线段长为4.
5.图象经过点（1,0）、（0，-3），且对称轴是直线x=1.
6.已知抛物线如图所示，求它对应的表达式.
5、二次函数的应用
知识铺垫：
最值问题
（1）开口向上
1.当对称轴在所给范围内，必在顶点处取得最小值，在离对称轴较远端点处取得最大值；
2.当对称轴不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最大值，离对称轴较近端点处取得最小值.
（2）开口向下
30m
1.当对称轴在所给范围内，必在顶点处取得最大值，在离对称轴较远端点处取得最小值；
2.当对称轴不在所给范围内，在离对称轴较远端点处取得最小值，离对称轴较近端点处取得最大值.
1.当时，求函数的最大值和最小值．
2.当时，求函数的最大值和最小值．
3.当时，求函数的最大值和最小值．
几何问题
4.在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD，其中AB和AD分别在两直角边上.
（1）如果设矩形的一边AB=xm,那么AD边的长度如何表示？
（2）设矩形的面积为ym2，当x取何值时，y的值最大？
最大值是多少？
（3）若将矩形改为图2所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？
5.用长为80m的栅栏，再借助外墙围城一个矩形羊圈ABCD，已知房屋外墙长50m，设矩形ABCD的边AB=xm，面积为Sm2.
（1）写出S与x之间的关系式，并指出x的取值范围；
（2）当AB,BC分别为多少米时，羊圈的面积最大？
最大面积是多少？
6.有一座抛物线型拱桥，在正常水位时水面宽AB=20m，当水位上升3m时，水面宽CD=10m.
（1）按如图所示的直角坐标系，求此抛物线的函数表达式；
（2）有一条船以5km/h的速度向此桥径直行来，当船距离此桥35km时，桥下水位正好在AB处，之后水位每小时上涨0.25m，当水位达到CD处时，将禁止船只通行.如果该船的速度不变，那么它能否安全通过此桥？
最大利润问题
7.某旅馆有客房120间，每间客房的日租金为160元，每天都客满，经市场调查，如果每间客房的日租金增加10元，那么客房每天出租数会减少6间。
不考虑其他因素，旅馆将每天的日租金提高多少元时，客房日租金的总收入最高？
8.某人开始时,将进价为8元的某种商品按每件10元销售,每天可售出100件.他想采用提高最大售价的办法来增加利润.经试验,发现这种商品每件每提价1元,每天的销售量就会减少10件.每件定价多少元时,才能使一天的利润最大?
最大利润是多少？
9.某大型酒店有包房100间，在每天晚餐营业时间，每间包房收包房费100元时，包房便可全部租出；若每间包房收费提高20元，则减少10间包房租出.
（1）设每间包房收费提高x（元），则每间包房的收入为y1（元），但会减少y2间包房租出，请分别写出y1、y2与x之间的函数关系式.
（2）为了投资少而利润大，每间包房提高x（元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y（元），请写出y与x之间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元可获得最大包房费收入，并说明理由.
6、二次函数与一元二次方程
二次函数的图象与x轴交点的坐标和一元二次方程的根的关系：
1.当∆>0时,抛物线与x轴有两个交点，这两个交点的横坐标是方程的两个不相等的实数根；
2.当∆=0时,抛物线与x轴有一个交点，这个交点的横坐标是方程的两个相等的实数根，并且这一个交点即为抛物线的顶点；
3.当∆<0时，抛物线与x轴没有交点，这时方程没有实数根.
4.当∆>0时，图象与x轴有两个交点，两点距离.
当a>0时，当或时，；当时，.
当a<0时，当或时，；当时，.
5.当∆=0时，图象与x轴只有一个交点.
当a>0时，x为任何实数时，函数值；
当a<0时，x为任何实数时，函数值；
6.当∆<0时，图象与x轴没有交点.
当a>0时，图象落在x轴的上方，x为任何实数时，都有y>0；
当a<0时，图象落在x轴的下方，x为任何实数时，都有y<0.
1.抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为.
2.抛物线y=x2+bx+4与x轴只有一个交点则b=.
3.二次函数y=x2-2（m+1）x+4m的图象与x轴（）
A.没有交点B.只有一个交点C.只有两个交点D.至少有一个交点
4.二次函数y=kx2－7x－7的图象与x轴有交点，则k的取值范围是.
5.已知二次函数的与的部分对应值如下表：
…
0
1
3
…
…
1
3
1
…
则下列判断中正确的是（ ）
A．抛物线开口向上 B．抛物线与轴交于负半轴、
C．当＝4时，＞0D．方程的正根在3与4之间
6.抛物线的部分图象如图所示，若y>0，则x的
取值范围是（）
A．-41D．x<-3或x>1
7、二次函数中的意义
二次函数y=ax2+bx+c系数符号的确定：
（1）a由抛物线开口方向确定：
开口方向向上，则a＞0；否则a＜0．
（2）b由对称轴和a的符号确定：
由对称轴公式判断符号，左同右异．
（3）c由抛物线与y轴的交点确定：
交点在y轴正半轴，则c＞0；否则c＜0；过
原点，c=0．
（4）b2-4ac的符号由抛物线与x轴交点的个数确定：
2个交点，b2-4ac＞0；1个交
点，b2-4ac=0；没有交点，b2-4ac＜0．
（5）当x=1时，可确定a+b+c的符号；当x=-1时，可确定a-b+c的符号；
当x=2时，可确定4a+2b+c的符号，当x=-2时，可确定4a-2b+c的符号．
（6）由对称轴公式与x=1和x=-1比较，可确定2a+b，2a-b的符号．
1.已知二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，给出以下结论：
①a+b+c＜0；②a﹣b+c＜0；③b+2a＜0；④abc＞0．其中所有正确结论的序号是（ ）
A.③④B.②③C.①④D.①②③
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，那么关于此二次函数的下列四个结论：
①a＜0；②c＞0；③b2﹣4ac＞0；④＜0中，正确的结论有（ ）
A.1B.2C.3D.4
3.如图，二次函数y=x2+（2﹣m）x+m﹣3的图象交y轴于负半轴，对称轴在y轴的右侧，则m的取值范围是（ ）
A.m＞2B.m＜3C.m＞3D.2＜m＜3
4.如图为二次函数y=ax2＋bx＋c的图象，在下列说法中正确的说法有.
①ac＜0；②方程ax2＋bx＋c=0的根是x1=－1,x2=3③a＋b＋c＞0
④当x＞1时，y随x的增大而增大.
5.二次函数y=ax2＋bx＋c的图象如图所示，对称轴是直线x=1.有以下结论：
（1）abc>0;
（2）4ac
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